মিলিটাসের থ্যালসের প্রথম এবং দ্বিতীয় উপপাদগুলি অনুরূপ (প্রথম উপপাদ্য) বা বৃত্তগুলি (দ্বিতীয় উপপাদ্য) থেকে ত্রিভুজ নির্ধারণের উপর ভিত্তি করে। তারা বিভিন্ন ক্ষেত্রে খুব দরকারী হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যখন কোনও অত্যাধুনিক পরিমাপের যন্ত্র ছিল না তখন বৃহত কাঠামো পরিমাপের জন্য প্রথম উপপাদ্যটি খুব কার্যকর ছিল।
থাইলস অফ মিলিটাস ছিলেন একজন গ্রীক গণিতবিদ যিনি জ্যামিতিতে দুর্দান্ত অবদান রেখেছিলেন, যার মধ্যে এই দুটি উপপাদ্যই প্রকাশ পেয়েছে (কিছু পাঠ্যে তিনি থ্যালিস নামেও রচিত) এবং তাদের দরকারী প্রয়োগসমূহ। এই ফলাফলগুলি সমগ্র ইতিহাস জুড়ে ব্যবহৃত হয়েছে এবং বিভিন্ন ধরণের জ্যামিতিক সমস্যার সমাধান সম্ভব করেছে।
মাইলিটাসের থেলস
থ্যালসের প্রথম উপপাদ্য
থ্যালসের প্রথম উপপাদ্য একটি খুব দরকারী সরঞ্জাম যা অন্যান্য জিনিসগুলির মধ্যে পূর্বের হিসাবে পরিচিত অন্যটির মতো ত্রিভুজ তৈরির অনুমতি দেয়। এখান থেকে উপপাদ্যের বিভিন্ন সংস্করণ প্রাপ্ত হয়েছে যা একাধিক প্রসঙ্গে প্রয়োগ করা যেতে পারে।
আপনার বক্তব্য দেওয়ার আগে আসুন আমরা ত্রিভুজগুলির মিলের কিছু ধারণা স্মরণ করি। মূলত, দুটি ত্রিভুজ সমান হয় যদি তাদের কোণ একত্রিত হয় (তাদের একই মাপকাঠি থাকে)। এর ফলে এই ফলাফলটি পাওয়া যায় যে দুটি ত্রিভুজ যদি সমান হয় তবে তাদের সম্পর্কিত (বা সমজাতীয়) দিকটি সমানুপাতিক।
থ্যালসের প্রথম উপপাদ্যটিতে বলা হয়েছে যে প্রদত্ত ত্রিভুজের কোনও রেখা যদি তার উভয় পক্ষের সমান্তরালভাবে আঁকানো হয় তবে প্রাপ্ত নতুন ত্রিভুজটি প্রাথমিক ত্রিভুজের মতো হবে।
নীচের চিত্রে প্রদর্শিত হিসাবে, গঠিত কোণগুলির মধ্যে একটি সম্পর্কও পাওয়া যায়।
আবেদন
এর বহু অ্যাপ্লিকেশনগুলির মধ্যে একটি বিশেষ আগ্রহের বিষয়টি প্রমাণিত হয় এবং এটি প্রাচীন উপায়ের বৃহত কাঠামোর মাধ্যমে যে উপায়ে পরিমাপ করা হয়েছিল তার একটির সাথে কাজ করতে পারে, এমন এক সময় যেখানে থলে থাকতেন এবং সেখানে আধুনিক পরিমাপের কোনও ডিভাইস ছিল না যা তারা এখন বিদ্যমান।
বলা হয়ে থাকে যে এভাবেই থ্যালস মিশরের সর্বোচ্চ পিরামিড, চেপস পরিমাপ করতে সক্ষম হন। এর জন্য, থ্যালসের ধারণা ছিল যে সৌর রশ্মির প্রতিবিম্ব সমান্তরাল রেখা গঠন করে ভূমিকে স্পর্শ করেছে। এই অনুমানের অধীনে, তিনি মাটিতে লম্বালম্বিভাবে একটি লাঠি বা বেত পেরেক দিয়েছিলেন।
তারপরে তিনি দুটি ফলাফলযুক্ত ত্রিভুজগুলির মিল ব্যবহার করেছিলেন, একটি পিরামিডের ছায়ার দৈর্ঘ্যের দ্বারা গঠিত (যা সহজেই গণনা করা যায়) এবং পিরামিডের উচ্চতা (অজানা) এবং অন্যটি ছায়ার দৈর্ঘ্যের দ্বারা গঠিত এবং রডের উচ্চতা (যা সহজেই গণনা করা যায়)।
এই দৈর্ঘ্যের মধ্যে আনুপাতিকতা ব্যবহার করে, পিরামিডের উচ্চতা সমাধান করা যায় এবং জানা যায়।
যদিও এই পরিমাপের পদ্ধতিটি উচ্চতার যথার্থতার সাথে সম্মতিযুক্ত একটি তাত্পর্যপূর্ণ ত্রুটি দিতে পারে এবং সৌর রশ্মির সমান্তরালতার উপর নির্ভর করে (যা পরিবর্তিত একটি সুনির্দিষ্ট সময়ের উপর নির্ভর করে) তবে এটি অবশ্যই স্বীকৃত হতে হবে যে এটি একটি খুব উদ্ভাবনী ধারণা এবং এটি সময়ের জন্য একটি ভাল পরিমাপের বিকল্প সরবরাহ করেছে।
উদাহরণ
প্রতিটি ক্ষেত্রে x এর মান সন্ধান করুন:
থ্যালসের দ্বিতীয় উপপাদ্য
থ্যালাসের দ্বিতীয় উপপাদ্যটি প্রতিটি প্রতিটি বিন্দুতে একটি বৃত্তে লিখিত একটি সমকোণী ত্রিভুজ নির্ধারণ করে।
একটি পরিধিতে লিখিত একটি ত্রিভুজ হ'ল একটি ত্রিভুজ যার প্রান্তটি পরিধির উপরে থাকে, সুতরাং এটি এতে থাকে।
বিশেষত, থ্যালসের দ্বিতীয় উপপাদ্যটি নিম্নলিখিতটি বর্ণনা করেছে: কেন্দ্রের ও ও ব্যাসের এসি এর পরিধি প্রদত্ত, পরিধিটির প্রতিটি বিন্দু বি (এ এবং সি ব্যতীত) একটি সমকোণীটি এবিসি নির্ধারণ করে, সমকোণ সহ
ন্যায্যতার পথে, আসুন আমরা নোট করি যে ওএ এবং ওবি এবং ওসি উভয়ই পরিধির ব্যাসার্ধের সাথে মিলে যায়; সুতরাং, তাদের পরিমাপ একই। এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে ত্রিভুজগুলি OAB এবং OCB isosceles, যেখানে
এটি জানা যায় যে একটি ত্রিভুজের কোণগুলির সমষ্টি 180º এর সমান º এটি আমাদের ত্রিভুজ এবিসি দিয়ে ব্যবহার করে:
2 বি + 2 এ = 180º º
সমানভাবে, আমাদের কাছে সেই খ + a = 90º এবং খ + এ = রয়েছে
নোট করুন যে থ্যালসের দ্বিতীয় উপপাদ্য দ্বারা প্রদত্ত ডান ত্রিভুজটি হ'ল যথাযথভাবে হ'ল যার অনুপাতটি পরিধিটির ব্যাসের সমান। অতএব, এটি সম্পূর্ণরূপে অর্ধবৃত্ত দ্বারা নির্ধারিত হয় যা ত্রিভুজের বিন্দু রয়েছে; এই ক্ষেত্রে, উপরের অর্ধবৃত্ত।
আসুন আমরা লক্ষ্য করি যে থ্যালসের দ্বিতীয় উপপাদ্য দ্বারা প্রাপ্ত ডান ত্রিভুজগুলিতে, হাইপেনটেনসটি ওএ এবং ওসি (ব্যাসার্ধ) দ্বারা দুটি সমান অংশে বিভক্ত হয়। ঘুরেফিরে, এই পরিমাপটি বিভাগের OB (এছাড়াও ব্যাসার্ধের) সমান, যা বি দ্বারা ত্রিভুজটি এবিসির মধ্যস্থতার সাথে মিলে যায়
অন্য কথায়, ভার্টেক্স বি এর সাথে সমান ডান ত্রিভুজ এবিসির মধ্যকের দৈর্ঘ্য অর্ধ অনুমান দ্বারা সম্পূর্ণ নির্ধারিত হয়। মনে রাখবেন যে একটি ত্রিভুজের মধ্যকটি একটি শীর্ষে থেকে বিপরীত দিকের মধ্যবিন্দুতে একটি অংশ; এই ক্ষেত্রে, বিও বিভাগ।
ঘের um
থ্যালসের দ্বিতীয় উপপাদ্যটি দেখার আরেকটি উপায় হ'ল একটি পরিধিকে ডান ত্রিভুজকে আটকানো through
সাধারণভাবে, বহুভুজের কাছে পরিবেষ্টিত একটি পরিধি এমন পরিধিটি নিয়ে গঠিত যা তার প্রতিটি লম্বার মধ্য দিয়ে যায়, যখনই এটি আঁকানো সম্ভব হয়।
থ্যালসের দ্বিতীয় উপপাদ্যটি ব্যবহার করে, একটি সঠিক ত্রিভুজ দেওয়া হয়েছে, আমরা সর্বদা এটির অনুধাবন করে একটি পরিধি তৈরি করতে পারি, অর্ধ অনুমানের সমান একটি ব্যাসার্ধ এবং অনুকলের মধ্যবিন্দুর সমান একটি পরিধি (পরিধির কেন্দ্র)।
আবেদন
থ্যালসের দ্বিতীয় উপপাদ্যের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ এবং সম্ভবত বহুল ব্যবহৃত, একটি প্রদত্ত বৃত্তের স্পর্শকাতর রেখাগুলি খুঁজে পাওয়ার জন্য এটি এর বাহ্যিক পয়েন্টের মাধ্যমে (জানা)।
নোট করুন যে একটি বৃত্ত দেওয়া হয়েছে (নীচের চিত্রে নীল রঙে আঁকা) এবং একটি বহির্মুখী বিন্দু P, বৃত্তের দুটি লাইনের স্পর্শক রয়েছে যা পি এর মধ্য দিয়ে যায়। টি এবং টি'কে স্পর্শের বিন্দু হতে দিন, বৃত্তের ব্যাসার্ধকে r এবং বা কেন্দ্র।
এটি জানা যায় যে বিভাগটি একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে একইরকমের স্পর্শের বিন্দুতে যায় সেগুলি এই স্পর্শক রেখার জন্য লম্ব হয়। সুতরাং কোণ ওটিপি ঠিক আছে।
থ্যালসের প্রথম উপপাদ্য এবং এর বিভিন্ন সংস্করণে আমরা যা দেখেছি সেখান থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে ওটিপি ত্রিভুজটি অন্য একটি বৃত্তে (লাল রঙের) অনুলিপি করা সম্ভব।
একইভাবে, এটি পাওয়া গেছে যে ত্রিভুজটি ওটি'পি একই পূর্ববর্তী পরিধির মধ্যে খোদাই করা যেতে পারে।
থ্যালসের দ্বিতীয় উপপাদ্য অনুসারে আমরা আরও জানতে পারি যে এই নতুন পরিধিটির ব্যাসটি হুবহু ত্রিভুজ ওটিপি (যা ত্রিভুজ ওটি'পি এর অনুমানের সমান) এর অনুমান, এবং কেন্দ্রটি এই অনুমানের মধ্যবিন্দু।
নতুন পরিধির কেন্দ্র গণনা করার জন্য, তবে প্রাথমিক বৃত্তের (যা আমরা ইতিমধ্যে জানি) এবং বিন্দু পি (যা আমরা জানি) - এর মধ্যবর্তী মধ্যবিন্দু গণনা করা যথেষ্ট। তারপরে ব্যাসার্ধটি এই পয়েন্ট এম এবং পি এর মধ্যকার দূরত্ব হবে
ব্যাসার্ধ এবং লাল বৃত্তের কেন্দ্রের সাহায্যে আমরা এর কার্টেসিয়ান সমীকরণটি খুঁজে পেতে পারি, যা আমাদের মনে আছে (xh) 2 + (yk) 2 = c 2 দিয়ে দেওয়া হয়েছে, যেখানে গ ব্যাসার্ধ এবং বিন্দু (এইচ, কে) হয় পরিধি কেন্দ্র।
উভয় চেনাশোনাগুলির সমীকরণগুলি জেনে এখনই আমরা তাদের দ্বারা গঠিত সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করে এবং এইভাবে স্পর্শকাতর টি এবং টি এর পয়েন্টগুলি অর্জন করে তাদের ছেদ করতে পারি। অবশেষে, পছন্দসই স্পর্শকাতর রেখাগুলি জানতে, টি এবং পি এর মধ্য দিয়ে যাওয়া লাইনগুলির সমীকরণ এবং টি এবং পি এর মধ্য দিয়ে সন্ধান করা যথেষ্ট is
উদাহরণ
ব্যাস এসি, কেন্দ্র ও, এবং 1 সেমি ব্যাসার্ধের পরিধি বিবেচনা করুন। বি পরিধি হিসাবে যেমন একটি AB = এসি একটি বিন্দু হতে দিন। এবি কত লম্বা?
সমাধান
থ্যালসের দ্বিতীয় উপপাদ্য অনুসারে আমাদের কাছে আছে যে ত্রিভুজটি এবিসিটি সঠিক এবং অনুমিতিটি ব্যাসের সাথে মিলে যায়, যা এই ক্ষেত্রে 2 সেন্টিমিটার (ব্যাসার্ধ 1 সেন্টিমিটার) পরিমাপ করে। তারপরে পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটির মাধ্যমে আমাদের কাছে রয়েছে:
তথ্যসূত্র
- আনা লিরা, পিজে (2006)। জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতি। জাপোপন, জালিসকো: এডিসিয়নেস উম্ব্রাল।
- গুডম্যান, এ।, এবং হির্শ, এল। (1996)। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সাথে বীজগণিত এবং ত্রিকোণমিতি। পিয়ারসন শিক্ষা.
- গুটিরিজ, Á। প্রতি. (2004)। শিক্ষা মন্ত্রণালয়ে ইএসও গণিতের পদ্ধতি এবং প্রয়োগসমূহ।
- আইজিইআর (2014)। গণিতের দ্বিতীয় সেমিস্টার জাকুলিউ। গুয়াতেমালা: আইজিইআর।
- জোসে জিমনেজ, এলজে (2006) গণিত 2. জাপোপান, জলিসকো: এডিসিয়নেস উম্ব্রাল।
- এম।, এস। (1997)। ত্রিকোণমিতি এবং বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি। পিয়ারসন শিক্ষা.
- পেরেজ, এমএ (২০০৯) গণিতের একটি ইতিহাস: এর চরিত্রগুলির মাধ্যমে চ্যালেঞ্জ এবং বিজয়। সম্পাদকীয় দৃষ্টি লিব্রোস।
- ভিলোরিয়া, এন।, এবং লিয়াল, জে। (2005) প্লেন অ্যানালিটিকাল জ্যামিতি। সম্পাদকীয় ভেনিজোলানা সিএ