মাইভেরের উপপাদ্য: প্রমাণ এবং সমাধান ব্যায়াম - গণিতশাস্ত্র - 2025

Moivre এর উপপাদ্য যেমন ক্ষমতা এবং জটিল সংখ্যায় আহরণের শিকড় যেমন বীজগণিত মৌলিক প্রক্রিয়া, প্রয়োগ করা হয়েছে। উপপাদ্যটি প্রখ্যাত ফরাসি গণিতবিদ আব্রাহাম ডি মাইভ্রে (1730) দ্বারা বিবৃত করেছিলেন, যিনি জটিল সংখ্যাগুলি ত্রিকোণমিতির সাথে যুক্ত করেছিলেন।

আব্রাহাম মাইভ্রে সাইন এবং কোসাইন এর অভিব্যক্তিগুলির মাধ্যমে এই সমিতি তৈরি করেছিলেন। এই গণিতবিদ এক ধরণের সূত্র তৈরি করেছেন যার মাধ্যমে পাওয়ার এন-তে একটি জটিল সংখ্যা জেড বাড়ানো সম্ভব, যা 1 এর চেয়ে বড় বা সমান ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

মাইভেরের উপপাদ্য কি?

মাইভেরের উপপাদ্যটি নিম্নলিখিতটি বলে:

আমাদের যদি মেরু আকারে একটি জটিল সংখ্যা থাকে z = r _Ɵ, যেখানে r জটিল সংখ্যা z এর মডিউল হয়, এবং কোণ Ɵ কে তার জটিল গণনা করার জন্য 0 ≤ Ɵ ≤ 2 with সহ যে কোনও জটিল সংখ্যার প্রশস্ততা বা আর্গুমেন্ট বলা হয় power শক্তিটি এটিকে n- বার নিজেই গুন করার প্রয়োজন হবে না; এটি হ'ল নিম্নলিখিত পণ্যটি তৈরি করার প্রয়োজন নেই:

জে ^এন = জেড _* জেড _* জেড _{*। । । *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *। । । *} আর _Ɵ n বার

বিপরীতে, উপপাদ্যটি বলেছে যে তার ত্রিকোণমিতিক আকারে z লেখার সময়, নবম শক্তি গণনা করার জন্য আমরা নিম্নরূপে এগিয়ে যাচ্ছি:

যদি z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) তবে z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ)।

উদাহরণস্বরূপ, যদি n = 2 হয়, তবে z ² = r ² । যদি n = 3 হয়, তবে z ³ = z ² _* z হবে। এছাড়াও:

z ³ = r ² _* r = r ³ ।

এই ভাবে, কোণের বহুগুণের জন্য সাইন এবং কোসিনের ত্রিকোনমিতি অনুপাতগুলি পাওয়া যায়, যতক্ষণ না কোণটির ত্রিকোণমিতিক অনুপাত জানা যায়।

একইভাবে এটি জটিল সংখ্যার z এর n -th মূলের জন্য আরও সুনির্দিষ্ট এবং কম বিভ্রান্তিকর ভাবগুলি খুঁজে পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যাতে z ⁿ = 1।

মাইভেরের উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য, গাণিতিক আনয়ন নীতিটি ব্যবহার করা হয়: যদি কোনও পূর্ণসংখ্যা "ক" এর সম্পত্তি "পি" থাকে এবং যদি কোনও "পি" সম্পত্তি "পি" এর চেয়ে বড় "এন" থাকে তবে এটি পূরণ করে যে এন + 1 এর "P" বৈশিষ্ট্যও রয়েছে, তারপরে সমস্ত সংখ্যার "a" এর চেয়ে বড় বা সমান "পি" রয়েছে।

প্রদর্শন

সুতরাং, উপপাদ্য প্রমাণ নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি দিয়ে সম্পন্ন করা হয়:

ইন্ডাকটিভ বেস

এটি প্রথমে এন = 1 এর জন্য পরীক্ষা করা হয়।

যেহেতু z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = আর ¹ (কারণ Ɵ + আমি _* পাপ Ɵ) ¹ = আর ¹, তাত্ত্বিকটি n = 1 এর জন্য ধারণ করে।

ইন্ডাকটিভ হাইপোথিসিস

সূত্রটি কিছু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য, অর্থাৎ এন = কে হিসাবে সত্য বলে ধরে নেওয়া হয়।

z ^কে = (আর (কোস Ɵ + আমি _* পাপ Ɵ)) ^কে = আর ^কে (কোস কে Ɵ + আই _* পাপ কে Ɵ)।

প্রতিপাদন

এটি এন = কে + 1 এর ক্ষেত্রে সত্য বলে প্রমাণিত।

যেহেতু z ^{কে + 1} = জে ^কে _* জেড, তারপরে z ^{কে + 1} = (আর (কোস্ট i + আমি _* পাপ Ɵ)) ^{কে + 1} = আর ^কে (কোস কে + আই _* পাপ কে) _* আর (কোস্ট Ɵ +) আমি _* সেনƟ)।

তারপরে এক্সপ্রেশনগুলি বহুগুণিত হয়:

z ^{কে + 1} = আর ^{কে + 1} ((কোস কে)) _* (কোষ) + (কোস কে) _* (আমি _* পাপ) + (আমি _* পাপ কে) _* (কোষ) + (আমি _* পাপ কে) _* (আমি _* সেনƟ))।

এক মুহুর্তের জন্য r ^{k + 1} ফ্যাক্টরটিকে উপেক্ষা করা হবে এবং সাধারণ ফ্যাক্টরটি আমাকে নেওয়া হচ্ছে:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ)।

যেহেতু আমি ² = -1, আমরা এটি প্রকাশের পরিবর্তে এবং আমরা পাই:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ)।

এখন আসল অংশ এবং কল্পিত অংশ আদেশ করা হয়েছে:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i।

অভিব্যক্তিটিকে সহজ করার জন্য, কোজিন এবং সাইনগুলির জন্য কোণগুলির যোগফলের ত্রিকোনমিতিক পরিচয় প্রয়োগ করা হয়, যা হ'ল:

কোস (এ + বি) = কোস এ _* কোস বি - পাপ এ _* পাপ বি

sin (A + B) = পাপ এ _* কোস বি - কোস এ _* কোস বি

এই ক্ষেত্রে, ভেরিয়েবলগুলি কোণ এবং Ɵ ত্রিকোণমিতিক পরিচয় প্রয়োগ করা, আমাদের রয়েছে:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)

এইভাবে, অভিব্যক্তিটি হ'ল:

z ^{কে + 1} = আর ^{কে + 1} (কোস (কেƟ + Ɵ) + আমি _* পাপ (কে + Ɵ))

z ^{কে + 1} = আর ^{কে + 1} (কারণ + আমি _* পাপ)।

সুতরাং এটি প্রদর্শিত হতে পারে যে ফলাফলটি n = কে + 1 এর ক্ষেত্রে সত্য। গাণিতিক আনয়ন নীতি অনুসারে, এই সিদ্ধান্তে পৌঁছে যে ফলাফলটি ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যার জন্য সত্য; অর্থাৎ, এন ≥ 1।

Gণাত্মক পূর্ণসংখ্যা

মো re তারপরে "এন" কে "-m", অর্থাৎ, n = -m, যেখানে "m" ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হিসাবে লেখা যায়। এভাবে:

(কোসাইন্ Ɵ + I _* পাপ Ɵ) ^এন = (কোসাইন্ Ɵ + I _* পাপ Ɵ) ^-m

ধনাত্মক উপায়ে onent m exp প্রকাশ করতে, প্রকাশটি বিপরীতভাবে লেখা হয়:

(কোস Ɵ + আই _* পাপ Ɵ) ^এন = 1 ÷ (কোস Ɵ + আই _* পাপ Ɵ) ^মি

(কোস Ɵ + আমি _* পাপ Ɵ) ^এন = 1 ÷ (কারণ মেস + আমি _* পাপ এমƟ)

এখন, এটি ব্যবহার করা হয় যে z = a + b * i যদি একটি জটিল সংখ্যা হয় তবে 1 ÷ z = ab * i। এভাবে:

(কোস Ɵ + আই _* পাপ Ɵ) ^এন = কোস (এমƟ) - আই _* পাপ (এমƟ)।

সেই কোস (এক্স) = কোজ (-x) এবং সেই-সেন (এক্স) = পাপ (-x) ব্যবহার করে আমাদের কাছে রয়েছে

(কারণ Ɵ + আমি _* পাপ Ɵ) ^এন =

(কোস Ɵ + আমি _* পাপ Ɵ) ^এন = কোস (- এমও) + আই _* পাপ (-মƟ)

(কোস Ɵ + আই _* পাপ Ɵ) ^এন = কোস (^এন Ɵ) - আই _* পাপ (এনƟ)।

সুতরাং, এটি বলা যেতে পারে যে উপপাদ্যটি "n" এর সমস্ত পূর্ণসংখ্যার মানগুলির জন্য প্রযোজ্য।

সমাধান ব্যায়াম

ধনাত্মক শক্তির গণনা

তাদের পোলার আকারে জটিল সংখ্যাসহ অপারেশনগুলির মধ্যে একটি হ'ল এর মধ্যে দুটি দ্বারা গুণ করা; সেক্ষেত্রে মডিউলগুলি গুণিত হয় এবং যুক্তি যুক্ত হয়।

আপনার যদি দুটি জটিল সংখ্যা z _{1 এবং} z _{2 থাকে} এবং আপনি গণনা করতে চান (z ₁ * z ₂) ², তবে আপনি নিম্নলিখিত হিসাবে এগিয়ে যান:

z ₁ z ₂ = *

বিতরণের সম্পত্তি প্রযোজ্য:

z ₁ জেড ₂ = আর ₁ আর ₂ (কোস Ɵ _{1 *} কোস Ɵ ₂ + আই _* কোস Ɵ _{1 *} আমি _* পাপ Ɵ ₂ + আমি _* পাপ Ɵ _{1 *} কোস Ɵ ₂ + i ² _* পাপ Ɵ _{1 *} পাপ Ɵ ₂)।

"I" শব্দটি প্রকাশের একটি সাধারণ কারণ হিসাবে এগুলি শ্রেণিবদ্ধ করা হয়েছে:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

যেহেতু আমি ² = -1, এটি প্রকাশের পরিবর্তে:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

আসল পদগুলি বাস্তবের সাথে পুনরায় সংগঠিত হয় এবং কাল্পনিক সাথে কল্পিত:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

শেষ অবধি, ত্রিকোণমিতিক বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করা হয়:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ ।

উপসংহারে:

(z ₁ * z ₂) ² = (আর ₁ আর ₂) ²

= আর ₁ ² আর ₂ ² ।

অনুশীলনী 1

Z = - 2 -2i হলে পোলার আকারে জটিল সংখ্যাটি লিখুন। তারপরে মাইভেরের উপপাদ্যটি ব্যবহার করে z ⁴ গণনা করুন ।

সমাধান

জটিল সংখ্যা z = -2 -2i আয়তক্ষেত্রাকার আকার z = a + দ্বি প্রকাশ করা হয়, যেখানে:

a = -2।

খ = -২।

পোলার ফর্মটি z = আর (কোস Ɵ + আমি _* পাপ Ɵ), তা জেনেও আমাদের মডুলাস "আর" এর মান এবং "Ɵ" আর্গুমেন্টের মান নির্ধারণ করতে হবে। যেহেতু r = √ (a² + b²), প্রদত্ত মানগুলি প্রতিস্থাপন করা হয়:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2।

তারপরে, «Ɵ» এর মান নির্ধারণ করতে, এর আয়তক্ষেত্রাকার আকৃতি প্রয়োগ করা হয়, যা সূত্রের দ্বারা প্রদত্ত:

tan Ɵ = b ÷ a

ট্যান Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1।

যেহেতু ট্যান (Since) = 1 এবং আমাদের একটি <0 রয়েছে, তারপরে আমাদের কাছে রয়েছে:

Ɵ = আর্টিকান (1) + Π

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4।

যেহেতু already r »এবং« already of এর মান ইতিমধ্যে পাওয়া গেছে, জটিল সংখ্যা z = -2 -2i মানগুলি স্থির করে মেরু আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে:

z = 2√2 (কোস (5Π / 4) + আমি _* পাপ (5Π / 4%)।

এখন আমরা Z ⁴ গণনা করতে মাইভেরের উপপাদ্যটি ব্যবহার করি:

z ⁴ = 2√2 (কোস (5Π / 4) + আমি _* পাপ (5Π / 4)) ⁴

= 32 (কোস (5Π) + আই _* পাপ (5Π))।

অনুশীলন 2

জটিল সংখ্যাগুলির পোলার আকারে প্রকাশ করে তার পণ্যটি সন্ধান করুন:

z1 = 4 (5050 ^ও + আমি _* পাপ 50 ^ও)

z2 = 7 (কস 100 ^ও + আই _* পাপ 100 ^ও)।

তারপরে গণনা করুন (z1 * z2) ² ²

সমাধান

প্রথমে প্রদত্ত সংখ্যার পণ্য গঠিত হয়:

z ₁ z ₂ = *

তারপরে মডিউলগুলি একে অপরের সাথে গুণিত হয় এবং যুক্তি যুক্ত হয়:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

ভাবটি সরল করা হয়েছে:

z ₁ z ₂ = 28 _* (কারণ 150 ^ও + (আমি _* পাপ 150 ^ও)।

পরিশেষে, মাইভেরের উপপাদ্য প্রয়োগ করা হয়:

(জেড 1 * জেড 2) ² = (28 _* (কোস 150 ^ও + (আমি _* পাপ 150 ^ও)) ² = 784 (কারণ 300 ^ও + (আমি _* পাপ 300 ^ও))।

নেতিবাচক শক্তির গণনা

দুটি জটিল সংখ্যা z _{1 এবং} z _{2 কে} তাদের পোলার আকারে বিভক্ত করতে মডুলাস বিভক্ত হয়ে যুক্তিগুলি বিয়োগ করা হয়েছে। সুতরাং, ভাগফলটি z ₁ ÷ z _{2 হয়} এবং নিম্নলিখিত হিসাবে প্রকাশ করা হয়:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ()।

পূর্ববর্তী ক্ষেত্রে যেমন, আমরা যদি গণনা করতে চাই (z1 ÷ z2) ³, বিভাগটি প্রথমে সঞ্চালিত হয় এবং তারপরে মাইভেরের উপপাদ্য ব্যবহৃত হয়।

অনুশীলন 3

ডাইস:

z1 = 12 (কোস (3π / 4) + আমি * পাপ (3π / 4)), z2 = 4 (কোস (π / 4) + আমি * পাপ (π / 4)), গণনা (z1 ÷ z2) ³।

সমাধান

উপরে বর্ণিত পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করে এই সিদ্ধান্তে সিদ্ধান্ত নেওয়া যেতে পারে:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (কোস (3π / 4 - π / 4) + i * পাপ (3π / 4 - π / 4%))) ³

= (3 (কোস (π / 2) + i * পাপ (π / 2)) ³ ³

= 27 (কোস (3π / 2) + আই * পাপ (3π / 2))।

তথ্যসূত্র

1. আর্থার গুডম্যান, এলএইচ (1996)। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সাথে বীজগণিত এবং ত্রিকোণমিতি। পিয়ারসন শিক্ষা.
2. ক্রাউচার, এম। (এনডি) মাইগ্রির উপপাদ্য থেকে ট্রিগ আইডেন্টিটিস ওল্ফ্রাম বিক্ষোভ প্রকল্প।
3. হাজেঙ্কেল, এম (2001)। গণিতের এনসাইক্লোপিডিয়া।
4. ম্যাক্স পিটারস, ডাব্লুএল (1972)। বীজগণিত এবং ত্রিকোণমিতি।
5. পেরেজ, সিডি (২০১০)। পিয়ারসন শিক্ষা.
6. স্ট্যানলি, জি। (এনডি) রৈখিক বীজগণিত. গ্রু-হিল
7. , এম (1997)। প্রাক্কুলেশন। পিয়ারসন শিক্ষা.