হেপটাডেকাগন: বৈশিষ্ট্য, ত্রিভুজ, ঘের, ক্ষেত্রফল - গণিতশাস্ত্র - 2025

Heptadecagon 17 পক্ষের এবং 17 ছেদচিহ্ন একটি নিয়মিত আকারের বহুভুজ হয়। এর নির্মাণ ইউক্লিডিয়ান শৈলীতে করা যেতে পারে, যা কেবলমাত্র শাসক এবং কম্পাস ব্যবহার করে। এটি ছিল দুর্দান্ত গাণিতিক প্রতিভা কার্ল ফ্রেড্রিচ গাউস (1777-1855), সবে মাত্র 18 বছর বয়সী, যিনি 1796 সালে এটির নির্মাণের পদ্ধতিটি পেয়েছিলেন।

স্পষ্টতই, গৌস সর্বদা এই জ্যামিতিক ব্যক্তিত্বের প্রতি খুব ঝোঁক ছিলেন, এতদূর যে তিনি তার নির্মাণ আবিষ্কারের দিন থেকেই তিনি গণিতবিদ হওয়ার সিদ্ধান্ত নিয়েছিলেন। এটাও বলা হয় যে তিনি চেয়েছিলেন যে হেপাটেকাগন তাঁর সমাধিক্ষেত্রে খোদাই করা হোক।

চিত্র ১. হেপাটাডেকাগন একটি নিয়মিত বহুভুজ যা 17 টি পক্ষ এবং 17 টির শীর্ষে রয়েছে। সূত্র: এফ.জাপাটা।

গৌস নিয়মিত বহুভুজ শাসক এবং কম্পাস দিয়ে তৈরি করতে সক্ষম কিনা তা নির্ধারণের জন্য সূত্রটিও খুঁজে পেয়েছিলেন, কারণ কারও কারও কাছে সঠিক ইউক্যালিডান নির্মাণ নেই।

হেপটাডেকাগনের বৈশিষ্ট্য

অন্যান্য বৈশিষ্ট্যের মতো এর বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য, এর অভ্যন্তরীণ কোণগুলির সমষ্টিও গুরুত্বপূর্ণ। N টি দিক সহ নিয়মিত বহুভুজের মধ্যে যোগফলটি দেওয়া হয়:

রেডিয়ানদের মধ্যে প্রকাশিত এই যোগফলটি দেখতে এরকম দেখাচ্ছে:

উপরের সূত্রগুলি থেকে সহজেই অনুমান করা যায় যে একটি হেপাটাডেকাগনের প্রতিটি অভ্যন্তরীণ কোণটির যথাযথ পরিমাপ রয়েছে by এর দ্বারা প্রদত্ত:

এটি অনুসরণ করে যে অভ্যন্তরীণ কোণ মোটামুটি:

ডায়াগোনালস এবং ঘের

ডায়াগনালস এবং ঘের অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ দিক। যে কোনও বহুভুজের মধ্যে তির্যকের সংখ্যাটি হ'ল:

ডি = এন (এন - 3) / 2 এবং হেপাটাইডাকাগনের ক্ষেত্রে, এন = 17 হিসাবে, আমাদের তখন ডি = 119 তির্যক রয়েছে।

অন্যদিকে, যদি হেপাটাডিকাগনের প্রতিটি পাশের দৈর্ঘ্য জানা যায়, তবে নিয়মিত হেপাটাইডাকাগনের পরিধিটি কেবল সেই দৈর্ঘ্যের 17 গুণ যোগ করে বা প্রতিটি পক্ষের দৈর্ঘ্যের d এর সমান 16% যোগ করে পাওয়া যায়:

পি = 17 ডি

হেপাটেকাগনের পরিধি ter

কখনও কখনও কেবলমাত্র হেপাটাডিকাগনের ব্যাসার্ধের পরিচিত হয়, তাই এই ক্ষেত্রে একটি সূত্র বিকাশ করা প্রয়োজন।

এই লক্ষ্যে, অ্যাপোথেমের ধারণাটি চালু করা হয়েছে। এপোথেম হ'ল সেগমেন্ট যা নিয়মিত বহুভুজের কেন্দ্র থেকে এক পাশের মিডপয়েন্টে যায়। এক পক্ষের সাথে সম্পর্কিত এপোথেমটি সেই পাশের জন্য লম্ব হয় (চিত্র 2 দেখুন)।

চিত্র 2. ব্যাসার্ধ এবং এর এপোথেম সহ একটি নিয়মিত বহুভুজের অংশগুলি দেখানো হয়েছে। (নিজস্ব বিবরণ)

তদ্ব্যতীত, এপোথেমটি বহুভুজটির ক্রমাগত দুটি উল্লম্বে কেন্দ্রীয় মেরু এবং পার্শ্বের সাথে কোণের দ্বিখণ্ডক, এটি ব্যাসার্ধের r এবং পাশের ডি এর মধ্যে একটি সম্পর্ক সন্ধান করতে দেয়।

যদি সেন্ট্রাল এঙ্গেল ডিওই ডিনামিনেটেড হয় othe এবং এটি গ্রহণ করে যে অ্যাপোথেম ওজে দ্বিখণ্ডিত, তবে আমাদের কাছে EJ = d / 2 = r সেন (β / 2) রয়েছে, সেখান থেকে বহুভুজের পাশের দৈর্ঘ্য d সন্ধান করার জন্য আমাদের একটি সম্পর্ক রয়েছে এর ব্যাসার্ধ আর এবং এর কেন্দ্রীয় কোণ known:

d = 2 আর সেন (β / 2)

হেপাটাডেকাগন β = 360º / 17 এর ক্ষেত্রে আমাদের রয়েছে:

d = 2 আর সেন (180º / 17) ≈ 0.3675 আর

অবশেষে, হেপাটাডেকাগনের পরিধিগুলির সূত্রটি পাওয়া গেছে, এটি তার ব্যাসার্ধ হিসাবে পরিচিত:

পি = 34 আর সেন (180º / 17) ≈ 6.2475 আর

একটি হেপটাডেকাগনের পরিধিটি তার চারপাশের পরিধিটির ঘেরের কাছাকাছি, তবে এর মান আরও ছোট, অর্থাৎ, সার্কিব্রাইড বৃত্তের পরিধিটি Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r।

ফোন

হেপাটাইডাকাগনের ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করার জন্য আমরা চিত্র 2 উল্লেখ করব, যা n দিকগুলির সাথে একটি নিয়মিত বহুভুজের बाजू এবং অপোথেম দেখায়। এই চিত্রটিতে ত্রিভুজ EOD এর ক্ষেত্রফল বেস d (বহুভুজের পাশের) এর উচ্চতা a (বহুভুজের অ্যাপোথেম) এর 2 গুণ দ্বারা বিভক্ত হয়েছে:

EOD অঞ্চল = (dxa) / 2

সুতরাং, হেপাটেকাগন এবং এর পাশের ডি এর এপোথেমটি জেনে এর অঞ্চলটি হ'ল:

হেপটাডেকাগন অঞ্চল = (17/2) (dxa)

পাশ দেওয়া অঞ্চল Area

সপ্তদিকের দৈর্ঘ্যের দৈর্ঘ্য জেনে হেপাটেকাগন অঞ্চলের ক্ষেত্রের সূত্র পেতে, এপোথেম এ এবং পাশের দৈর্ঘ্যের মধ্যে একটি সম্পর্ক অর্জন করা প্রয়োজন ডি।

চিত্র 2 এর রেফারেন্স সহ, নিম্নলিখিত ত্রিকোণমিতি সম্পর্ক প্রাপ্ত করা হয়েছে:

ট্যান (β / 2) = ইজে / ওজে = (ডি / ২) / এ, যেখানে β হল কেন্দ্রীয় কোণ ডিওই। সুতরাং বহুভুজের পাশের দৈর্ঘ্য d এবং কেন্দ্রীয় কোণ β জানা থাকলে অ্যাপোথেম এ গণনা করা যেতে পারে:

a = (d / 2) কোটান (β / 2)

পূর্ববর্তী বিভাগে প্রাপ্ত হেপাটাডেকাগনের ক্ষেত্রের সূত্রে যদি এই অভিব্যক্তিটি এখন অ্যাপোথেমের পরিবর্তে প্রতিস্থাপিত হয় তবে আমাদের কাছে রয়েছে:

হেপটাডেকাগন অঞ্চল = (17/4) (d ²) কোটান (β / 2)

হেপাটাডেকাগনের জন্য β = 360º / 17 হওয়া, সুতরাং শেষ পর্যন্ত আমাদের পছন্দসই সূত্রটি রয়েছে:

হেপটাডেকাগন অঞ্চল = (17/4) (d ²) কোটান (180º / 17)

ব্যাসার্ধ প্রদত্ত অঞ্চল

পূর্ববর্তী বিভাগগুলিতে নিয়মিত বহুভুজ এবং এর ব্যাসার্ধের পাশের ডি এর মধ্যে একটি সম্পর্ক পাওয়া গিয়েছিল, এই সম্পর্কটি নিম্নলিখিত:

d = 2 আর সেন (β / 2)

D এর জন্য এই এক্সপ্রেশনটি অঞ্চলের জন্য পূর্ববর্তী বিভাগে প্রাপ্ত অভিব্যক্তিতে সন্নিবেশ করা হয়। যদি সম্পর্কিত বিকল্পগুলি এবং সরলীকরণ করা হয়, তবে সূত্র যে হেপাটাডেকাগনের ক্ষেত্রফল গণনা করতে দেয় তা পাওয়া যায়:

হেপাটাডেকাগন অঞ্চল = (17/2) (আর ²) সেন (β) = (17/2) (আর ²) সেন (360º / 17)

এই অঞ্চলের জন্য একটি আনুমানিক অভিব্যক্তি:

হেপটাডেকাগন অঞ্চল = 3.0706 (আর ²)

হিসাবে প্রত্যাশিত, এই এলাকা বৃত্ত circumscribing heptadecagon একটি এলাকা থেকে একটু ছোট _circ = π R ² ≈ 3.1416 R ² । সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, এটি এর নিরীক্ষিত বৃত্তের চেয়ে 2% কম।

উদাহরণ

উদাহরণ 1

প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য নিয়মিত এন-পার্শ্বযুক্ত বহুভুজের ব্যাসার্ধের মধ্যকার সম্পর্ক মনে রাখা দরকার:

d = 2 r সেন (180º / এন)

হেপাটাডেকাগন এন = 17 এর জন্য, তাই ডি = 0.3675 আর, অর্থাৎ, হেপাটাডিকাগনের ব্যাসার্ধ হল = = 2 সেমি / 0.3675 = 5.4423 সেমি বা

10.8844 সেমি ব্যাস।

2 সেন্টিমিটার পার্শ্বের হেপাটাডিকাগনের পরিধি P = 17 * 2 সেমি = 34 সেমি।

উদাহরণ 2

আমাদের অবশ্যই পূর্ববর্তী বিভাগে প্রদর্শিত সূত্রটি উল্লেখ করতে হবে, যা যখন আমাদের পাশের দৈর্ঘ্য d থাকে তখন আমাদের একটি হেপটাডেকাগনের ক্ষেত্র খুঁজে পেতে দেয়:

হেপটাডেকাগন অঞ্চল = (17/4) (d ²) / টান (180º / 17)

পূর্ববর্তী সূত্রে d = 2 সেমি স্থির করে, আমরা প্রাপ্ত:

ক্ষেত্রফল = 90.94 সেমি

তথ্যসূত্র

1. সিইএ (2003)। জ্যামিতি উপাদান: অনুশীলন এবং কম্পাস জ্যামিতির সাথে। মেডেলিন বিশ্ববিদ্যালয়।
2. ক্যাম্পোস, এফ।, সেরেসেডো, এফজে (2014)। গণিত ২. গ্রুপো সম্পাদকীয় পাত্রিয়া।
3. মুক্ত, কে। (2007) বহুভুজ আবিষ্কার করুন। বেঞ্চমার্ক শিক্ষা সংস্থা।
4. হেন্ডরিক, ভি। (2013)। সাধারণীকরণ বহুভুজ। Birkhäuser।
5. IGER। (SF)। গণিতের প্রথম সেমিস্টার টাকানা। IGER।
6. জুনিয়র জ্যামিতি। (2014)। বহুভুজ। লুলু প্রেস, ইনক।
7. মিলার, হেরেন, এবং হর্ন্সবি। (2006)। গণিত: যুক্তি ও প্রয়োগ (দশম সংস্করণ)। পিয়ারসন শিক্ষা.
8. প্যাটিও, এম (2006)। গণিত 5 সম্পাদকীয় প্রোগ্রাম।
9. সাদ, এম। 17-পক্ষের নিয়মিত বহুভুজ যা শাসক এবং কম্পাস রয়েছে। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: geogebra.org
10. উইকিপিডিয়া। Heptadecagon। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.com.com থেকে