ভারিগননের উপপাদ্য: উদাহরণ এবং সমাধান ব্যায়াম - গণিতশাস্ত্র - 2025

উপপাদ্য Varignon যে যদি থাকে চতুর্ভুজ ক্রমাগত পক্ষের midpoints সংযুক্ত আছেন, একটি সামন্তরিক উৎপন্ন হয়। এই উপপাদ্যটি পিয়ের ভারিগনন রচনা করেছিলেন এবং ১31৩১ সালে গণিতের উপাদানসমূহ বইয়ে প্রকাশ করেছিলেন।

বইটির প্রকাশনা তাঁর মৃত্যুর কয়েক বছর পরে ঘটেছিল। যেহেতু ভারিগনই এই উপপাদ্যটি চালু করেছিলেন, তাই সমান্তরালামটির নামকরণ করা হয়েছিল তাঁর নামে। উপপাদ্যটি ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির উপর ভিত্তি করে গঠিত এবং চতুর্ভুজগুলির জ্যামিতিক সম্পর্ক উপস্থাপন করে।

ভারিগননের উপপাদ্য কী?

ভারিগনন বলেছিল যে চতুর্ভুজের মধ্যম বিন্দু দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি চিত্র সর্বদা সমান্তরালগমের ফলস্বরূপ হয় এবং সমান্তরালক্ষেত্রের ক্ষেত্রটি সর্বদা চতুর্ভুজের অর্ধেক অঞ্চল হবে যদি এটি সমতল এবং উত্তল হয়। উদাহরণ স্বরূপ:

চিত্রটিতে আপনি একটি অঞ্চল X এর সাথে একটি চতুর্ভুজ দেখতে পাচ্ছেন, যেখানে পাশের মধ্যবিন্দুগুলি E, F, G এবং H দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় এবং যোগদানের পরে একটি সমান্তরালগ্ন গঠন করে। চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফলটি ত্রিভুজগুলির গঠিত ক্ষেত্রগুলির সমষ্টি হবে এবং এর অর্ধেকটি সমান্তরাল ক্ষেত্রের সাথে মিলে যায়।

যেহেতু সমান্তরালক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল চতুর্ভুজের অর্ধেক অঞ্চল, তাই সমান্তরালগ্রামের পরিধি নির্ধারণ করা যায়।

সুতরাং, পরিধিটি চতুর্ভুজের ত্রিভুজের দৈর্ঘ্যের যোগফলের সমান; এর কারণ হল চতুর্ভুজটির মধ্যকরা সমান্তরালকের ডায়াগোনাল হবে।

অন্যদিকে, চতুর্ভুজটির ত্রিভুজের দৈর্ঘ্য হুবহু একই হলে সমান্তরালম্বটি একটি রম্বস হবে। উদাহরণ স্বরূপ:

চিত্র থেকে এটি দেখা যায় যে, চতুর্ভুজের উভয় দিকের মিডপয়েন্টগুলিতে যোগদানের মাধ্যমে একটি রম্বস পাওয়া যায়। অন্যদিকে, চতুর্ভুজটির ত্রিভুজগুলি যদি লম্ব হয়, তবে সমান্তরালটি একটি আয়তক্ষেত্র হবে।

চতুর্ভুজটির দৈর্ঘ্যের একই দৈর্ঘ্যের সাথে ত্রিভুজ থাকলে এবং সেগুলিও লম্ব হয় ram

উপপাদ্যটি কেবল বিমানের চতুর্ভুজগুলিতেই পরিপূর্ণ হয় না, এটি স্থানিক জ্যামিতিতে বা বড় মাত্রায়ও প্রয়োগ করা হয়; এটি এমন যে চতুর্ভুজগুলিতে উত্তল নয় in এর উদাহরণ অষ্টাড্রন হতে পারে, যেখানে মিডপয়েন্টগুলি প্রতিটি মুখের সেন্ট্রয়েড হয় এবং একটি সমান্তরাল গঠন করে।

এইভাবে, বিভিন্ন পরিসংখ্যানের মিডপয়েন্টগুলিতে যোগদানের মাধ্যমে সমান্তরালোগ্রামগুলি পাওয়া যায়। এটি সত্য সত্য কিনা তা যাচাই করার একটি সহজ উপায় হ'ল বিস্তৃত হওয়ার সময় বিপরীত দিকগুলি সমান্তরাল হওয়া উচিত।

উদাহরণ

প্রথম উদাহরণ

এটি সমান্তরালগ্রাম হিসাবে দেখানোর জন্য বিপরীত দিকগুলির প্রসারিত:

দ্বিতীয় উদাহরণ

একটি রম্বসের মিডপয়েন্টগুলিতে যোগদান করে একটি আয়তক্ষেত্র পাওয়া যায়:

উপপাদ্যটি একটি চতুর্ভুজের উভয় পাশের মাঝখানে অবস্থিত পয়েন্টগুলির সংমিশ্রণে ব্যবহৃত হয় এবং এটি অন্যান্য ধরণের পয়েন্টগুলির জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে যেমন ট্রাইসেকশন, পেন্টা-বিভাগ বা এমনকি অসীম সংখ্যক বিভাগগুলি (নবম), যে কোনও চতুর্ভুজের দিকগুলি সমানুপাতিক বিভাগগুলিতে ভাগ করার জন্য।

সমাধান ব্যায়াম

অনুশীলনী 1

চিত্রটিতে আমাদের কাছে জেড অঞ্চলটির একটি চতুর্ভুজ ABCD রয়েছে, যেখানে এর পাশগুলির মাঝপথগুলি PQSR হয়। একটি ভারিগনন সমান্তরাল গঠিত হয়েছে তা পরীক্ষা করুন।

সমাধান

এটি দেখা যায় যে পিকিউএসআর পয়েন্টগুলিতে যোগদানের মাধ্যমে একটি ভারিমন প্যারালালগ্রাম তৈরি হয়, কারণ স্পষ্টতই একটি চতুর্ভুজটির মিডপয়েন্টগুলি বিবৃতিতে দেওয়া হয়।

এটি প্রদর্শনের জন্য, প্রথমে মিডপয়েন্টগুলি পিকিউএসআর যুক্ত হয়, সুতরাং দেখা যায় যে আরও একটি চতুর্ভুজ গঠিত হয়েছে। এটি একটি সমান্তরাল যা প্রমাণ করার জন্য, আপনাকে কেবল বিন্দু সি থেকে পয়েন্ট এ পর্যন্ত একটি সরল রেখা আঁকতে হবে, তাই দেখা যায় যে সিএ পিকিউ এবং আরএসের সমান্তরাল।

একইভাবে, পক্ষগুলি PQRS প্রসারিত করার সময় এটি দেখতে পাওয়া যায় যে পিকিউ এবং আরএস সমান্তরাল, নীচের চিত্রটিতে দেখানো হয়েছে:

অনুশীলন 2

আমাদের একটি আয়তক্ষেত্র রয়েছে যে এর সমস্ত পক্ষের দৈর্ঘ্য সমান। এই পক্ষগুলির মিডপয়েন্টগুলিতে যোগদানের ফলে একটি রম্বস এবিসিডি গঠিত হয়, যা দুটি তির্যক এসি = 7 সেমি এবং বিডি = 10 সেমি দ্বারা বিভক্ত, যা আয়তক্ষেত্রের পার্শ্বের পরিমাপের সাথে মিলিত হয়। রম্বস এবং আয়তক্ষেত্রের অঞ্চলগুলি নির্ধারণ করুন।

সমাধান

ফলস্বরূপ সমান্তরাল ক্ষেত্রফলটি চতুর্ভুজের অর্ধেক বলে মনে করে এগুলির ক্ষেত্রফলটি নির্ধারণ করা যেতে পারে তা জেনে যে ত্রিভুজগুলির পরিমাপটি আয়তক্ষেত্রের পাশগুলির সাথে মিলে যায়। সুতরাং আপনি করতে হবে:

এবি = ডি

সিডি = ডি

একটি _{আয়তক্ষেত্র} = (এবি _* সিডি) = (10 সেমি _{* 7} সেমি) = 70 সেমি ²

একটি _{রম্বস} = একটি _{আয়তক্ষেত্র} / 2

একটি _{রম্বস} = 70 সেমি ² /2 = 35 সেমি ²

অনুশীলন 3

চিত্রটিতে একটি চতুর্ভুজ রয়েছে যা EFGH পয়েন্টগুলির মিল রয়েছে, বিভাগগুলির দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। EFGH এর ইউনিয়ন একটি সমান্তরাল হয় কিনা তা নির্ধারণ করুন।

এবি = 2.4 সিজি = 3.06

ইবি = 1.75 জিডি = 2.24

বিএফ = 2.88 ডিএইচ = 2.02

এইচআর = 3.94 এইচএ = 2.77

সমাধান

বিভাগগুলির দৈর্ঘ্য প্রদত্ত হিসাবে, বিভাগগুলির মধ্যে আনুপাতিকতা থাকলে তা যাচাই করা যেতে পারে; এটি হ'ল চতুষ্কোণীর অংশগুলি নীচে সম্পর্কিত করে তারা সমান্তরাল কিনা তা জানতে পারবেন:

- এই / ইবি = 2.4 / 1.75 = 1.37

- এএইচ / এইচডি = 2.77 / 2.02 = 1.37

- সিএফ / এফবি = 3.94 / 2.88 = 1.37

- সিজি / জিডি = 3.06 / 2.24 = 1.37

তারপরে আনুপাতিকতা পরীক্ষা করা হয়, যেহেতু:

এই / ইবি = এএইচ / এইচডি = সিএফ / এফবি = সিজি / জিডি

একইভাবে, বিন্দু বি থেকে বিন্দু ডি পর্যন্ত একটি লাইন আঁকতে, দেখা যাবে যে ED সমান্তরাল হয় BD, ঠিক যেমন BD FG এর সমান্তরাল। অন্যদিকে, ইএফ GH এর সমান্তরাল।

সুতরাং এটি নির্ধারণ করা যেতে পারে যে EFGH একটি সমান্তরালগ্রাম, কারণ বিপরীত দিকগুলি সমান্তরাল।

তথ্যসূত্র

1. আন্দ্রেস, টি। (2010)। গাণিতিক অলিম্পিয়াড ট্রেসার স্প্রিঙ্গের। নিউ ইয়র্ক
2. বার্বোসা, জেএল (2006) প্লেন ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতি। এসবিএম রিও ডি জেনিরো।
3. হাওয়ার, ই। (1969)। জ্যামিতির অধ্যয়ন। মেক্সিকো: হিস্পানিক - আমেরিকান।
4. রামো, জিপি (1998)। ফার্মাট-টরিসেল্লি সমস্যার অজানা সমাধান আইএসবিএন - স্বতন্ত্র কাজ।
5. ভেরা, এফ (1943)। জ্যামিতির উপাদানসমূহ। বোগোটা
6. ভিলিয়ার্স, এম। (1996)। ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতিতে কিছু অ্যাডভেঞ্চারস। দক্ষিন আফ্রিকা.