অক্ষীয় প্রতিসাম্য: বৈশিষ্ট্য, উদাহরণ এবং অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

অক্ষীয় প্রতিসাম্য সোজা দ্বিখণ্ডক দ্বারা অন্য চিত্র পয়েন্ট সঙ্গে একটি চিত্র কাকতালীয়ভাবে পয়েন্ট প্রতিসাম্য অক্ষ বলা যখন হয়। একে রেডিয়াল, ঘোরানো বা নলাকার প্রতিসাম্যও বলা হয়।

এটি সাধারণত জ্যামিতিক পরিসংখ্যানগুলিতে প্রয়োগ করা হয় তবে এটি প্রকৃতিতে সহজেই পর্যবেক্ষণযোগ্য, কারণ এখানে প্রজাপতি, বিচ্ছু, লেডিব্যাগ বা মানুষ রয়েছে যা অক্ষীয় প্রতিসাম্য উপস্থাপন করে।

টরন্টো শহরের আকাশ লাইনের এই ছবিতে এবং পানিতে এর প্রতিবিম্ব অক্ষর প্রতিসাম্য প্রদর্শিত হয়। (সূত্র: পিক্সাবে)

কীভাবে অক্ষীয় প্রতিসম সন্ধান করতে হয়

একটি রেখার (এল) সম্মানের সাথে পয়েন্ট পি এর অক্ষীয় প্রতিসাম্য পি 'সন্ধানের জন্য, নিম্নলিখিত জ্যামিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করা হয়:

1.- রেখাংশের লম্ব লম্ব (L) যা পয়েন্ট পয়েন্ট দিয়ে যায়

2.- দুটি লাইনের বাধা একটি পয়েন্ট O নির্ধারণ করে

৩.- সেগমেন্ট পিওর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করা হয়, তারপরে এই দৈর্ঘ্যটি পি থেকে ও এর দিকে ও থেকে শুরু করে পয়েন্ট '' বিন্দু নির্ধারণ করে লাইন (পিও) এ অনুলিপি করা হয়।

৪.- পয়েন্ট P 'অক্ষের (এল) এর সাথে সম্মতিযুক্ত পয়েন্টের অক্ষের প্রতিসাম্য, যেহেতু রেখাটি (এল) সেগমেন্টের পিপি'র দ্বিখণ্ডক', কারণকেন্দ্রটির মধ্য বিন্দু হয়ে ওঠে।

চিত্র ১. দুটি বিন্দু পি এবং পি 'অক্ষের (পি) অক্ষের সমান্তরাল হয় যদি বলা হয় অক্ষটি পিগমেন্টের বিভাজক হয়'

অক্ষীয় প্রতিসম বৈশিষ্ট্য

- অক্ষীয় প্রতিসাম্য isometric, অর্থাত্ জ্যামিতিক চিত্রের দূরত্ব এবং এর সাথে সম্পর্কিত প্রতিসাম্য সংরক্ষণ করা হয়।

- একটি কোণের পরিমাপ এবং এর প্রতিসাম্য সমান।

- প্রতিসাম্যের অক্ষের একটি বিন্দুর অক্ষীয় প্রতিসাম্য বিন্দুটি।

- প্রতিসরের অক্ষের সাথে সমান্তরাল রেখার প্রতিসাম্য রেখাটিও বলা অক্ষের সমান্তরাল একটি লাইন।

- প্রতিসমের অক্ষের একটি সেকেন্ড রেখার প্রতিসাম্য রেখার মতো একটি সেকেন্ড রেখা থাকে যা ঘুরেফিরে মূল লাইনের একই বিন্দুতে প্রতিসাম্যের অক্ষকে ছেদ করে।

- একটি রেখার প্রতিসাম্য চিত্রটি অন্য একটি রেখা যা মূল রেখার মতো একই পরিমাপের প্রতিসামের অক্ষের সাথে একটি কোণ তৈরি করে।

- প্রতিসাম্যের অক্ষের সাথে লম্বের লম্বের প্রতিসাম্য চিত্রটি অন্য একটি লাইন যা প্রথমটির ওভারল্যাপ করে।

- একটি রেখা এবং এর অক্ষীয় প্রতিসম রেখা একটি কোণ তৈরি করে যার দ্বিখণ্ডক প্রতিসমের অক্ষ হয় is

চিত্র 2. অক্ষীয় প্রতিসাম্য দূরত্ব এবং কোণগুলি সংরক্ষণ করে।

অক্ষীয় প্রতিসাম্যের উদাহরণ

প্রকৃতি অক্ষীয় প্রতিসারণের প্রচুর উদাহরণ প্রদর্শন করে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি মুখের প্রতিসামগ্রী, প্রজাপতিগুলির মতো পোকামাকড়, শান্ত জলের উপরিভাগ এবং আয়না বা গাছের পাতাগুলির প্রতিফলন দেখতে পান এবং আরও অনেকের মধ্যে দেখতে পারেন।

চিত্র 3. এই প্রজাপতি নিখুঁত অক্ষীয় প্রতিসাম্য কাছাকাছি প্রদর্শিত। (সূত্র: পিক্সাবে)

চিত্র 4. এই মেয়েটির মুখের অক্ষীয় প্রতিসাম্য রয়েছে। (সূত্র: পিক্সাবে)

অক্ষীয় প্রতিসম ব্যায়াম

অনুশীলনী 1

আমাদের A, B এবং C এর উল্লম্ব ত্রিভুজ রয়েছে যার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক যথাক্রমে A = (2, 5), বি = (1, 1) এবং সি = (3,3)। ওয়াই অক্ষ (অ্যাকর্ডিনেট অক্ষ) সম্পর্কে ত্রিভুজ সমান্তরালের কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন।

সমাধান: যদি কোনও বিন্দুতে P এর স্থানাঙ্ক থাকে (x, y) তবে এর অর্ডিনেট অক্ষ (Y অক্ষ) সম্পর্কে এর প্রতিসাম্য হল পি '= (- x, y)। অন্য কথায়, এর অ্যাবসিসার মান সাইন পরিবর্তন করে, যখন অর্ডিনেটের মান একই থাকে।

এই ক্ষেত্রে, A ', B' এবং C 'শীর্ষক সমান্তরাল ত্রিভুজটির সমন্বয় থাকবে:

এ '= (- 2, 5); বি '= (- 1, 1) এবং সি' = (- 3, 3) হিসাবে চিত্র 6 এ দেখা যাবে।

চিত্র 6.. যদি কোনও বিন্দু স্থানাঙ্ক (x, y) থাকে তবে Y অক্ষের সাথে এটির প্রতিসাম্য (অরডিনেট অক্ষ) সমন্বয় (-x, y) থাকবে।

অনুশীলন 2

অনুশীলন 1 থেকে ত্রিভুজ এবিসি এবং এর প্রতিসাম্য এ 'বি'সি'র রেফারেন্স সহ, পরীক্ষা করুন যে মূল ত্রিভুজ এবং এর প্রতিসামগ্রহের সাথে সম্পর্কিত দৈর্ঘ্যের দৈর্ঘ্য একই have

সমাধান: আমরা ইউক্লিডিয়ান দূরত্বের সূত্রটি ব্যবহার করি তার পক্ষগুলির দূরত্ব বা দৈর্ঘ্য সন্ধান করতে:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (লিখেছেন - আয়) ^ 2) = √ ((1-2)) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

সংশ্লিষ্ট প্রতিসম পার্শ্ব A'B 'এর দৈর্ঘ্য নীচে গণনা করা হয়:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (বাই-আয়') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

এইভাবে, এটি যাচাই করা হয়েছে যে অক্ষীয় প্রতিসাম্য দুটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব সংরক্ষণ করে। দৈর্ঘ্যে আক্রমণটি পরীক্ষা করার জন্য ত্রিভুজ এবং এর প্রতিসামন্ত্রের অন্যান্য দুটি পক্ষের জন্য পদ্ধতিটি পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236।

অনুশীলন 3

অনুশীলন 1 থেকে ত্রিভুজ এবিসি এবং এর সমন্বিত এ 'বি'সি'র সাথে সম্পর্কিত, পরীক্ষা করুন যে মূল ত্রিভুজ এবং এর প্রতিসামগ্রহের সাথে সম্পর্কিত কোণগুলি একই কৌণিক পরিমাপ রয়েছে।

সমাধান: পরিমাপ করে নির্ধারণ করতে কোণ বাক এবং B'A'C ', আমরা প্রথম ভেক্টর স্কালে পণ্যের নিরূপণ করবে এবি সঙ্গে এসি এবং তারপর এর স্কালে পণ্যের A'B' সঙ্গে A'C ' ।

মনে আছে যে:

এ = (২, ৫), বি = (১, ১) এবং সি = (৩,৩)

এ '= (- 2, 5); বি '= (- 1, 1) এবং সি' = (- 3, 3)।

ইহা ছিল:

এবি = <1-2, 1-5> এবং এসি = <3-2, 3-5>

একইভাবে

এ'বি ' = <-1 + 2, 1-5> এবং এসি = <-3 + 2, 3-5>

তারপরে নিম্নলিখিত স্কেলার পণ্যগুলি পাওয়া যায়:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

একইভাবে

এ 'বি'এএ'সি' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

কোণ BAC এর পরিমাপটি হ'ল:

ACBAC = আরকোস (AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC-)) =

আরকোস (7 / (4,123⋅2,236)) = 40.6º º

একইভাবে, কোণ B'A'C এর পরিমাপটি হ'ল:

∡B'A'C '= আর্ককোস (A'B'⋅A'C' / (- - A'B' -'- A'C'-)) =

আরকোস (7 / (4,123⋅2,236)) = 40.6º º

যে অক্ষীয় প্রতিসাম্য সমাপ্তি কোণগুলির পরিমাপ সংরক্ষণ করে।

অনুশীলন 4

একটি বিন্দু পি স্থানাঙ্কের হতে দিন (ক, খ)। Y = x রেখার সাথে এর অক্ষরীয় প্রতিসাম্য P এর সমন্বয়গুলি সন্ধান করুন।

সমাধান: আমরা y = x রেখার সাথে সম্মিলিত বিন্দু পি'র সমন্বয়কে কল করব (একটি ', বি')। বিভাগের পিপি'র মিডপয়েন্ট এম এর স্থানাঙ্ক রয়েছে ((a + a ') / 2, (b + b') / 2) এবং y = x লাইনেও রয়েছে, সুতরাং নিম্নলিখিত সমতাটি ধরে রাখে:

a + a '= b + b'

অন্যদিকে, সেগমেন্টের পিপি'র ঝাল -1 রয়েছে কারণ এটি opeালু 1 সহ y = x রেখার লম্ব হয়, সুতরাং নিম্নলিখিত সাম্যতা ধরে রাখে:

বি - বি '= এ' -এ

দুটি এবং পূর্ববর্তী দুটি সমতার জন্য সমাধান করা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছে যে:

a '= by খ' = ক।

এটি, একটি বিন্দু P (a, b) দেওয়া, y = x রেখার সাথে এর অক্ষের প্রতিসাম্যটি হ'ল পি '(খ, ক)।

তথ্যসূত্র

1. আর্স এম।, ব্লাজকুয়েজ এস এবং অন্যান্য। বিমানের রূপান্তর। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: educationutmxli.files.wordpress.com
2. গণনা সিসি। অক্ষীয় প্রতিসাম্য। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: ক্যালকুলো.সি.সি.
3. সুপারপ্রোফ অক্ষীয় প্রতিসাম্য। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: সুপারপ্রফেস
4. উইকিপিডিয়া অক্ষীয় প্রতিসাম্য। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: এস.ইউইকিভিডিয়া
5. উইকিপিডিয়া বিজ্ঞপ্তি প্রতিসম। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: en.wikedia.com থেকে ipedia