থেকে Bolzano উপপাদ্য বলে যে, একটি ফাংশন একটি বদ্ধ অন্তর প্রতিটি বিন্দুতে একটানা এবং সন্তুষ্ট হলে যে "একটি" এবং "খ" (ফাংশন অধীনে) বিপরীত লক্ষণ আছে ইমেজ, তারপর সেখানে অন্তত একটি বিন্দু হতে হবে " c "উন্মুক্ত ব্যবধানে (ক, খ), এমনভাবে যাতে" সি "তে মূল্যায়ন করা ফাংশনটি 0 এর সমান হয়।
এই উপপাদ্যটি দার্শনিক, ধর্মতত্ত্ববিদ এবং গণিতবিদ বার্নার্ড বল্জানো 1850 সালে একত্রিত করেছিলেন। বর্তমান চেক প্রজাতন্ত্রের মধ্যে জন্মগ্রহণকারী এই বিজ্ঞানী একটানা ক্রিয়াকলাপের বৈশিষ্ট্যের আনুষ্ঠানিক প্রমাণ হিসাবে ইতিহাসের অন্যতম গণিতবিদ ছিলেন।
ব্যাখ্যা
বল্জানোর উপপাদ্যটি অন্তর্বর্তী মানগুলির উপপাদ্য হিসাবেও পরিচিত, যা একটি নির্দিষ্ট ভেরিয়েবলের কিছু নির্দিষ্ট কার্যকারিতা নির্দিষ্ট মানগুলি, বিশেষত শূন্যগুলি নির্ধারণে সহায়তা করে।
প্রদত্ত ফাংশনে f (x) অবিরত থাকে - এটি হল, যে f (a) এবং f (b) একটি বক্ররেখা দ্বারা সংযুক্ত থাকে - যেখানে f (a) x- অক্ষের নীচে থাকে (এটি নেতিবাচক), এবং f (b) দ্বারা x অক্ষের উপরে (এটি ইতিবাচক), বা তদ্বিপরীতভাবে, গ্রাফিকভাবে x অক্ষের উপর একটি কাট অফ পয়েন্ট থাকবে যা একটি মধ্যবর্তী মান «c represent উপস্থাপন করবে যা« a »এবং« b between এর মধ্যে হবে এবং f (c) এর মান হবে 0 সমান হবে।
যখন বল্জনোর উপপাদ্যকে গ্রাফিক্যালি বিশ্লেষণ করা যায় তখন দেখা যায় যে প্রতিটি ধ্রুবক ক্রিয়াকলাপের জন্য f ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত হয়, যেখানে f (a) * f (b) 0 এর চেয়ে কম থাকে, তবে সেই ফাংশনের কমপক্ষে একটি মূল «c be থাকবে বিরতি (ক, খ) এর।
এই উপপাদ্যটি সেই মুক্ত ব্যবধানে পয়েন্টের সংখ্যাটি প্রতিষ্ঠা করে না, এটি কেবলমাত্র কমপক্ষে 1 পয়েন্ট রয়েছে বলে উল্লেখ করেছে।
প্রদর্শন
বল্জানোর উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য, এটি সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই ধরে নেওয়া হয় যে f (a) <0 এবং f (b)> 0; সুতরাং, "ক" এবং "বি" এর মধ্যে অনেকগুলি মান থাকতে পারে যার জন্য f (x) = 0, তবে কেবল একটিই দেখানো দরকার।
আমরা মিড পয়েন্টে (এ + বি) / 2 এ মূল্যায়ন করে শুরু করি। যদি f ((a + b) / 2) = 0 হয় তবে প্রমাণটি এখানেই শেষ হবে; অন্যথায়, তবে চ ((এ + বি) / ২) ধনাত্মক বা নেতিবাচক।
ব্যবধানের অর্ধেকগুলির একটি বেছে নেওয়া হয়েছে, যেমন চূড়ান্তভাবে মূল্যায়ন করা ফাংশনের লক্ষণগুলি পৃথক। এই নতুন বিরতি হবে।
এখন, যদি চ এর মধ্য বিন্দুতে মূল্যায়ন শূন্য না হয়, তবে পূর্বের মতো একই ক্রিয়াকলাপটি সম্পাদন করা হয়; অর্থাৎ, এই ব্যবধানের অর্ধেকটি বেছে নেওয়া হয়েছে যা লক্ষণগুলির শর্ত পূরণ করে। এটি নতুন অন্তর হতে দিন।
আপনি যদি এই প্রক্রিয়াটি চালিয়ে যান, তবে আপনার দুটি সিকোয়েন্স থাকবে {একটি} এবং {বিএন such, যেমন:
{an increasing বৃদ্ধি পাচ্ছে এবং {bn decre হ্রাস পাচ্ছে:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…। ≤…। ≤ বিএন ≤…। ≤ বি 2 ≤ বি 1 ≤ বি।
আপনি যদি প্রতিটি বিরতির দৈর্ঘ্য গণনা করেন তবে আপনাকে তা করতে হবে:
বি 1-এ 1 = (বা) / 2।
বি 2-এ 2 = (বা) / 2²।
…।
bn-an = (বা) / 2 ^ n।
সুতরাং, এন হিসাবে (বিএন-আন) অনন্তের সীমাটি 0 এর সমান।
এটি ব্যবহার করে যে {an increasing ক্রমবর্ধমান এবং সীমানাযুক্ত এবং {bn decre হ্রাস এবং সীমিত হচ্ছে, আমাদের আছে যে একটি মান «c exists বিদ্যমান রয়েছে যা:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤….≤ সি ≤…। ≤ বিএন ≤…। ≤ বি 2 ≤ বি 1 ≤ বি।
An এর সীমা "c" এবং {bn} এর সীমাও "c"। অতএব, যে কোনও 0> ০ দেওয়া, সর্বদা একটি "এন" থাকে যে অন্তর অন্তরের মধ্যে থাকে (সি-δ, সি + δ)।
এখন, এটি অবশ্যই f (c) = 0 দেখাতে হবে।
যদি f (c)> 0 হয়, তবে যেহেতু f অবিচ্ছিন্ন থাকে তাই একটি ε> 0 এর উপস্থিতি রয়েছে যা পুরো পুরো বিরতির (c - ε, c + ε) এর চেয়ে ধনাত্মক। যাইহোক, উপরে উল্লিখিত হিসাবে, একটি মান "এন" রয়েছে যা সাইন ইন পরিবর্তন করে এবং তদতিরিক্ত, (সি - ε, সি + ε) এর মধ্যে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, যা একটি বৈপরীত্য।
যদি f (c) <0 হয়, তবে যেহেতু f অবিচ্ছিন্ন থাকে, সেখানে একটি ε> 0 এর উপস্থিতি থাকে যা এফ পুরো বিরতিতে নেতিবাচক থাকে (সি - ε, সি + ε); তবে এমন একটি মান "এন" রয়েছে যা সাইন ইন পরিবর্তন করে। দেখা যাচ্ছে যে এটি (সি - ε, সি + ε) এর মধ্যে রয়েছে যা এটিও একটি বৈপরীত্য।
সুতরাং, চ (সি) = 0 এবং এটিই আমরা প্রমাণ করতে চেয়েছিলাম।
এটি কিসের জন্যে?
এর গ্রাফিকাল ব্যাখ্যা থেকে, বলজানোর উপপাদ্যটি একটি ধারাবাহিক ক্রিয়ায় শিকড় বা শূন্যগুলি খুঁজে পেতে দ্বিপাক্ষের (আনুমানিক) মাধ্যমে ব্যবহৃত হয়, যা ক্রমবর্ধমান অনুসন্ধান পদ্ধতি যা সর্বদা অন্তরগুলিকে 2 দ্বারা বিভক্ত করে।
তারপরে একটি বিরতি নেওয়া হয় বা যেখানে চিহ্নটির পরিবর্তন ঘটে এবং কাঙ্ক্ষিত মানটির কাছে যেতে সক্ষম হওয়ার জন্য প্রক্রিয়াটি বিরতিটি ছোট এবং ছোট হওয়া পর্যন্ত পুনরাবৃত্তি হয়; এটি হ'ল ফাংশনটি 0 করে দেয় এমন মান।
সংক্ষেপে, বল্জানোর উপপাদ্য প্রয়োগ করতে এবং এইভাবে শিকড়গুলি সন্ধান করতে, কোনও ফাংশনের শূন্যকে সীমাবদ্ধ করতে বা কোনও সমীকরণের সমাধান দেওয়ার জন্য, নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি সম্পাদন করা হয়:
- f যদি বিরতিতে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হয় তা যাচাই করা হয়।
- যদি বিরতি না দেওয়া হয় তবে যেখানে ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন রয়েছে সেখানে অবশ্যই একটি সন্ধান করতে হবে।
- যদি চ-এর মূল্যায়নের সময় অন্তরের চূড়ান্ত বিপরীত চিহ্ন দেয় তবে তা যাচাই করা হয়
- যদি বিপরীত চিহ্নগুলি না পাওয়া যায়, তবে মাঝের পয়েন্টটি ব্যবহার করে বিরতি অবশ্যই দুটি সাবিনেটারভেলে ভাগ করা উচিত।
- ফাংশনটি মিডপয়েন্টে মূল্যায়ন করুন এবং বল্জানো অনুমানটি সন্তুষ্ট কিনা তা যাচাই করুন, যেখানে f (a) * f (b) <0।
- প্রাপ্ত মানটির চিহ্ন (ধনাত্মক বা নেতিবাচক) এর উপর নির্ভর করে, পূর্বোক্ত অনুমানটি পূর্ণ না হওয়া পর্যন্ত প্রক্রিয়াটি একটি নতুন উপসত্তা দিয়ে পুনরাবৃত্তি করা হয়।
সমাধান ব্যায়াম
অনুশীলনী 1
F (x) = x 2 - 2 ফাংশনটির অন্তত অন্তত একটি আসল সমাধান রয়েছে কিনা তা নির্ধারণ করুন।
সমাধান
আমাদের f (x) = x 2 - 2. ফাংশনটি যেহেতু এটি বহুপদী, এর অর্থ এটি যে কোনও বিরতিতে অবিচ্ছিন্ন থাকে।
ব্যবধানে এর প্রকৃত সমাধান রয়েছে কিনা তা নির্ধারণ করতে বলা হয়, সুতরাং এখন এগুলির লক্ষণ জানতে এবং তারা পৃথক হওয়ার শর্তটি পূরণ করে কিনা তা জানতে ফাংশনে অন্তরটির চূড়ান্তগুলি কেবলমাত্র প্রয়োজনীয় করা প্রয়োজন:
f (x) = x 2 - 2
f (1) = 1 2 - 2 = -1 (নেতিবাচক)
f (2) = 2 2 - 2 = 2 (ধনাত্মক)
সুতরাং, চ (1) এর চিহ্ন f চিহ্ন চ (2)।
এটি নিশ্চিত করে যে অন্তত অন্তত একটি বিন্দু "গ" রয়েছে যা অন্তর অন্তর্গত, যেখানে f (c) = 0 রয়েছে।
এই ক্ষেত্রে, "সি" এর মান নীচে সহজেই গণনা করা যায়:
x 2 - 2 = 0
x = ± √2।
সুতরাং, √2 ≈ 1,4 অন্তর অন্তর্গত এবং যে f (√2) = 0 পূরণ করে।
অনুশীলন 2
X 5 + x + 1 = 0 সমীকরণটির কমপক্ষে একটি আসল সমাধান রয়েছে তা দেখান।
সমাধান
আসুন প্রথমে লক্ষ্য করুন যে f (x) = x 5 + x + 1 একটি বহুবচনীয় ফাংশন, যার অর্থ এটি সমস্ত আসল সংখ্যায় অবিচ্ছিন্ন থাকে।
এই ক্ষেত্রে, কোনও বিরতি দেওয়া হয় না, সুতরাং কার্যটি মূল্যায়নের জন্য এবং চিহ্নটির পরিবর্তনগুলি সন্ধানের জন্য মানগুলি স্বজ্ঞাতভাবে বেছে নেওয়া উচিত, প্রায় 0 এর কাছাকাছি।
আপনি যদি বিরতি ব্যবহার করেন তবে:
f (x) = x 5 + x + 1।
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0।
f (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0।
যেহেতু কোনও চিহ্নের পরিবর্তন নেই, প্রক্রিয়াটি অন্য একটি বিরতিতে পুনরাবৃত্তি হয়।
আপনি যদি বিরতি ব্যবহার করেন তবে:
f (x) = x 5 + x + 1।
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0।
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0।
এই ব্যবধানে চিহ্নের একটি পরিবর্তন রয়েছে: f (-1) sign f (0) এর চিহ্ন, যার অর্থ f (x) = x 5 + x + 1 ফাংশনের কমপক্ষে একটি আসল মূল রয়েছে «c» ব্যবধানে যেমন f (c) = 0. অন্য কথায়, এটি সত্য যে x 5 + x + 1 = 0 এর ব্যবধানে একটি আসল সমাধান রয়েছে।
তথ্যসূত্র
- ব্রোন্সটাইন আই, এসকে (1988)। প্রকৌশলী এবং শিক্ষার্থীদের জন্য গণিতের ম্যানুয়াল। । সম্পাদকীয় এমআইআর
- জর্জ, এ (1994)। গণিত এবং মন। অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস.
- ইলান ভি, পিই (1991)। গাণিতিক বিশ্লেষণ। তিন খণ্ডে। ।
- জেসেস গমেজ, এফজি (2003) মাধ্যমিক শিক্ষার শিক্ষক। দ্বিতীয় খণ্ড। এমএডি।
- মেটোস, এমএল (2013)। আর। এডিটোরস, 20 ডিসেম্বর বিশ্লেষণের প্রাথমিক বৈশিষ্ট্য।
- পিসকুনভ, এন। (1980) ডিফারেনশিয়াল এবং ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস। ।
- সিডসেটার কে, এইচপি (2005) অর্থনৈতিক বিশ্লেষণের জন্য গণিত। ফেলিক্স ভারেলা।
- উইলিয়াম এইচ। বার্কার, আরএইচ (এনডি) অবিচ্ছিন্ন প্রতিসাম্য: ইউক্যালিড থেকে ক্লিন পর্যন্ত। আমেরিকান ম্যাথমেটিক্যাল সোস।