অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা উপপাদ্য: প্রমাণ, উদাহরণ এবং অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

অস্তিত্ব ও স্বতন্ত্রতা উপপাদ্য একটি প্রথম-অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ জন্য প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট শর্ত, একটি প্রদত্ত প্রাথমিক শর্ত স্থাপন, একটি সমাধান এবং যে সমাধান জন্য শুধুমাত্র এক হতে আছে।

তবে উপপাদ্য এ জাতীয় সমাধান কীভাবে খুঁজে পাবেন তার কোনও কৌশল বা ইঙ্গিত দেয় না। অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা উপপাদ্যটি প্রাথমিক অবস্থার সাথে উচ্চতর-আদেশের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিতেও প্রসারিত হয়েছে, যা কাউচি সমস্যা হিসাবে পরিচিত।

চিত্র 1. প্রাথমিক অবস্থা এবং এর সমাধান সহ একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ প্রদর্শিত হয় shown অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা উপপাদ্য গ্যারান্টি দেয় যে এটিই সম্ভাব্য সমাধান।

অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা উপপাদ্যের আনুষ্ঠানিক বিবৃতিটি নিম্নরূপ:

"প্রাথমিক অবস্থার y (ক) = বি সহ একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ y '(x) = f (x, y) এর জন্য, এক্সওয়াই প্লেনের একটি আয়তক্ষেত্রের কমপক্ষে একটি সমাধান রয়েছে যেখানে বিন্দু (ক, খ) রয়েছে, যদি f (x, y) সেই অঞ্চলে অবিচ্ছিন্ন। এবং যদি y: g = ∂f / ∂y এর ক্ষেত্রে f এর আংশিক ডেরিভেটিভ একই আয়তক্ষেত্রাকার অঞ্চলে অবিচ্ছিন্ন থাকে, তবে সমাধানটি fy এর ধারাবাহিকতার অঞ্চলে থাকা বিন্দুর (ক, খ) এর নিকটবর্তী অঞ্চলে অনন্য is ছ। "

এই তাত্ত্বিকতার কার্যকারিতাটি প্রথমে XY বিমানের অঞ্চলগুলি যেখানে কোন সমাধানের অস্তিত্ব থাকতে পারে তা জানার মধ্যেই অন্তর্ভুক্ত এবং এটিও জেনে যে সমাধানটি পাওয়া গেছে কেবল এটিই সম্ভব কিনা বা অন্য কেউ রয়েছে কিনা তা জেনেও।

নোট করুন যে স্বতন্ত্রতা শর্তটি সন্তুষ্ট না হলে, উপপাদ্য কচির সমস্যার মোট কতগুলি সমাধান রয়েছে তা অনুমান করতে পারে না: সম্ভবত এটি এক, দুটি বা আরও বেশি।

অস্তিত্বের প্রমাণ এবং স্বতন্ত্রতা উপপাদ্য

চিত্র 2. চার্লস এমাইল পিকার্ড (1856-1941) অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা উপপাদ্যের প্রথম প্রমাণগুলির একটিতে জমা দেওয়া হয়েছে। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

এই উপপাদ্যের জন্য, দুটি সম্ভাব্য প্রমাণ জানা যায়, এর মধ্যে একটি হ'ল চার্লস এমিল পিকার্ডের প্রমাণ (1856-1941) এবং অন্যটি জিউসেপ পেরো (1858-1932) এর কারণে আগস্টিন লুই কৌচির কাজ (1789-1857) এর উপর ভিত্তি করে ।

এটি লক্ষণীয় যে উনিশ শতকের সবচেয়ে উজ্জ্বল গাণিতিক মনগুলি এই উপপাদ্যের প্রমাণে অংশ নিয়েছে, সুতরাং এটি অনুমান করা যায় যে এগুলির দুটিই সহজ নয়।

উপপাদ্যকে আনুষ্ঠানিকভাবে প্রমাণ করতে প্রথমে আরও উন্নত গাণিতিক ধারণাগুলির একটি প্রতিষ্ঠা করা দরকার যেমন লিপস্চিটজ-টাইপ ফাংশন, বনচ স্পেসস, ক্যার্যাথোডোরির অস্তিত্বের উপপাদ্য এবং আরও কয়েকটি, যা নিবন্ধের আওতার বাইরে নয়।

পদার্থবিদ্যায় পরিচালিত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি বড় অংশ আগ্রহের অঞ্চলগুলিতে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন নিয়ে ডিল করে, তাই আমরা আমাদেরকে আমাদের সমীক্ষায় সীমাবদ্ধ করব কীভাবে উপমাটি সহজ সমীকরণে প্রয়োগ করা হয়।

উদাহরণ

- উদাহরণ 1

আসুন প্রাথমিক শর্তের সাথে নিম্নলিখিত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি বিবেচনা করুন:

y '(x) = - y; y (1) = 3 দিয়ে

এই সমস্যার কোন সমাধান আছে কি? এটা কি একমাত্র সম্ভাব্য সমাধান?

উত্তর

প্রথম স্থানে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানের অস্তিত্বকে মূল্যায়ন করা হয় এবং এটি প্রাথমিক শর্তটিও পূরণ করে।

এই উদাহরণে f (x, y) = - এবং অস্তিত্বের শর্তটি জেনে রাখা দরকার যে XY বিমানের কোনও অঞ্চলে x (1, y = 3) এর স্থানাঙ্কের বিন্দুতে f (x, y) অবিচ্ছিন্ন কিনা।

তবে f (x, y) = - y হল অ্যাফাইন ফাংশন, যা আসল সংখ্যার ডোমেইনে অবিচ্ছিন্ন থাকে এবং বাস্তব সংখ্যার পরিসীমা জুড়ে থাকে।

অতএব এটি উপসংহারে পৌঁছে গেছে যে চ (এক্স, ওয়াই) আর ^{2 এ} অবিচ্ছিন্ন, তাই তত্ত্বটি কমপক্ষে একটি সমাধানের অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেয়।

এটি জানার পরে, সমাধানটি অনন্য কিনা বা তার বিপরীতে, একাধিকের রয়েছে কিনা তা মূল্যায়ন করা প্রয়োজন। এর জন্য, ভেরিয়েবল y এর সাথে সম্মানের সাথে f এর আংশিক ডেরাইভেটিভ গণনা করা প্রয়োজন:

তারপরে g (x, y) = -1 যা একটি ধ্রুবক ফাংশন, যা সমস্ত আর ^{2 এর} জন্যও সংজ্ঞায়িত হয় এবং সেখানে অবিচ্ছিন্নও থাকে। এটি অনুসরণ করে যে অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা উপপাদ্য গ্যারান্টি দেয় যে এই প্রাথমিক-মান সমস্যার একটি অনন্য সমাধান রয়েছে, যদিও এটি আমাদের কী তা বলে না।

- উদাহরণ 2

প্রাথমিক শর্ত সহ নিম্নলিখিত প্রথম-আদেশের সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি বিবেচনা করুন:

y '(x) = 2√y; এবং (0) = 0।

এই সমস্যার কোনও y (x) সমাধান রয়েছে কি? যদি তা হয় তবে একের বেশি বা একাধিক আছে কিনা তা নির্ধারণ করুন।

উত্তর

আমরা ফ (x, y) = 2√ ফাংশনটি বিবেচনা করি। F ফাংশনটি কেবল y≥0 এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যেহেতু আমরা জানি যে aণাত্মক সংখ্যার আসল মূল নেই। তদতিরিক্ত চ (এক্স, ওয়াই) এক্স অক্ষ সহ R ² এর উপরের অর্ধেক সমতলটিতে অবিচ্ছিন্ন থাকে, সুতরাং অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা উপপাদ্যটি এই অঞ্চলে কমপক্ষে একটি সমাধানের গ্যারান্টি দেয়।

এখন প্রাথমিক শর্ত x = 0, y = 0 সমাধান অঞ্চলের প্রান্তে। তারপরে আমরা y এর সম্মানের সাথে f (x, y) এর আংশিক ডেরিভেটিভ নিয়ে থাকি:

/F / ∂y = 1 / √y

এক্ষেত্রে ফাংশনটি y = 0 এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়নি, ঠিক যেখানে প্রাথমিক অবস্থা where

উপপাদ্য আমাদের কী বলে? এটি আমাদের জানায় যে যদিও আমরা জানি যে এক্স অক্ষ সহ এক্স অক্ষের উপরের অর্ধেক সমতলটিতে কমপক্ষে একটি সমাধান রয়েছে, যেহেতু স্বতন্ত্রতা শর্তটি পূরণ করা হয় নি, তবে কোনও অনন্য সমাধানের নিশ্চয়তা নেই।

এর অর্থ হ'ল চ (x, y) এর ধারাবাহিকতা অঞ্চলে এক বা একাধিক সমাধান হতে পারে। এবং সর্বদা হিসাবে, উপপাদ্য তারা কী হতে পারে তা আমাদের জানায় না।

সমাধান ব্যায়াম

- অনুশীলনী 1

কচী সমস্যাটি উদাহরণ 1 এ সমাধান করুন:

y '(x) = - y; y (1) = 3 দিয়ে।

Y (x) ফাংশনটি আবিষ্কার করুন যা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং প্রাথমিক শর্তটিকে সন্তুষ্ট করে।

সমাধান

উদাহরণ 1-এ এটি নির্ধারিত হয়েছিল যে এই সমস্যার সমাধান রয়েছে এবং এটিও অনন্য। সমাধানটি সন্ধান করার জন্য, প্রথমে লক্ষ্য করা যায় যে এটি পৃথকযোগ্য ভেরিয়েবলগুলির প্রথম ডিগ্রি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, যা নিম্নরূপে লিখিত হয়েছে:

আমাদের মধ্যে থাকা ভেরিয়েবলগুলি পৃথক করতে উভয় সদস্যের মধ্যে এবং উভয়ের মধ্যে বিভাজন:

উভয় সদস্যের মধ্যে অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য প্রয়োগ করা হয়:

আমাদের রয়েছে অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমাধান:

যেখানে সি হল একীকরণের ধ্রুবক যা প্রাথমিক শর্ত দ্বারা নির্ধারিত হয়:

সি এর মান প্রতিস্থাপন করা এবং এটি পুনরায় সাজানো থেকে যায়:

লগারিদমের নিম্নোক্ত সম্পত্তি প্রয়োগ করা:

উপরের এক্সপ্রেশনটি এইভাবে আবার লেখা যেতে পারে:

উভয় সদস্যের বেস ই সহ সূচকীয় ফাংশনটি প্রয়োগ করতে প্রয়োগ করা হয়:

y / 3 = ই ^{(1 - এক্স)}

যা সমান:

y = 3e ই- ^এক্স

এটি y '= -y সমাপ্তি y (1) = 3 সমীকরণের অনন্য সমাধান this

- অনুশীলন 2

উদাহরণ 2 তে উত্থাপিত সমস্যার জন্য দুটি সমাধান সন্ধান করুন:

y '(x) = 2√ (y); এবং (0) = 0।

সমাধান

এটি পৃথকযোগ্য ভেরিয়েবলগুলির একটি সমীকরণ যা পৃথক আকারে লিখিত, এটি দেখতে এই জাতীয় দেখাচ্ছে:

dy / √ (y) = 2 dx

উভয় সদস্যের মধ্যে অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য থাকা অবশেষ:

2 √ (y) = 2 x + C

যেহেতু আমরা জানি যে y≥0 সমাধান অঞ্চলে আমাদের রয়েছে:

y = (x + C) ²

তবে যেহেতু প্রাথমিক শর্ত x = 0, y = 0 অবশ্যই পূরণ করতে হবে, তারপরে ধ্রুবক সিটি শূন্য এবং নীচের সমাধানটি রয়ে যায়:

y (x) = x ² ।

তবে এই সমাধানটি অনন্য নয়, ফাংশন y (x) = 0 হ'ল সমস্যার সমাধানও। উদাহরণ 2 এ অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা উপপাদ্যটি ইতিমধ্যে পূর্বাভাস দিয়েছিল যে একাধিক সমাধান হতে পারে।

তথ্যসূত্র

1. কোডিংটন, আর্ল এ; লেভিনসন, নরম্যান (1955), থিওরি অফ অর্ডিনারি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, নিউ ইয়র্ক: ম্যাকগ্রা-হিল।
2. গণিতের এনসাইক্লোপিডিয়া। কচী-লিপস্টিৎস উপপাদ্য। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: এনসাইক্লোপিডিয়াফমথ.অর্গ
3. লিন্ডেলফ, সুর ল 'অ্যাপ্লিকেশন দে লা ম্যাথোড ডেস আনুমানিকভাবে পর পর অ্যাক্স-কোয়েশনস ডিফারেনটিএলেস অর্ডিনায়ারস ডু প্রিমিয়ার অর্ডার; প্রতিযোগিতা রেন্ডাস হেবডোম্যাডেরস ডেস সানেন্সস ডি এল'এাকাডেমি ডেস সায়েন্সেস। 116, 1894 খন্ড, পিপি। 454–457। উদ্ধারকৃত থেকে: gallica.bnf.fr।
4. উইকিপিডিয়া। পিকার্ডের ক্রমাগত আনুমানিক পদ্ধতি। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: এস.ইউইকিভিডিয়া
5. উইকিপিডিয়া। পিকার্ড-লিন্ডেলফ উপপাদ্য। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.com.com থেকে।
6. জিল, ডি 1986। অ্যাপ্লিকেশনগুলির সাথে প্রাথমিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ Pre প্রিন্টাইস হল।