সমষ্টি দূরবীনসংক্রান্ত একটি শাখা অপারেশন সংখ্যাসূচক সিরিজ। এটি প্রাথমিক মূল্য থেকে অভিব্যক্তিগুলির "এন" পর্যন্ত সংশ্লেষগুলির সাথে আলোচনা করে যার যুক্তি নীচের কোনও নিদর্শন মেনে চলে:
(এফ x - এফ x + 1); (এফ x + 1 - এফ এক্স)
যেমন আরো:
সূত্র: পিক্সাবে ডটকম
এগুলি এমন উপাদানগুলির সংক্ষিপ্তসার প্রতিনিধিত্ব করে যেগুলি যখন বিকশিত হয় তখন বিপরীত শর্তগুলি বাতিল করার শিকার হয়। দূরবীণ সংক্ষিপ্তসারগুলির জন্য নিম্নলিখিত সমতাটি সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব করে তোলে:
এর নামটি ক্লাসিক টেলিস্কোপের উপস্থিতির সাথে সম্পর্ক থেকে আসে, যা ভাঁজ এবং উন্মোচিত হতে পারে, উল্লেখযোগ্যভাবে এর মাত্রা পরিবর্তন করে। একইভাবে, দূরবীণ সংক্ষিপ্তসারগুলি, যা প্রকৃতির অসীম, সরলীকৃত প্রকাশে সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে:
এফ 1 - এফ এন + 1
প্রদর্শন
পদগুলির সংমিশ্রণ বিকাশ করার সময়, কারণগুলির নির্মূলকরণ বেশ স্পষ্ট। যেখানে প্রতিটি ক্ষেত্রে, বিপরীত উপাদানগুলি পরবর্তী পুনরাবৃত্তিতে উপস্থিত হবে।
প্রথম কেস, (এফ এক্স - এফ এক্স + 1) উদাহরণ হিসাবে নেওয়া হবে, যেহেতু প্রক্রিয়াটি (এফ x + 1 –F এক্স) এর জন্য সমজাতীয়ভাবে কাজ করে ।
প্রথম 3 টি মান বিকাশ 1, 2, 3 simp সরলকরণের প্রবণতা লক্ষ্য করা যায়
এক্স 1 (এফ 1 - এফ 1 + 1) = এফ 1 - এফ 2
এক্স 2 (এফ 2 - এফ 2 + 1) = এফ 2 - এফ 3
এক্স 3 (এফ 3 - এফ 3 + 1) = এফ 3 - এফ 4
যেখানে বর্ণিত উপাদানের যোগফল প্রকাশ করার সময়:
এক্স 1 + এক্স 2 + এক্স 3 = এফ 1 - এফ 2 + এফ 2 - এফ 3 + এফ 3 - এফ 4
দেখা গেছে যে F 2 এবং F 3 পদগুলি তাদের বিপরীতগুলির সাথে একত্রে বর্ণিত হয়েছে, যা তাদের সরলকরণ অনিবার্য করে তোলে। একইভাবে, এটি দেখা যায় যে F 1 এবং F 4 পদগুলি বজায় রাখা হয়েছে।
যদি যোগফলটি x = 1 থেকে x = 3 থেকে তৈরি করা হয় তবে এর অর্থ F 4 উপাদানটি জেনেরিক শব্দ F n + 1 এর সাথে মিলে যায়।
সুতরাং সমতা প্রদর্শন:
কীভাবে সমাধান হয়?
টেলিস্কোপিক সংক্ষেপণের উদ্দেশ্য কাজটি সহজ করে তোলা, যাতে অসীম সংখ্যার পদ বিকাশ করা প্রয়োজন হয় না বা খুব দীর্ঘ যে সংযোজনগুলির কিছু শৃঙ্খলা সহজ করা যায়।
এর সমাধানের জন্য কেবল F 1 এবং F n + 1 পদগুলি মূল্যায়ন করা প্রয়োজন । এই সাধারণ বিকল্পগুলি সমষ্টিটির চূড়ান্ত ফলাফল তৈরি করে।
পদগুলির সামগ্রিকতা প্রকাশ করা হবে না, কেবল ফলাফল প্রদর্শনের জন্য প্রয়োজনীয় হয়ে উঠবে, তবে সাধারণ গণনা প্রক্রিয়া নয় not
গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টি হ'ল নম্বর সিরিজের রূপান্তরটি লক্ষ্য করা। কখনও কখনও সংক্ষেপ যুক্তি দূরবীন থেকে প্রকাশ করা হবে না। এই ক্ষেত্রে, বিকল্প ফ্যাক্টরিং পদ্ধতির প্রয়োগ খুব সাধারণ।
টেলিস্কোপিক সংযোজনগুলির বৈশিষ্ট্যযুক্ত গুণনীয়করণ পদ্ধতিটি হ'ল সহজ ভগ্নাংশ। এটি ঘটে যখন কোনও মূল ভগ্নাংশটি বিভিন্ন ভগ্নাংশের যোগফলে বিভক্ত হয়, যেখানে দূরবীণীয় প্যাটার্ন (F x - F x + 1) বা (F x + 1 - F x) লক্ষ্য করা যায় ।
সাধারণ ভগ্নাংশে পচন
সংখ্যাসূচক সিরিজের রূপান্তরটি যাচাই করতে, সাধারণ ভগ্নাংশ পদ্ধতির সাথে যুক্তিবাদী ভাব প্রকাশ করতে খুব সাধারণ। লক্ষ্যটি হ'ল প্লটটিকে একটি দূরবীনসংগঠনের আকারে মডেল করা।
উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত সমতাটি সাধারণ ভগ্নাংশগুলিতে ক্ষয়কে প্রতিনিধিত্ব করে:
নম্বর সিরিজ বিকাশ এবং সংশ্লিষ্ট বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করার সময়, প্রকাশটি নিম্নলিখিত ফর্মটি গ্রহণ করে:
যেখানে দূরবীণ আকৃতির প্রশংসা করা হয়েছে (F x - F x + 1)।
পদ্ধতিটি বেশ স্বজ্ঞাত এবং সংখ্যার মূল্যবোধগুলি সন্ধান করে যা সমতা ভঙ্গ না করে আমাদের ডিনোমিনেটরে পাওয়া পণ্যগুলি আলাদা করতে দেয়। এই মূল্যবোধগুলির নির্ধারণে যে সমীকরণগুলি উত্থিত হয়, সমতার উভয় পক্ষের মধ্যে তুলনা অনুযায়ী উত্থাপিত হয়।
এই পদ্ধতিটি অনুশীলন 2 এর বিকাশের ধাপে ধাপে পর্যবেক্ষণ করা হয়।
ইতিহাস
যে historicalতিহাসিক মুহুর্তে দূরবীন সংক্ষিপ্তসারগুলি উপস্থাপিত হয়েছিল তা সংজ্ঞায়িত করতে সক্ষম হওয়া যথেষ্ট অনিশ্চিত। যাইহোক, লিবনিজ এবং হুইজেনস দ্বারা পরিচালিত সংখ্যাসূচক সিরিজের গবেষণায় সপ্তদশ শতাব্দীতে এর বাস্তবায়ন দেখা যায়।
উভয় গণিতবিদ, ত্রিভুজাকার সংখ্যার সংক্ষিপ্তসারগুলি অন্বেষণ করে ধারাবাহিক উপাদানগুলির কয়েকটি ধারাবাহিক রূপান্তরিত প্রবণতা লক্ষ্য করতে শুরু করেন। তবে আরও আকর্ষণীয় হ'ল এই অভিব্যক্তিগুলির মডেলিংয়ের সূচনা, এমন উপাদানগুলিতে যা অগত্যা একে অপরকে অনুসরণ করে না।
প্রকৃতপক্ষে, পূর্বে ব্যবহৃত অভিব্যক্তিটি সাধারণ ভগ্নাংশগুলি উল্লেখ করে:
এটি হিউজেনস দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল এবং সঙ্গে সঙ্গে লাইবনিজের দৃষ্টি আকর্ষণ করেছিল। যিনি সময়ের সাথে সাথে মানটির ২ টি রূপান্তরটি পর্যবেক্ষণ করতে পারেন it এটি না জেনে তিনি টেলিস্কোপিক সামিট ফর্ম্যাটটি প্রয়োগ করেছিলেন।
অনুশীলন
অনুশীলনী 1
নিম্নলিখিত শর্তটি রূপান্তর করে কোন পদে সংজ্ঞা দিন:
ম্যানুয়ালি যোগফল বিকাশ করার সময়, নিম্নলিখিত প্যাটার্নটি পর্যবেক্ষণ করা হয়:
(2 3 - 2 4) + (2 4 - 2 5) + (2 5 - 2 6)। । । । (2 10 - 2 11)
যেখানে 2 4 থেকে 2 10 এর উপাদানগুলি ইতিবাচক এবং নেতিবাচক অংশ উপস্থিত করে, তাদের বাতিলকে সুস্পষ্ট করে তুলেছে making তারপরে কেবলমাত্র কারণগুলি সরল করা হবে না তা হ'ল প্রথম "2 3 " এবং শেষ "2 11 "।
এইভাবে, টেলিস্কোপিক সামিট মাপদণ্ড কার্যকর করার সময়, নিম্নলিখিতটি প্রাপ্ত হয়:
অনুশীলন 2
যুক্তিটি দূরবীন সংক্রান্ত ধরণের সংমিশ্রণে রূপান্তর করুন এবং সিরিজের রূপান্তরটি সংজ্ঞায়িত করুন:
বিবৃতিতে ইঙ্গিত হিসাবে, প্রথমে করণীয়টি হ'ল সরল ভগ্নাংশগুলিকে পণ্ডিত করা, যাতে যুক্তিটি পুনরায় চালু করতে এবং দূরবীণীয় উপায়ে এটি প্রকাশ করা যায়।
আপনাকে অবশ্যই দুটি ভগ্নাংশ খুঁজে পাবেন যার ডিনোমিনেটর যথাক্রমে "এন" এবং "এন + 1", যেখানে নীচে ব্যবহৃত পদ্ধতিটি অবশ্যই সেই সংখ্যার মান অর্জন করবে যা সাম্যকে সন্তুষ্ট করে।
আমরা এ এবং বি এর মান সংজ্ঞায়িত করতে এগিয়ে চলেছি, প্রথমে ভগ্নাংশগুলি যুক্ত করুন।
তার পরে ডিনোমিনেটরগুলি সরল করা হয় এবং একটি লিনিয়ার সমীকরণ প্রতিষ্ঠিত হয়।
পরবর্তী পদক্ষেপে, ডানদিকে অভিব্যক্তিটি চালিত হয়, যতক্ষণ না বাম দিকে "3" এর সাথে তুলনীয় কোনও প্যাটার্নটি অর্জন করা হয়।
ব্যবহৃত সমীকরণগুলি সংজ্ঞায়িত করতে, উভয় পক্ষের সমতার ফলাফলের সাথে তুলনা করতে হবে। অন্য কথায়, ভেরিয়েবলের কোনও মান বাম দিকে পরিলক্ষিত হয় না, এইভাবে A + B শূন্যের সমান হতে হবে।
এ + বি = 0; এ = -বি
অন্যদিকে, ধ্রুবক মান A এর ধ্রুবক মান 3 এর সমান হতে হবে।
এ = 3
এইভাবে।
এ = 3 এবং বি = -3
সরল ভগ্নাংশের জন্য অঙ্কের মানগুলি ইতিমধ্যে সংজ্ঞায়িত হয়ে গেলে, যোগফলটি পুনরায় সেট করা হয়।
যেখানে ইতিমধ্যে দূরবীনসংগঠনের জেনেরিক ফর্মটি অর্জিত হয়েছে। টেলিস্কোপিক সিরিজটি বিকাশিত।
যেখানে খুব বড় সংখ্যায় বিভাজন করার সময় ফলাফলটি শূন্যের কাছাকাছি এবং আরও কাছাকাছি চলে আসবে, সিরিজের রূপান্তরটি মান 3 তে পর্যবেক্ষণ করবে।
এই ধরণের সিরিজটি সমস্যার কোনও সংখ্যক পুনরাবৃত্তির কারণে সমস্যার অন্য কোনওভাবে সমাধান করা যায়নি। যাইহোক, এই পদ্ধতিটি সহ আরও অনেকগুলি সংখ্যার সিরিজের অধ্যয়নের শাখা ফ্রেম করে, যার উদ্দেশ্য রূপান্তর মানগুলি নির্ধারণ করা বা বলা সিরিজের বিচ্যুতি সংজ্ঞায়িত করা।
তথ্যসূত্র
- ইনফিনাইটিমেল ক্যালকুলাস পাঠ। ম্যানুয়েল ফ্রাঙ্কো, ম্যানুয়েল ফ্রাঙ্কো নিকোলস, ফ্রান্সিসকো মার্টেনেজ গঞ্জালেজ, রোক মোলিনা লেগাজ। এডিটাম, 1994।
- ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস: ক্রিয়াকলাপ এবং ধারাবাহিকতা। আন্তোনিও রিভেরা ফিগুয়েরো। গ্রুপো সম্পাদকীয় পাত্রিয়া, 21 অক্টোবর। 2014।
- ক্যালকুলাস এবং বাস্তব বিশ্লেষণে একটি কোর্স। সুধীর আর ঘোরপাদে, বালমোহন ভি লিমায়। স্প্রিঞ্জার সায়েন্স অ্যান্ড বিজনেস মিডিয়া, ৫ জুন। 2006।
- অসীম ধারাবাহিক। টমলিনসন ফোর্ট। ক্লারেন্ডন প্রেস, 1930।
- অসীম প্রক্রিয়াগুলির তত্ত্বের উপাদানসমূহ। লয়েড লেরয় স্মাইল। ম্যাকগ্রা-হিল বুক কোম্পানি, সংযুক্ত, 1923।