পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য: প্রমাণ, প্রয়োগ, ব্যায়াম - গণিতশাস্ত্র - 2025

গাণিতিক মৌলিক উপপাদ্য বলে যে 1 ছাড়া প্রাকৃতিক সংখ্যা বৃহত্তর মৌলিক সংখ্যার একটি পণ্য হিসাবে পচে যেতে পারে - কিছু ত্রুটির পুনরাবৃত্তি ঘটতে পারে - এবং এই ফর্মটি যে সংখ্যা অনন্য, যদিও কারণের অর্ডার আলাদা হতে পারে।

মনে রাখবেন যে একটি মৌলিক সংখ্যা পি এমন একটি যা কেবল নিজেকে এবং 1 টি ইতিবাচক বিভাজক হিসাবে স্বীকার করে নিচের সংখ্যাগুলি প্রাইমগুলি: 2, 3, 5, 7, 11, 13 এবং তাই, যেহেতু অসম্পূর্ণতা রয়েছে। 1 নম্বরটিকে প্রধান হিসাবে বিবেচনা করা হয় না, কারণ এতে কেবল একটি বিভাজক রয়েছে।

চিত্র ১। ইউক্লিড (বাম) তাঁর এলিমেন্টস (বিসিপি 350) গ্রন্থে পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য প্রমাণ করেছেন এবং প্রথম সম্পূর্ণ প্রমাণ কার্ল এফ গাউসের (1777-1855) (ডান) কারণে রয়েছে। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

তাদের অংশের জন্য, যে সংখ্যাগুলি উপরের সাথে সম্মতি দেয় না তাদের সম্মিলিত সংখ্যা বলা হয়, যেমন 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14… আসুন উদাহরণস্বরূপ 10 নম্বরটি নেওয়া যাক এবং তত্ক্ষণাত্ আমরা দেখি যে এটির পণ্য হিসাবে এটি পচে যেতে পারে 2 এবং 5:

10 = 2 × 5

2 এবং 5 উভয়ই কার্যকরভাবে মৌলিক সংখ্যা। উপপাদ্যটি বলে যে এটি কোনও সংখ্যার পক্ষে সম্ভব:

যেখানে পি ₁, পি ₂, পি ₃ … পি _আর প্রাইম সংখ্যা এবং কে ₁, কে ₂, কে ₃,… কে _আর প্রাকৃতিক সংখ্যা। সুতরাং মৌলিক সংখ্যাগুলি বিল্ডিং ব্লক হিসাবে কাজ করে যা থেকে গুণনের মাধ্যমে, প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি নির্মিত হয়।

পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের প্রমাণ

আমরা দেখিয়ে দিয়ে শুরু করি যে প্রতিটি সংখ্যা প্রধান কারণগুলিতে বিভক্ত হতে পারে। আসুন একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা এন> 1, প্রধান বা সংমিশ্রণ।

উদাহরণস্বরূপ যদি এন = 2, এটি হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে: 2 = 1 × 2, যা প্রধান। একইভাবে, নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলি নিয়ে এগিয়ে যান:

3 = 1 × 3

4 = 2 × 2

5 = 1 × 5

6 = 2 × 3

7 = 1 × 7

8 = 2 × 2 × 2

আমরা এন -1 নম্বরে না পৌঁছানো পর্যন্ত সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলিকে সংক্ষেপিত করে এভাবে চলতে থাকি। আসুন দেখা যাক আমরা নিম্নলিখিত সংখ্যাটি দিয়ে এটি করতে পারি কিনা: এন।

যদি এন প্রাইম হয়, আমরা এটিকে n = 1 × n হিসাবে পচন করতে পারি তবে মনে করুন যে এনটি সংমিশ্রিত এবং একটি বিভাজক ডি রয়েছে, যুক্তিযুক্তভাবে n এর চেয়ে কম:

1 <ডি <এন।

যদি n / d = p ₁, পি _{1 দিয়ে} একটি মৌলিক সংখ্যা থাকে, তবে n এর লিখিত আছে:

n = পি ₁.ডি

যদি ডি প্রাইম হয় তবে আরও কিছু করার নেই, তবে এটি যদি না হয় তবে একটি সংখ্যা এন _{2 রয়েছে} যা ডি এর বিভাজক এবং এর চেয়ে কম: এন ₂ <ডি, সুতরাং ডি অন্য ₂ দ্বারা n _{2 এর} পণ্য হিসাবে লেখা যেতে পারে প্রধান সংখ্যা পি ₂:

d = পি ₂ এন ₂

এটি যখন মূল সংখ্যায় স্থান নেবে তখন এন দেবে:

n = পি ₁.পি ₂.এন ₂

এখন ধরা যাক যে এন ₂ কোনও হয় মৌলিক সংখ্যা নয় এবং আমরা এটি ₃ এর মূল বিভাজক ₃ দ্বারা একটি মৌলিক সংখ্যা পি _{3 এর} গুণফল হিসাবে লিখি যেমন এন ₃ <এন ₂ <এন ₁ <এন:

n ₂ = p ₃.n ₃ → n = পি ₁ পি ₂ পি ₃.এন ₃

আমরা না পাওয়া পর্যন্ত এই প্রক্রিয়াটির সীমাবদ্ধ পরিমাণ পুনরাবৃত্তি করি:

n = পি ₁.পি ₂.পি ₃ … পি _আর

এর অর্থ হ'ল প্রাইম সংখ্যার গুণফল হিসাবে সমস্ত সম্পূর্ণ সংখ্যা 2 থেকে সংখ্যা এন পর্যন্ত পচন করা সম্ভব।

প্রধান উপাদান নির্ধারণের স্বতন্ত্রতা

এখন আসুন যাচাই করা যাক কারণগুলির ক্রম ব্যতীত, এই পচনটি অনন্য। মনে করুন যে এন দুটিভাবে লেখা যেতে পারে:

n = পি ₁.পি ₂.পি ₃ … পি _আর = কিউ _1. কি ₂.কি ₃….. কি _এস (আর ≤ গুলি সহ)

অবশ্যই q ₁, q ₂, q ₃… খুব প্রাথমিক সংখ্যা। যেহেতু পি ₁ বিভাজ্য হয় (q _1. q ₂.Q ₃ ….. _{s s}) এর পরে পি ₁ "q" এর যে কোনওটির সমান, এটি কোনটির সাথে কিছু যায় আসে না , তাই আমরা পি ₁ = কিউ ₁ বলতে পারি । আমরা পি ₁ দ্বারা এন ভাগ করে নিন:

পি ₂.পি ₃ … পি _আর = _। কুই ₂.q ₃…..q _গুলি

আমরা প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করি যতক্ষণ না আমরা সমস্ত কিছু পি _{আর দিয়ে} ভাগ করি, তারপরে আমরা পাই:

1 = কিউ _{আর + 1} … কিউ _এস

তবে কি _{আর আর +1} এ পৌঁছানো সম্ভব নয়… কিউ _এস = 1 যখন আর <এস, কেবলমাত্র যদি আর = এস হয়। যদিও যে r = গুলি স্বীকার করেও, এটিও স্বীকার করা হয় যে "পি" এবং "কি" একইরকম। সুতরাং পচনটি অনন্য।

অ্যাপ্লিকেশন

যেমনটি আমরা আগেই বলেছি, মূল সংখ্যাগুলি প্রতিনিধিত্ব করে, যদি আপনি পছন্দ করেন তবে সংখ্যার পরমাণু, তাদের মূল উপাদানগুলি components পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্যটিতে অসংখ্য অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে, সবচেয়ে সুস্পষ্ট একটি: আমরা যদি সংখ্যার সংখ্যার গুণফল হিসাবে প্রকাশ করি তবে আমরা আরও সহজেই বৃহত সংখ্যার সাথে কাজ করতে পারি।

একইভাবে, আমরা সর্বাধিক সাধারণ একাধিক (এলসিএম) এবং সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজক (জিসিএফ) খুঁজে পেতে পারি, এটি এমন একটি পদ্ধতি যা আমাদের আরও সহজেই ভগ্নাংশের সংযোজন করতে, প্রচুর সংখ্যার শিকড় খুঁজে পেতে, বা র‌্যাডিকালগুলির সাথে পরিচালনা করতে, যৌক্তিকভাবে সমাধান করতে এবং সমাধান করতে সহায়তা করে একটি খুব বিচিত্র প্রকৃতির অ্যাপ্লিকেশন সমস্যা।

তদ্ব্যতীত, মৌলিক সংখ্যাগুলি চূড়ান্তভাবে মায়াময়। তাদের মধ্যে একটি নিদর্শন এখনও স্বীকৃত নয় এবং এটি পরবর্তীটি কোনটি হবে তা জানা সম্ভব নয়। এখন পর্যন্ত বৃহত্তম কম্পিউটারগুলির দ্বারা পাওয়া গেছে এবং এটিতে 24,862,048 সংখ্যা রয়েছে, যদিও নতুন নতুন সংখ্যা প্রতিবারই কম ঘন ঘন প্রদর্শিত হয়।

প্রকৃতির প্রথম সংখ্যা

আমেরিকা যুক্তরাষ্ট্রের উত্তর-পূর্বে বসবাস করা সিক্যাডাস, সিকাদিডোস বা সিকাডাসগুলি 13 বা 17 বছরের চক্রের মধ্যে আবির্ভূত হয়। তারা উভয়ই প্রধান সংখ্যা।

এইভাবে, সিক্যাডগুলি শিকারী বা প্রতিযোগীদের যাদের সাথে অন্যান্য জন্মের সময়সীমার সাথে মিল থাকে তা এড়ানো যায় না, বা বিভিন্ন জাতের সিকাদ একে অপরের সাথে প্রতিযোগিতা করে না, যেহেতু তারা একই বছরের সাথে একত্রিত হয় না।

চিত্র 2. পূর্ব মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের ম্যাজিকিকাডা সিকাডা প্রতি 13 থেকে 17 বছর পরে উত্থিত হয়। সূত্র: পেক্সফুয়েল

প্রাইম নম্বর এবং অনলাইন শপিং

ইন্টারনেটের মাধ্যমে ক্রয় করার সময় ক্রেডিট কার্ডের বিবরণ গোপন রাখতে ক্রিপ্টোগ্রাফিতে প্রাইম নম্বর ব্যবহার করা হয়। এইভাবে, ক্রেতা হারাতে বা অসাধু লোকদের হাতে না পড়েই ক্রেতার স্টোরগুলিতে ঠিক পৌঁছে যায়।

কিভাবে? কার্ডগুলির ডেটা একটি নম্বর এন এ এনকোড করা থাকে যা প্রধান সংখ্যার পণ্য হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। এই প্রধান সংখ্যাগুলি ডেটা প্রকাশ করে এমন কী, তবে তা জনসাধারণের কাছে অজানা, সেগুলি কেবল ওয়েবে পরিচালিত হয় যেখানে ডিকোড করা যায়।

সংখ্যাকে ফ্যাক্টরগুলিতে বিভক্ত করা সহজ কাজ যদি সংখ্যাগুলি ছোট হয় (সমাধান করা অনুশীলন দেখুন) তবে এই ক্ষেত্রে ১০০ সংখ্যার মূল সংখ্যাটি কী হিসাবে ব্যবহৃত হয়, যা তাদের সংখ্যাবৃদ্ধির সময় অনেক বড় সংখ্যা দেয়, যার বিশদ ক্ষয় একটি বিশাল কার্যকে জড়িত ।

সমাধান ব্যায়াম

- অনুশীলনী 1

1029 মূল উপাদানগুলিতে বিভক্ত করুন।

সমাধান

1029 3 দ্বারা বিভাজ্য এটি জানা যায় কারণ এর অঙ্কগুলি যুক্ত করার সময় যোগফল 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. এর একাধিক হয় কারণের ক্রমগুলি পণ্যটির পরিবর্তন না করে, আমরা সেখানে শুরু করতে পারি:

1029 3

343

1029 = 3 × 343

অন্যদিকে 343 = 7 ³, তারপরে:

1029 = 3 × 7 ³ = 3 × 7 × 7 × 7

এবং যেহেতু 3 এবং 7 উভয়ই প্রধান সংখ্যা, এটি 1029 এর পচন।

- অনুশীলন 2

ত্রিকোণীয় এক্স ² + 42x + 432 এর ফ্যাক্টর ।

সমাধান

ত্রি-বর্ণটি আবার (x + a) আকারে পুনরায় লেখা হয়। (x + b) এবং আমাদের a এবং b এর মান খুঁজে পাওয়া দরকার যেমন:

a + b = 42; ab = 432

432 নম্বরটি মূল কারণগুলিতে বিভক্ত হয় এবং সেখান থেকে উপযুক্ত সংমিশ্রণটি পরীক্ষা এবং ত্রুটি দ্বারা বেছে নেওয়া হয় যাতে যুক্ত উপাদানগুলি 42 দেয়।

432 = 2 ⁴ × 3 ³ = 2 × 3 ³ × 2 ³ = 2 ⁴ × 3 ² × 3 =…

এখান থেকে 432 লেখার বিভিন্ন সম্ভাবনা রয়েছে:

432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72…।

এবং সমস্তগুলি প্রধান কারণগুলির মধ্যে পণ্যগুলির সংমিশ্রণের মাধ্যমে পাওয়া যেতে পারে তবে প্রস্তাবিত অনুশীলনের সমাধানের জন্য একমাত্র উপযুক্ত সমন্বয়টি হল: 43 + = 24 × 18 থেকে 24 + 18 = 42, তারপরে:

x ² + 42x + 432 = (x + 24)। (x +18)

তথ্যসূত্র

1. বালডোর, এ। 1986. তাত্ত্বিক ব্যবহারিক পাটিগণিত। আমেরিকান এসএ টেক্সটস সাংস্কৃতিক সম্পাদনা
2. বিবিসি ওয়ার্ল্ড প্রকৃতির লুকানো কোড। উদ্ধার করা হয়েছে: বিবিসি ডটকম থেকে।
3. ডি লিওন, ম্যানুয়েল প্রাইম সংখ্যা: ইন্টারনেটের অভিভাবকরা। থেকে উদ্ধার করা: ব্লগস.20মিনিউটোস.ইস।
4. UNAM। সংখ্যা তত্ত্ব প্রথম: গাণিতিকের মৌলিক উপপাদ্য। পুনরুদ্ধার: teoriadenumeros.wikidot.com থেকে।
5. উইকিপিডিয়া। পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য। উদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.org থেকে ipedia