রিম্যান সমষ্টি একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য আনুমানিক হিসাব, পদ একটি নির্দিষ্ট নম্বরে কোনো বিযুক্ত সঙ্কলন মাধ্যমে জন্য নাম। একটি সাধারণ অ্যাপ্লিকেশন হ'ল গ্রাফের ফাংশনগুলির ক্ষেত্রের প্রায় অনুমান।

তিনি ছিলেন জার্মান গণিতবিদ জর্জিড ফ্রিডরিখ বার্নহার্ড রিমান (১৮২26-১6666 first) যিনি প্রথমে একটি নির্দিষ্ট বিরতিতে কোনও ফাংশনের ইন্টিগ্রালের কঠোর সংজ্ঞা দিয়েছিলেন। তিনি এটি 1854 সালে প্রকাশিত একটি নিবন্ধে এটি পরিচিত করেছিলেন।

চিত্র 1. Riemann যোগফল একটি ফাংশন এফ এবং বিরতিতে একটি পার্টিশন উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়। সূত্র: ফ্যানি জাপাটা।

রিমন সমষ্টিটি একটি ফাংশন y = f (x) এ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, এক্সটি বন্ধ ব্যবধানের অন্তর্ভুক্ত with এই ব্যবধানে, এন উপাদানগুলির একটি পার্টিশন পি তৈরি করা হয়:

পি = {x ₀ = এ, এক্স ₁, এক্স ₂,…, এক্স _এন = বি}

এর অর্থ হ'ল বিরতি নিম্নরূপে বিভক্ত:

x _{কে -1} ≤ টি _কে ≤ এক্স _কে

চিত্র 1 গ্রাফিকালভাবে চারটি সাবিন্টেরভাল, ধূসর আয়তক্ষেত্রের একটি পার্টিশনের বিরতিতে ফাংশনটির ফাংশনটির রিমন সমষ্টি দেখায়।

যোগফলটি আয়তক্ষেত্রের মোট ক্ষেত্রের প্রতিনিধিত্ব করে এবং এই যোগফলের ফলাফল অঙ্কিতভাবে x এর সাথে x = x _{0 এবং} x = x _{4 এর} মধ্যে বক্ররেখের নীচের অঞ্চলটিকে সংখ্যায়িত করে ।

অবশ্যই, কার্ভের নীচে অংশের সান্নিধ্যে পার্টিশনের সংখ্যা এন বেশি হওয়ায় ব্যাপকভাবে উন্নতি হয়। পার্টিশনের সংখ্যা n যখন অসীমের দিকে ঝুঁকছে তখন এই উপায়ে যোগফলটি বক্ররেখার অধীনে অঞ্চলে রূপান্তর করে।

সূত্র এবং বৈশিষ্ট্য

পার্টিশনে f (x) ফাংশনের রিমন যোগফল:

পি = {x ₀ = এ, এক্স ₁, এক্স ₂,…, এক্স _এন = বি}

ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত, এটি দ্বারা দেওয়া হয়:

এস (পি, এফ) = ∑ _{কে = 1} ^এন ফ (টি _কে) (এক্স _কে - এক্স _{কে -1})

যেখানে t _কে অন্তর অন্তর মান। রিমান সমষ্টিতে, প্রস্থ Δx = (খ - ক) / এন এর নিয়মিত বিরতিগুলি সাধারণত ব্যবহৃত হয়, যেখানে ক এবং খ অ্যাবসিসার সর্বনিম্ন এবং সর্বাধিক মান হয়, এবং n হল মহকুমার সংখ্যা।

সেক্ষেত্রে রিমানের যোগফলটি হ'ল:

এসডি (এফ, এন) = * Δx

চিত্র 2. রিমন ডান যোগফল। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স। 09glasgow09।

যদিও রিমন বাম যোগ হিসাবে প্রকাশ করা হয়:

যদি (চ, এন) = * Δx

চিত্র 3. বাম রিমান সমষ্টি। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স। 09glasgow09

শেষ পর্যন্ত কেন্দ্রীয় রিমন সমষ্টিটি হ'ল:

Sc (f, n) = * Δx

চিত্র ৪. মধ্যবর্তী রিমন সমষ্টি sum সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স। 09glasgow09

বিন্দু টি _কে কোথায় বিরতিতে অবস্থিত, তার উপর নির্ভর করে, রিমন সমষ্টি ফাংশন y = f (x) এর বক্ররেখার নীচে ক্ষেত্রের যথাযথ মানকে মূল্যায়ন বা মূল্যায়ন করতে পারে। অন্য কথায়, আয়তক্ষেত্রগুলি হয় বক্ররেখা থেকে প্রসারিত হতে পারে বা এর সামান্য নীচে হতে পারে।

বক্ররেখার নিচে অঞ্চল

রিমানের যোগফলের প্রধান সম্পত্তি এবং যার থেকে এর গুরুত্বটি উদ্ভূত হয় তা হ'ল মহকুমার সংখ্যা যদি অসীমের দিকে ঝুঁকে থাকে তবে যোগফলের ফলাফলটি কার্যের নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদে রূপান্তরিত করে:

সমাধান ব্যায়াম

- অনুশীলনী 1

ফাংশনের b = +2 এর মাধ্যমে a = -2 এর মধ্যে নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্যের মান গণনা করুন:

f (x) = x ²

একটি রিমন যোগফল ব্যবহার করুন। এটি করার জন্য প্রথমে বিরতিতে নিয়মিত পার্টিশনের যোগফল সন্ধান করুন এবং তারপরে পার্টিশনের সংখ্যা অসীমের দিকে ঝুঁকির ক্ষেত্রে গাণিতিক সীমাটি নিন।

সমাধান

এইগুলি অনুসরণ করার পদক্ষেপগুলি:

প্রথমত, পার্টিশন ব্যবধানটি নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

=x = (খ - ক) / এন।

-যখন f (x) ফাংশনটির সাথে সম্পর্কিত ডানদিকে রিমেন যোগফলটি দেখতে পাবেন:

- এবং তারপরে এটি সাবধানতার সাথে সমষ্টিতে প্রতিস্থাপন করা হবে:

- পরবর্তী পদক্ষেপটি হ'ল পরিমাণগুলি আলাদা করা এবং প্রতিটি অঙ্কের একটি সাধারণ কারণ হিসাবে ধ্রুবক পরিমাণ গ্রহণ করা। সূচকটি আমি হ'ল বিবেচনায় নেওয়া দরকার, সুতরাং n এর সাথে সংখ্যা এবং পদগুলি ধ্রুবক হিসাবে বিবেচিত হয়:

- প্রতিটি সমষ্টি মূল্যায়ন করা হয়, যেহেতু তাদের প্রত্যেকটির জন্য যথাযথ অভিব্যক্তি রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, অঙ্কের প্রথমটি n দেয়:

-শেষে, গণনা করার জন্য অবিচ্ছেদ্য হ'ল:

পাঠক এটি পরীক্ষা করতে পারেন যে এটিই সঠিক ফলাফল, যা অনির্দিষ্টকালের অবিচ্ছেদ্য সমাধান করে এবং ব্যারোর নিয়ম অনুসারে সংহতকরণের সীমাটি মূল্যায়ন করে প্রাপ্ত হতে পারে।

- অনুশীলন 2

ফাংশনের আওতাধীন অঞ্চলটি প্রায় নির্ধারণ করুন:

চ (x) এর = (1 / √ (2π)) ই ^{(-x 2 /2)}

X = -1 এবং x = + 1 লিখুন, 10 পার্টিশন সহ সেন্ট্রাল রিমন যোগফল ব্যবহার করুন। সঠিক ফলাফলের সাথে তুলনা করুন এবং শতাংশের পার্থক্যটি অনুমান করুন।

সমাধান

পরপর দুটি বিচ্ছিন্ন মানগুলির মধ্যে পদক্ষেপ বা বর্ধন হ'ল:

=x = (1 - (-1) / 10 = 0.2

সুতরাং পার্টিশন পি যা আয়তক্ষেত্রগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে তা দেখতে এরকম দেখাচ্ছে:

পি = {-1.0; -0.8; -0.6; -0.4; -0.2; 0.0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0

তবে যেহেতু যা চাওয়া হয়েছে তা কেন্দ্রীয় যোগফল, তাই ফ (এক্স) ফাংশনটি উপকেন্দ্রগুলির মধ্যম পয়েন্টগুলিতে, অর্থাৎ সেটে মূল্যায়ন করা হবে:

টি = {-0.9; -0.7; -0.5; -0.3; -0.1; 0.1; ০.০; 0.5; 0.7; 0.9}

(কেন্দ্রীয়) রিমন সমষ্টিটি দেখতে এরকম দেখাচ্ছে:

এস = এফ (-0.9) * 0.2 + চ (-0.7) * 0.2 + ফ (-0.5) * 0.2 +… + ফ (0.7) * 0.2 + f (0.9) * 0.2

যেহেতু ফ ক্রিয়াটি প্রতিসম হয়, তাই যোগফলটি কেবলমাত্র 5 টি পদে হ্রাস করা সম্ভব এবং ফলাফলটি দুটি দ্বারা গুণিত হয়:

এস = 2 * 0.2 * {ফ (0.1) + চ (0.3) + চ (0.5) + চ (0.7) + চ (0.9)}

এস = 2 * 0.2 * {0.397+ 0.381+ 0.352+ 0.312+ 0.266} = 0.683

এই উদাহরণে প্রদত্ত ফাংশনটি সুপরিচিত গাউসিয়ান বেল ছাড়া অন্য কোনও নয় (সাধারণীকরণ, যার অর্থ শূন্যের সমান এবং মান বিচ্যুতি এক)। এই ফাংশনটির জন্য ব্যবধানে বক্ররেখার ক্ষেত্রফল 0.6827 বলে জানা যায়।

চিত্র 5. গাইসিয়ান বেলের নিচে অঞ্চলটি রিমন রাশি দ্বারা সজ্জিত। সূত্র: এফ.জাপাটা।

এর অর্থ হ'ল মাত্র 10 টি পদ সহ আনুমানিক সমাধানটি তিন দশমিক জায়গায় সঠিক সমাধানের সাথে মেলে। আনুমানিক এবং সঠিক ইন্টিগ্রালের মধ্যে শতাংশ ত্রুটি 0.07%।

তথ্যসূত্র

1. ক্যাসেলিরো, জেএম, এবং গমেজ-আলভারেজ, আরপি (2002)। ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস (সচিত্র অ্যাড।) মাদ্রিদ: ESIC সম্পাদকীয়।
2. ইউনিকান অবিচ্ছেদ্য ধারণার ইতিহাস। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: repositorio.unican.es
3. ইউআইএস রিমন রাশি। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: matematicas.uis.edu.co
4. উইকিপিডিয়া। রিমন যোগফল। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: এস.ইউইকিভিডিয়া
5. উইকিপিডিয়া। রিমন একীকরণ। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: এস.ইউইকিভিডিয়া