ইন্টেগ্রাল ধরনের আমরা ক্যালকুলাস যে অনির্দিষ্ট ইন্টেগ্রাল এবং নির্দিষ্ট ইন্টেগ্রাল হয়। যদিও নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালগুলিতে অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালগুলির চেয়ে অনেক বেশি অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে তবে প্রথমে অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালগুলি কীভাবে সমাধান করা যায় তা শিখতে হবে।
নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের সবচেয়ে আকর্ষণীয় অ্যাপ্লিকেশনগুলির মধ্যে একটি হ'ল বিপ্লবের শক্তির ভলিউমের গণনা। উভয় প্রকারের ইন্টিগ্রালের লিনিয়ারিটির একই বৈশিষ্ট্য রয়েছে এবং সংহতকরণের কৌশলগুলিও ইন্টিগ্রালের ধরণের উপর নির্ভর করে না।
সলিড অফ রেভোলিউশন
তবে খুব সাদৃশ্য থাকা সত্ত্বেও একটি মূল পার্থক্য রয়েছে; প্রথম ধরণের অবিচ্ছেদ্য ক্ষেত্রে ফলাফলটি একটি ফাংশন (যা নির্দিষ্ট নয়) যখন দ্বিতীয় প্রকারে ফলাফলটি একটি সংখ্যা।
মূল ধরণের ইন্টিগ্রালগুলি
ইন্টিগ্রালগুলির জগতটি খুব বিস্তৃত তবে এর মধ্যে আমরা দুটি মৌলিক ধরণের ইন্টিগ্রালকে আলাদা করতে পারি, যা দৈনন্দিন জীবনে দুর্দান্ত প্রয়োগযোগ্য।
1- অনির্দিষ্ট সংহত
যদি F এর ডোমেনে সমস্ত x এর জন্য F '(x) = f (x) হয়, তবে আমরা বলি যে F (x) একটি antiderivative, একটি আদিম, বা f (x) এর অবিচ্ছেদ্য।
অন্যদিকে, আসুন আমরা পর্যালোচনা করি যে (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), যা বোঝায় যে কোনও ক্রমের অবিচ্ছেদ্য অনন্য নয়, যেহেতু ধ্রুবক সিকে বিভিন্ন মান দেওয়ার ফলে আমরা পৃথক পৃথক প্রাপ্ত করব antiderivatives।
এই কারণে এফ (এক্স) + সি এফ (এক্স) এর ইনডিফিনিট ইন্টিগ্রাল এবং সি বলা হয় সংহতকরণের ধ্রুবক এবং আমরা নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে এটি লিখি
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য
যেমন আমরা দেখতে পাচ্ছি, ফ (এক্স) ফাংশনের অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য একটি ফাংশনের পরিবার।
উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি f (x) = 3x² ফাংশনের অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সন্ধান করতে চান তবে আপনাকে প্রথমে f (x) এর একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ সন্ধান করতে হবে।
এফ (x) = x (এফ (x) = 3x² যেহেতু এফ (এক্স) = x³ একটি অ্যান্টিডারিভেটিভ see অতএব, এটি উপসংহারে আসা যায়
(F (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C
2- চূড়ান্ত সংহত
যাক y = f (x) একটি বন্ধ বিরতিতে একটি আসল, অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হতে দিন এবং F (x) কে f (x) এর একটি antiderivative হতে দিন। A এবং b এর সীমাগুলির মধ্যে f (x) এর নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্যকে F (b) -F (a) নাম্বার বলা হয়, এবং নিম্নলিখিত হিসাবে চিহ্নিত করা হয়
ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য
উপরে দেখানো সূত্রটি "ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য" হিসাবে বেশি পরিচিত better এখানে "এ" কে নিম্ন সীমা বলা হয় এবং "বি" কে উপরের সীমা বলা হয়। আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে কোনও ফাংশনের সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য একটি সংখ্যা।
এই ক্ষেত্রে, f (x) = 3x² এর নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ব্যবধানে গণনা করা হলে একটি সংখ্যা পাওয়া যাবে।
এই সংখ্যাটি নির্ধারণ করতে আমরা F (x) = x³ কে f (x) = 3x² এর অ্যান্টিডেরিভেটিভ হিসাবে বেছে নিই ² তারপরে, আমরা F (3) -F (0) গণনা করি যা আমাদের 27-0 = 27 ফলাফল দেয়। উপসংহারে, বিরতিতে চ (এক্স) এর সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য 27 হয়।
এটি লক্ষ করা যায় যে যদি জি (x) = x³ + 3 বেছে নেওয়া হয় তবে জি (এক্স) এফ (এক্স) এর এন্টিডেরিভেটিভ, এফ (এক্স) থেকে আলাদা, তবে জি (3) -জি (জি) এর পরে ফলাফলটি প্রভাবিত করে না 0) = (27 + 3) - (3) = 27। এই কারণে, সংহতকরণের ধ্রুবকটি নির্দিষ্ট সংহতগুলিতে উপস্থিত হয় না।
এই ধরণের ইন্টিগ্রালের সবচেয়ে দরকারী অ্যাপ্লিকেশনগুলির মধ্যে একটি হ'ল এটি আমাদের একটি প্লেনের চিত্রের (ভলিউম) গণনা করতে পারে (বিপ্লবের দৃ solid় একটি), উপযুক্ত ফাংশন এবং সংহতকরণের সীমা স্থাপন করে (এবং আবর্তনের একটি অক্ষ)।
নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের মধ্যে আমরা এর বিভিন্ন এক্সটেনশানগুলি যেমন লাইন ইন্টিগ্রালস, পৃষ্ঠের ইন্টিগ্রালগুলি, অনুপযুক্ত ইন্টিগ্রালগুলি, একাধিক ইন্টিগ্রালগুলি, অন্যদের মধ্যে, বিজ্ঞান এবং প্রকৌশল ক্ষেত্রে খুব দরকারী অ্যাপ্লিকেশন সহ সন্ধান করতে পারি।
তথ্যসূত্র
- ক্যাসেলিওরো, জেএম (২০১২) একীভূত করা কি সহজ? স্ব-অধ্যয়নের ম্যানুয়াল। মাদ্রিদ: ESIC।
- ক্যাসেলিরো, জেএম, এবং গমেজ-আলভারেজ, আরপি (2002)। ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস (সচিত্র অ্যাড।) মাদ্রিদ: ESIC সম্পাদকীয়।
- ফ্লেমিং, ডাব্লু।, এবং ভারবার্গ, ডিই (1989)। প্রিক্যালকুলাস গণিত। প্রেন্টাইস হল পিটিআর।
- ফ্লেমিং, ডাব্লু।, এবং ভারবার্গ, ডিই (1989)। প্রিক্যালকুলাস গণিত: সমস্যা সমাধানের পদ্ধতির (২, ইলাস্ট্রেটেড এডি।)। মিশিগান: প্রিন্টাইস হল।
- কিশান, এইচ। (2005) ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস। আটলান্টিক পাবলিশার্স এবং বিতরণকারী।
- পুরসেল, ইজে, ভারবার্গ, ডি, এবং রিগডন, এসই (2007)। ক্যালকুলাস (নবম সংস্করণ)। প্রেন্টিস হল.