- তির্যক ত্রিভুজ
- সাইন এবং কোসাইন আইন
- অনুশীলন
- প্রথম অনুশীলন
- দ্বিতীয় অনুশীলন
- তৃতীয় অনুশীলন
- চতুর্থ অনুশীলন
- তথ্যসূত্র
তীর্যক ত্রিভুজ ঐ ত্রিভুজ যে আয়তক্ষেত্র নয়। অন্য কথায়, ত্রিভুজগুলি এমন যে তাদের কোনও কোণই একটি সঠিক কোণ নয় (তাদের পরিমাপটি 90º)।
যেহেতু তাদের কোনও সঠিক কোণ নেই, তাই পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য এই ত্রিভুজগুলিতে প্রয়োগ করা যায় না।
অতএব, একটি তির্যক ত্রিভুজটিতে ডেটা জানতে অন্য সূত্রগুলি ব্যবহার করা প্রয়োজন।
একটি তির্যক ত্রিভুজটি সমাধান করার জন্য প্রয়োজনীয় সূত্রগুলি হ'ল সাইন এবং কোসাইনগুলির তথাকথিত আইন, যা পরে বর্ণনা করা হবে।
এই আইনগুলি ছাড়াও, ত্রিভুজের অভ্যন্তরের কোণগুলির যোগফল 180º এর সমান হয় তা সর্বদা ব্যবহার করা যেতে পারে।
তির্যক ত্রিভুজ
শুরুতে যেমনটি বলা হয়েছে, একটি তির্যক ত্রিভুজ এমন একটি ত্রিভুজ যা এর কোনও কোণই 90º পরিমাপ করে না º
একটি তির্যক ত্রিভুজের দিকগুলির দৈর্ঘ্য সন্ধান করার পাশাপাশি এর কোণগুলির পরিমাপগুলি আবিষ্কার করার সমস্যাটিকে "তির্যক ত্রিভুজ সমাধান করা" বলা হয়।
ত্রিভুজগুলির সাথে কাজ করার সময় একটি গুরুত্বপূর্ণ ঘটনাটি হ'ল ত্রিভুজের তিনটি অভ্যন্তরীণ কোণগুলির সমষ্টি 180º এর সমান º এটি একটি সাধারণ ফলাফল, সুতরাং তির্যক ত্রিভুজগুলির জন্য এটিও প্রয়োগ করা যেতে পারে।
সাইন এবং কোসাইন আইন
"A", "খ" এবং "সি" দৈর্ঘ্যের দিকগুলির সাথে একটি ত্রিভুজ এবিসি দেওয়া হয়েছে:
- সাইনসের বিধি জানিয়েছে যে a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), যেখানে A, B এবং C «a», «b» এবং «c এর বিপরীত কোণ where Ective যথাযথভাবে।
- কোসাইনের আইনতে বলা হয়েছে: c² = a² + b² - 2ab * cos (সি)। সমানভাবে, নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে:
b² = a² + c² - 2ac * cos (B) বা a² = b² + c² - 2bc * cos (A)।
এই সূত্রগুলি ব্যবহার করে, একটি তির্যক ত্রিভুজটির ডেটা গণনা করা যায়।
অনুশীলন
নীচে কিছু অনুশীলন দেওয়া হয়েছে যেখানে প্রদত্ত নির্দিষ্ট ডেটার উপর ভিত্তি করে প্রদত্ত ত্রিভুজগুলির অনুপস্থিত ডেটা অবশ্যই পাওয়া উচিত।
প্রথম অনুশীলন
একটি ত্রিভুজ ABC দেওয়া যেমন A = 45º, B = 60º এবং a = 12 সেমি, ত্রিভুজের অন্যান্য ডেটা গণনা করুন।
সমাধান
এটি ব্যবহার করে ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলির সমষ্টি 180º এর সমান
সি = 180º-45º-60º = 75º º
তিনটি কোণ ইতিমধ্যে জানা গেছে। সাইনস আইনটি তখন দুটি অনুপস্থিত পক্ষ গণনা করতে ব্যবহৃত হয়।
যে সমীকরণগুলি উত্থিত হয় সেগুলি হল 12 / পাপ (45º) = বি / পাপ (60º) = সি / পাপ (75º)।
প্রথম সাম্যতা থেকে আমরা «b for এর জন্য সমাধান করতে পারি এবং তা অর্জন করতে পারি
বি = 12 * পাপ (60º) / পাপ (45º) = 6√6 ≈ 14.696 সেমি।
আমরা «সি for এর জন্যও সমাধান করতে পারি এবং এটিটি পেতে পারি
সি = 12 * পাপ (75º) / পাপ (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16.392 সেমি।
দ্বিতীয় অনুশীলন
প্রদত্ত ত্রিভুজটি ABC যেমন A = 60º, C = 75º এবং b = 10 সেমি, ত্রিভুজের অন্যান্য ডেটা গণনা করুন।
সমাধান
আগের অনুশীলনের মতো, বি = 180º-60º-75º = 45º º তদতিরিক্ত, সাইনস আইনটি ব্যবহার করে আমাদের কাছে একটি / পাপ (60º) = 10 / পাপ (45º) = সি / পাপ (75º) রয়েছে, যা থেকে এটি প্রাপ্ত যে a = 10 * পাপ (60º) / পাপ (45º) = 5√6 ≈ 12.247 সেমি এবং সি = 10 * পাপ (75º) / পাপ (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13.660 সেমি।
তৃতীয় অনুশীলন
প্রদত্ত ত্রিভুজটি ABC যেমন a = 10 সেমি, খ = 15 সেমি এবং সি = 80º, ত্রিভুজের অন্যান্য ডেটা গণনা করুন।
সমাধান
এই অনুশীলনে কেবল একটি কোণ জানা যায়, সুতরাং এটি আগের দুটি অনুশীলনের মতো শুরু করা যায় না। এছাড়াও, সাইনস আইন প্রয়োগ করা যাবে না কারণ কোনও সমীকরণ সমাধান করা যায়নি।
অতএব, আমরা কোসাইন আইন প্রয়োগ করতে এগিয়ে যান। এটা তখনই
সি² = 10² + 15² - 2 (10) (15) কোস (80º) = 325 - 300 * 0.173 ≈ 272.905 সেমি, যাতে সি ≈ 16.51 সেমি। এখন, 3 টি দিকগুলি জেনে, সাইনস আইনটি ব্যবহৃত হয় এবং এটি প্রাপ্ত হয়
10 / পাপ (এ) = 15 / পাপ (বি) = 16.51 সেমি / পাপ (80º)।
সুতরাং, পাপের (বি) = 15 * পাপ (80º) / 16.51 ≈ 0.894 এ বি ফলাফলের সমাধান করা, যা বোঝায় যে বি ≈ 63.38º º
এখন, আমরা এ = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º পেতে পারি º
চতুর্থ অনুশীলন
একটি তির্যক ত্রিভুজটির পক্ষগুলি হ'ল = 5 সেমি, বি = 3 সেমি এবং সি = 7 সেমি। ত্রিভুজের কোণগুলি সন্ধান করুন।
সমাধান
আবার, সাইনস আইনটি সরাসরি প্রয়োগ করা যায় না কারণ কোনও সমীকরণ কোণগুলির মূল্য অর্জন করতে পারে না।
কোসাইন আইনটি ব্যবহার করে আমাদের কাছে c² = a² + b² - 2ab cos (C) রয়েছে, যা থেকে সমাধানের সময় আমাদের কাছে সেই কোস (সি) = (এএ + বি - সি²) / 2 এবি = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 এবং তাই সি = 120º º
এখন যদি আমরা সাইনের আইন প্রয়োগ করতে পারি এবং এভাবে 5 / পাপ (এ) = 3 / পাপ (বি) = 7 / পাপ (120º) পেতে পারি, সেখান থেকে আমরা বিয়ের জন্য সমাধান করতে পারি এবং সেই পাপ (বি) = 3 * পেতে পারি sin (120º) / 7 = 0.371, যাতে বি = 21.79º º
অবশেষে, শেষ কোণটি এ = 180º-120º-21.79º = 38.21º ব্যবহার করে গণনা করা হয় º
তথ্যসূত্র
- ল্যান্ডাভার্ডে, এফ। ডি। (1997)। জ্যামিতি (পুনরায় মুদ্রণ সম্পাদনা)। অগ্রগতি।
- লেকে, ডি (2006)। ত্রিভুজ (চিত্রিত সম্পাদনা)। হাইনম্যান-রেইনট্রি।
- পেরেজ, সিডি (2006)। প্রাক্কুলেশন। পিয়ারসন শিক্ষা.
- রুইজ, Á।, এবং ব্যারান্টেস, এইচ। (2006) জ্যামিতি। সিআর প্রযুক্তি।
- সুলিভান, এম। (1997)। প্রাক্কুলেশন। পিয়ারসন শিক্ষা.
- সুলিভান, এম। (1997)। ত্রিকোণমিতি এবং বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি। পিয়ারসন শিক্ষা.