দ্বিপদ উপপাদ্য একটি সমীকরণ আমাদের বলে যে কিভাবে ফর্ম একটি অভিব্যক্তি (একটি + খ) বিকাশ হয় এন কিছু প্রাকৃতিক সংখ্যা n জন্য। দ্বি দ্বিপদী দুটি উপাদানের যোগফল (A + b) এর চেয়ে বেশি কিছু নয়। এছাড়া আমাদের একটি প্রদত্ত একটি শব্দ জানি করতে পারবেন ট খ এন-ট কি সহগ যে সাথে এটা।
এই উপপাদ্যটি সাধারণত ইংরেজী উদ্ভাবক, পদার্থবিজ্ঞানী এবং গণিতবিদ স্যার আইজ্যাক নিউটনের কাছে দায়ী করা হয়; তবে বিভিন্ন রেকর্ড পাওয়া গেছে যে ইঙ্গিত দেয় যে এর অস্তিত্বটি ইতিমধ্যে মধ্য প্রাচ্যে প্রায় 1000 বছর আগে থেকেই জানা ছিল।
সম্মিলিত সংখ্যা
দ্বি-দ্বিীয় উপপাদ্যটি গাণিতিকভাবে আমাদের নিম্নলিখিতটি বলেছেন:
এই অভিব্যক্তিটিতে a এবং b প্রকৃত সংখ্যা এবং n একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা।
ডেমো দেওয়ার আগে আসুন কয়েকটি বেসিক ধারণাটি জেনে নেওয়া যাক যা প্রয়োজনীয়।
কে-তে এন সংযুক্ত নম্বর বা সংমিশ্রণগুলি নিম্নলিখিত হিসাবে প্রকাশ করা হয়:
এই ফর্মটি এন এলিমেন্টের একটি সেট থেকে কে এলিমেন্ট সহ কতগুলি সাবসেট বেছে নিতে পারে তার মান প্রকাশ করে। এর বীজগণিতিক প্রকাশটি দিয়েছেন:
আসুন একটি উদাহরণ দেখুন: ধরা যাক আমাদের সাতটি বলের একটি গ্রুপ রয়েছে যার মধ্যে দুটি লাল এবং বাকীটি নীল।
আমরা জানতে চাই যে কয়টি উপায়ে তাদের একের পর এক ব্যবস্থা করতে পারি। একটি উপায় হতে পারে প্রথম এবং দ্বিতীয় অবস্থানে দুটি রেড রাখা এবং বাকি বলগুলি বাকী অবস্থানে রাখা।
পূর্ববর্তী কেসের মতো, আমরা লাল বলগুলিকে যথাক্রমে প্রথম এবং শেষ অবস্থান দিতে পারি এবং নীল বলগুলি দিয়ে অন্যকে দখল করতে পারি।
সংযুক্ত সংখ্যা ব্যবহার করে আমরা একের পর এক বলগুলিকে কীভাবে সাজিয়ে তুলতে পারি তা গণনা করার একটি কার্যকর উপায়। আমরা প্রতিটি অবস্থান নিম্নলিখিত সংকলনের উপাদান হিসাবে দেখতে পারি:
তারপরে এটি কেবলমাত্র দুটি উপাদানের একটি উপসেট বেছে নেওয়া যায়, যার মধ্যে প্রতিটি উপাদান লাল বল দখল করবে এমন অবস্থানকে উপস্থাপন করে। প্রদত্ত সম্পর্ক অনুযায়ী আমরা এই পছন্দটি করতে পারি:
এইভাবে, আমাদের কাছে এই বলগুলি অর্ডার করার জন্য 21 টি উপায় রয়েছে।
এই উদাহরণটির সাধারণ ধারণা দ্বিপদী উপপাদ্য প্রমাণ করতে খুব কার্যকর হবে। আসুন একটি নির্দিষ্ট কেসটি দেখুন: যদি এন = 4 হয় তবে আমাদের কাছে (a + b) 4 রয়েছে যা এর চেয়ে বেশি কিছু নয়:
যখন আমরা এই পণ্যটি বিকাশ করি, তখন চারটি কারণের (এ + বি) এর প্রতিটি একটিকে গুণ করে আমাদের প্রাপ্ত পদগুলির যোগফলটি ছেড়ে যায়। সুতরাং, আমাদের পদ রয়েছে যা রূপের হবে:
যদি আমরা একটি 4 আকারে শব্দটি পেতে চাইতাম, আমাদের কেবল নিম্নলিখিত হিসাবে গুণ করতে হবে:
মনে রাখবেন যে এই উপাদানটি অর্জনের একমাত্র উপায় আছে; কিন্তু এখন যদি আমরা ফর্মটির শব্দটি 2 বি 2 তে সন্ধান করি তবে কী হবে ? যেহেতু "ক" এবং "বি" আসল সংখ্যা এবং সুতরাং, পরিবর্তনীয় আইন প্রযোজ্য, আমাদের কাছে এই পদটি প্রাপ্তির একটি উপায় রয়েছে তীর দ্বারা নির্দেশিত অনুসারে সদস্যদের সাথে সংখ্যাবৃদ্ধি করা।
এই সমস্ত ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করা সাধারণত কিছুটা ক্লান্তিকর, তবে আমরা যদি একটি সংশ্লেষ হিসাবে "ক" শব্দটি দেখতে পাই যেখানে আমরা চারটি কারণের একটি সেট থেকে দুটি উপায় "ক" বেছে নিতে পারি তা জানতে চাই, আমরা পূর্ববর্তী উদাহরণ থেকে ধারণাটি ব্যবহার করতে পারি। সুতরাং, আমাদের নিম্নলিখিত রয়েছে:
সুতরাং, আমরা জানি যে এক্সপ্রেশনটির চূড়ান্ত সম্প্রসারণে (a + b) 4 আমাদের ঠিক 6 এ 2 বি 2 হবে । অন্যান্য উপাদানগুলির জন্য একই ধারণাটি ব্যবহার করে আপনাকে:
তারপরে আমরা পূর্বে প্রাপ্ত অভিব্যক্তিগুলি যুক্ত করি এবং আমাদের তা রয়েছে:
এটি সাধারণ ক্ষেত্রে যেখানে "এন" যে কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যা for
প্রদর্শন
নোট করুন যে প্রসারিত (a + b) n দ্বারা বাম পদগুলি কে k বি এন-কে ফর্মের, যেখানে কে = 0,1,…, এন। পূর্ববর্তী উদাহরণের ধারণাটি ব্যবহার করে আমাদের «n» কারণগুলির মধ্যে «k» ভেরিয়েবল «a choose চয়ন করার উপায় রয়েছে:
এইভাবে নির্বাচন করে আমরা স্বয়ংক্রিয়ভাবে এন কে ভেরিয়েবল "বি" বেছে নিই। এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে:
উদাহরণ
(এ + বি) ৫ বিবেচনা করে এর উন্নয়ন কী হবে?
দ্বিপদী উপপাদ্য দ্বারা আমাদের আছে:
দ্বি-দ্বিীয় উপপাদ্যটি খুব কার্যকর যদি আমাদের কোনও অভিব্যক্তি থাকে যাতে আমরা কোনও নির্দিষ্ট শব্দটির পূর্ণগতি ব্যতিরেকে না করে কী সহগ কী তা জানতে চাই। উদাহরণ হিসাবে আমরা নিম্নলিখিত অজানা নিতে পারি: (x + y) 16 এর প্রসারণে x 7 এবং 9 এর সহগ কত ?
দ্বিপদীয় উপপাদ্য দ্বারা, আমাদের আছে যে সহগ হয়:
আর একটি উদাহরণ হ'ল: (3x-7y) 13 এর বিস্তারে x 5 এবং 8 এর সহগ কত ?
প্রথমে আমরা একটি সুবিধাজনক উপায়ে এক্সপ্রেশনটি আবার লিখি; এই:
তারপরে, দ্বি-দ্বিীয় উপপাদ ব্যবহার করে, আমাদের কাছে আছে যে সহগগুলি অনুসন্ধান করা হয় যখন আমাদের কাছে কে = 5 থাকে
এই উপপাদ্যটির ব্যবহারের আরেকটি উদাহরণ কয়েকটি সাধারণ পরিচয়ের প্রমাণে রয়েছে, যেমন আমরা পরবর্তীগুলি উল্লেখ করব।
পরিচয় ঘ
যদি «n» একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা হয় তবে আমাদের রয়েছে:
প্রমাণের জন্য আমরা দ্বিপদী উপপাদ ব্যবহার করি, যেখানে «a» এবং «b both উভয়ই 1 এর মান গ্রহণ করে Then তারপরে আমাদের রয়েছে:
এইভাবে আমরা প্রথম পরিচয় প্রমাণ করেছি।
পরিচয় ২
যদি "এন" একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা হয় তবে
দ্বিপদী উপপাদ্য দ্বারা আমাদের আছে:
আর একটি বিক্ষোভ
ইনডাকটিভ পদ্ধতি এবং পাস্কেলের পরিচয় ব্যবহার করে আমরা দ্বিপদী উপপাদ্যের জন্য একটি পৃথক প্রমাণ তৈরি করতে পারি, যা আমাদের বলে যে, «n» এবং «k positive যদি এন ≥ কে সন্তুষ্টকারী ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় তবে:
আনয়ন প্রমাণ
আসুন প্রথমে দেখি যে প্রস্তাবনামূলক বেস ধারণ করে। যদি এন = 1, আমাদের রয়েছে:
প্রকৃতপক্ষে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এটি সম্পন্ন হয়েছে। এখন আসুন, এন = জে:
আমরা দেখতে চাই যে এন = জে 1 এর জন্য এটি সত্য যে:
সুতরাং আমাদের করতে হবে:
অনুমান দ্বারা আমরা জানি যে:
তারপরে, বিতরণযোগ্য সম্পত্তিটি ব্যবহার করে:
পরবর্তীকালে, প্রতিটি সংক্ষেপণের বিকাশ করে আমাদের রয়েছে:
এখন, আমরা যদি কোনও সুবিধাজনক উপায়ে গ্রুপ করি তবে আমাদের তা আছে:
পাস্কলের পরিচয় ব্যবহার করে আমাদের কাছে:
শেষ পর্যন্ত, নোট করুন:
অতএব, আমরা দেখতে পাই যে দ্বি-দ্বিীয় উপপাদ্যটি প্রাকৃতিক সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত সমস্ত "n" এর জন্য ধারণ করে এবং এর সাথে প্রমাণটি শেষ হয়।
কৌতূহল
সংমিশ্রণ সংখ্যা (এনকে) কে দ্বিপদী সহগ বলা হয় কারণ এটি স্পষ্টত সহগ যা দ্বিপদী (a + b) এন এর বিকাশে প্রদর্শিত হয় ।
আইজ্যাক নিউটন যে প্রবণতাটি আসল সংখ্যা সে ক্ষেত্রে এই উপপাদ্যের একটি সাধারণীকরণ দিয়েছেন; এই উপপাদ্যটি নিউটনের দ্বিপদী উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত।
ইতিমধ্যে প্রাচীন কালে এই ফলাফলটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে n = 2 এর জন্য পরিচিত ছিল। ইউক্লিডের উপাদানগুলিতে এই কেসটির উল্লেখ রয়েছে।
তথ্যসূত্র
- জনসনবৌ রিচার্ড। বিচ্ছিন্ন গণিত. পিএইচএইচ
- কেনেথ.এইচ। রোজেন। বিচ্ছিন্ন গণিত এবং এর প্রয়োগসমূহ। সামগ্রা-হিল / ইন্টারামেরিকানা দে এসপাÑা।
- সিমুর লিপসচটজ পিএইচডি এবং মার্ক লিপসন। বিচ্ছিন্ন গণিত. ম্যাকগ্রা-হিল
- র্যালফ পি। গ্রিমাল্ডি। স্বতন্ত্র এবং সম্মিলিত গণিত। অ্যাডিসন-ওয়েসলি আইবারোইমারিকানা
- গ্রিন স্টার লুইস । স্বতন্ত্র এবং সম্মিলিত গণিত অ্যানথ্রোপস