ফুরিয়ার রূপান্তর: বৈশিষ্ট্য, অ্যাপ্লিকেশন, উদাহরণ - গণিতশাস্ত্র - 2025

ফুরিয়ার রুপান্তর একটি বিশ্লেষণাত্মক পর্যাপ্ততা সমাকলনযোগ্য ফাংশন যে অবিচ্ছেদ্য রূপান্তরগুলির পরিবারের জন্যে ভিত্তিক পদ্ধতি। এটি কোস (টি) এবং সেন (টি) এর ক্ষেত্রে ফ (ফ) ফাংশনগুলির একটি নতুন সংজ্ঞা রয়েছে।

এই ফাংশনগুলির ত্রিকোণমিতিক পরিচয় এবং তাদের ডেরাইভেশন এবং অ্যান্টিডেরিভেশন বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে, নিম্নলিখিত জটিল ফাংশনটির মাধ্যমে ফুরিয়ার রূপান্তরকে সংজ্ঞায়িত করতে পরিবেশন করে:

কোনটি সত্য যতক্ষণ অভিব্যক্তিটি বোঝায় ততক্ষণ, যখন অযৌক্তিক অখণ্ডটি অভিজাত হয়। বীজগণিতভাবে ফুরিয়ার রূপান্তরটি একটি রৈখিক হোমোমোরফিজম হিসাবে বলা হয়।

ফিউরিয়ার ট্রান্সফর্মের সাথে কাজ করা প্রতিটি ফাংশন অবশ্যই একটি সংজ্ঞায়িত প্যারামিটারের বাইরে নাল উপস্থাপন করতে পারে।

সম্পত্তি

সূত্র: পেক্সেল

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মটি নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি পূরণ করে:

অস্তিত্ব

রিয়েলস আর-তে সংজ্ঞায়িত f (t) ফাংশনে ফুরিয়ার রূপান্তরটির অস্তিত্ব যাচাই করতে, নিম্নলিখিত 2 টি অক্ষটি অবশ্যই পূরণ করতে হবে:

1. চ (টি) সমস্ত আর এর জন্য টুকরোচক ধারাবাহিক
2. চ (টি) মধ্যে সমাকলনযোগ্য হয় আর

ফুরিয়ার রূপান্তর রৈখিকতা

এম (টি) এবং এন (টি) যেকোন ধ্রুবক ক এবং খ সহ সুনির্দিষ্ট ফুরিয়ার রূপান্তর সহ যে কোনও দুটি ফাংশন হোক।

F (z) = a F (z) + b F (z)

যা একই নামের ইন্টিগ্রালের লিনিয়ারিটি দ্বারাও সমর্থিত।

একটি ডেরিভেটিভ এর ফুরিয়ার রূপান্তর

এখানে একটি ফাংশন রয়েছে যা সমস্ত বাস্তবের মধ্যে অবিচ্ছিন্ন এবং সংহত হয়, যেখানে:

এবং এফ (এফ ') এর ডেরাইভেটিভ অবিচ্ছিন্ন এবং পুরো আর জুড়ে সংজ্ঞাযুক্ত

একটি ডেরাইভেটিভের ফুরিয়ার রূপান্তরটি নিম্নোক্ত অভিব্যক্তি দ্বারা অংশ দ্বারা সংহতকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়:

F (z) = iz F (z)

উচ্চতর অর্ডার প্রাপ্ত করার ক্ষেত্রে, এটি একটি সমজাতীয় উপায়ে প্রয়োগ করা হবে, যেখানে সকল এন 1 এর জন্য:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

ফুরিয়ার রূপান্তরকরণের পার্থক্য

এখানে একটি ফাংশন রয়েছে যা সমস্ত বাস্তবের মধ্যে অবিচ্ছিন্ন এবং সংহত হয়, যেখানে:

ফুরিয়ার একটি অনুবাদ রূপান্তর

প্রতিটি θ যা একটি সেট এস এবং টি এর সাথে অন্তর্ভুক্ত যা সেট এস 'এর অন্তর্গত, আমাদের কাছে:

এফ = ই- ^আইএফ এফ = ই- ^{আইএক্স} এফ

সঙ্গে τ _একটি যেমন ভেক্টর একটি উপর অনুবাদ অপারেটর কাজ।

ফুরিয়ার রূপান্তর অনুবাদ

প্রতিটি θ যা একটি সেট এস এবং টি এর সাথে অন্তর্ভুক্ত যা সেট এস 'এর অন্তর্গত, আমাদের কাছে:

τ _একটি এফ = এফ τ _একটি এফ = এফ

সব জন্য এর যা অন্তর্গত আর

একটি স্কেল গ্রুপের ফুরিয়ার রূপান্তর

সব জন্য θ করে একটি সেট এস জন্যে টি সেট এস 'থেকে জন্যে

λ একাত্মতার আর - {0} আমরা আছে:

এফ = (1 / -λ-) এফ ( y / λ)

এফ = (1 / -λ-) এফ (y / λ)

যদি f একটি ক্রমাগত এবং পরিষ্কারভাবে সংহত ফাংশন হয় যেখানে a> 0. তারপর:

এফ (জেড) = (১ / এ) এফ (জেড / এ)

এই ফলাফলটি প্রদর্শন করতে আমরা ভেরিয়েবলের পরিবর্তন নিয়ে এগিয়ে যেতে পারি।

যখন T → + তখন s = at → + ∞ হয় ∞

যখন T → - তারপরে s = at → - ∞ ∞

প্রতিসাম্য

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের প্রতিসাম্য অধ্যয়ন করতে পার্সেভালের পরিচয় এবং প্ল্যানচেরেল সূত্রটি যাচাই করতে হবে be

আমাদের θ এবং δ যা এস এর অন্তর্গত তা সেখান থেকে অনুমান করা যায় যে:

পেয়ে

1 / (2π) ^d { F, F } পার্সভাল পরিচয়

1 / (2π) ^{ডি / 2} - এফ - _এল ² _আর ^ডি প্ল্যান্সেরেল সূত্র

একটি রূপান্তর পণ্যটির ফুরিয়ার রূপান্তর

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের মতো অনুরূপ লক্ষ্যগুলি অনুসরণ করে, ফাংশনগুলির সমঝোতা তাদের ফুরিয়ার রূপান্তরগুলির মধ্যে পণ্যটিকে বোঝায়।

আমাদের কাছে f এবং g 2 সীমাবদ্ধ, সংজ্ঞায়িত এবং সম্পূর্ণরূপে সমন্বিত ফাংশন রয়েছে:

এফ (এফ * জি) = এফ (চ) F (ছ)

চ (চ) F (g) = F (f। G)

ধারাবাহিকতা এবং অনন্ত মধ্যে পড়ে

ফুরিয়ার রূপান্তর কী?

এটি মূলত সমীকরণগুলিকে উল্লেখযোগ্যভাবে সরলকরণের জন্য পরিবেশন করে, যখন উদ্ভূত অভিব্যক্তিগুলিকে শক্তি উপাদানগুলিতে রূপান্তরিত করে, ইন্টিগ্রেটেবল পলিনোমিয়ালের আকারে ডিফারেনশিয়াল এক্সপ্রেশনকে বোঝায়।

ফলাফলগুলির অপ্টিমাইজেশন, মড্যুলেশন এবং মডেলিংয়ে এটি প্রমিতকৃত অভিব্যক্তি হিসাবে কাজ করে, যা বহু প্রজন্মের পরে ইঞ্জিনিয়ারিংয়ের জন্য ঘন ঘন সংস্থান।

ফুরিয়ার সিরিজ

এগুলি কোসাইন এবং সাইনগুলির ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত সিরিজ; তারা সাধারণ পর্যায়ক্রমিক ফাংশন সহ কাজের সুবিধার্থে পরিবেশন করে। প্রয়োগ করা হলে এগুলি সাধারণ এবং আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করার কৌশলগুলির একটি অংশ।

টুরির সিরিজের চেয়ে ফুরিয়ার সিরিজগুলি আরও সাধারণ, কারণ তারা পর্যায়ক্রমিক বিরামহীন ফাংশনগুলি বিকাশ করে যেগুলিতে টেলর সিরিজের প্রতিনিধিত্ব নেই।

ফুরিয়ার সিরিজের অন্যান্য রূপ

ফুরিয়ার রূপান্তরকে বিশ্লেষণাত্মকভাবে বুঝতে, ফুুরিয়ার সিরিজটি জটিল জটিল স্বরলিপিটিতে সংজ্ঞায়িত না করা পর্যন্ত অন্যান্য উপায়গুলি পর্যালোচনা করা গুরুত্বপূর্ণ।

- পিরিয়ড 2 এল এর ফাংশনে ফুরিয়ার সিরিজ

অনেক সময় ফুরিয়ার সিরিজের কাঠামোটি পর্যায়ক্রমিক ক্রিয়াকলাপগুলির সাথে খাপ খাইয়ে নেওয়া প্রয়োজন যার সময়কাল পি = 2 এল> 0 হয়।

বিজোড় এবং এমনকি ফাংশনগুলিতে ফুরিয়ার সিরিজ

বিরতি বিবেচনা করা হয়, যা কার্যকারিতাগুলির প্রতিসাম্য বৈশিষ্ট্যের সুযোগ গ্রহণের সময় সুবিধা দেয়।

যদি f সমান হয় তবে ফুরিয়ার সিরিজটি কোজিনের একটি সিরিজ হিসাবে প্রতিষ্ঠিত।

যদি এফটি বিজোড় হয় তবে ফুরিয়ার সিরিজটি সাইনসের একটি সিরিজ হিসাবে প্রতিষ্ঠিত হয়।

- ফুওরি সিরিজের কমপ্লেক্স স্বরলিপি

যদি আমাদের একটি ফাংশন থাকে f (টি), যা ফুরিয়ার সিরিজের সমস্ত বিকাশের প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে, এর জটিল স্বরলিপি ব্যবহার করে বিরতিতে এটি বোঝানো সম্ভব:

অ্যাপ্লিকেশন

সূত্র: পেক্সেল

মৌলিক সমাধান গণনা

ধ্রুবক সহগের সাথে লিনিয়ার ধরণের আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির অধ্যয়নের জন্য ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম একটি শক্তিশালী সরঞ্জাম। তারা সমানভাবে সীমাহীন ডোমেনগুলির সাথে ফাংশনের জন্য আবেদন করে।

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের মতো, ফুরিয়ার রূপান্তর একটি আংশিক ডেরিভেটিভ ফাংশনকে সাধারণ ডিফারেনটিভ সমীকরণে পরিচালনা করতে খুব সহজ করে তোলে।

তাপ সমীকরণের জন্য কচী সমস্যাটি ফিউরিয়ার ট্রান্সফর্মের ঘন ঘন প্রয়োগের ক্ষেত্র উপস্থাপন করে যেখানে তাপের নিউক্লিয়াস বা ডিরিচলেট নিউক্লিয়াস উৎপন্ন হয়।

মৌলিক সমাধানের গণনা সম্পর্কে, ফুরিয়ার রূপান্তরটি খুঁজে পাওয়া যেখানে সাধারণ সেখানে নিম্নলিখিত কেসগুলি উপস্থাপন করা হয়:

সিগন্যাল তত্ত্ব

এই শাখায় ফুরিয়ার রূপান্তর প্রয়োগের সাধারণ কারণটি মূলত আরও সহজেই চিকিত্সাযোগ্য সংকেতের অসীম সুপারপজিশন হিসাবে সিগন্যালের বৈশিষ্ট্যগত পচনের কারণে ঘটে।

এটি একটি শব্দ তরঙ্গ বা একটি তড়িৎ চৌম্বকীয় তরঙ্গ হতে পারে, ফুরিয়ার রূপান্তর এটি সহজ তরঙ্গগুলির একটি সুপারপজিশনে প্রকাশ করে। বৈদ্যুতিক প্রকৌশল ক্ষেত্রে এই উপস্থাপনাটি বেশ ঘন ঘন হয়।

অন্যদিকে, সিগন্যাল তত্ত্বের ক্ষেত্রে ফুরিয়ার রূপান্তরের প্রয়োগের উদাহরণগুলি:

উদাহরণ

উদাহরণ 1

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তির জন্য ফুরিয়ার রূপান্তরটি সংজ্ঞায়িত করুন:

আমরা নিম্নলিখিত উপায়ে এটি উপস্থাপন করতে পারি:

চ (টি) = সেন (টি)

আয়তক্ষেত্রাকার নাড়ি সংজ্ঞায়িত:

পি (টি) = এইচ _{(টি + কে)} - এইচ _{(টি - কে)}

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মটি নিম্নোক্ত অভিব্যক্তিতে প্রয়োগ করা হয়েছে যা সংযোজন তত্ত্বটির সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ।

f (t) = p (t) সেন (টি)

যেখানে: এফ = (1/2) i

এবং ফুরিয়ার রূপান্তরটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

এফ = (1/2) i

উদাহরণ 2

অভিব্যক্তির জন্য ফুরিয়ার রূপান্তরটি সংজ্ঞায়িত করুন:

যেহেতু চ (এইচ) একটি সমান কার্য, তাই এটি বলা যেতে পারে

ভেরিয়েবল এবং তাদের পার্থক্যগুলি নীচে নির্বাচন করে অংশ দ্বারা সংহতকরণ প্রয়োগ করা হয়

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

DV = জ (ঙ ^-h) ² বনাম = (ঙ ^-h) ² /2

আপনার প্রতিস্থাপন

ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যের অধীনে মূল্যায়ন করার পরে

প্রথম অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সম্পর্কিত পূর্ব জ্ঞান প্রয়োগ করা, এক্সপ্রেশন হিসাবে চিহ্নিত করা হয়

কে প্রাপ্ত করার জন্য আমরা মূল্যায়ন করি

পরিশেষে, এক্সপ্রেশনটির ফুরিয়ার রূপান্তর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

প্রস্তাবিত অনুশীলন

• 

• 

• ডাব্লু / (1 + ডাব্লু ²) এক্সপ্রেশনটির রূপান্তর পান

তথ্যসূত্র

1. ডুয়ান্ডিকোয়েটেক্সিয়া জুয়াজো, জে, ফুরিয়ার বিশ্লেষণ। অ্যাডিসন – ওয়েসলি আইবারোইমারিকানা, মাদ্রিদের স্বায়ত্তশাসিত বিশ্ববিদ্যালয়, 1995।
2. লায়নস, জেএল, গাণিতিক বিশ্লেষণ এবং বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির জন্য সংখ্যা পদ্ধতি স্প্রিঞ্জার - ভার্লাগ, 1990।
3. লাইব, ইএইচ, গাউসিয়ান কার্নেলগুলিতে কেবল গসিয়ান ম্যাক্সিমাইজার রয়েছে। উদ্ভাবন। গণিত 102, 179-208, 1990।
4. ডায়ম, এইচ।, ম্যাককিন, এইচপি, ফুরিয়ার সিরিজ এবং ইন্টিগ্রালস। একাডেমিক প্রেস, নিউ ইয়র্ক, 1972।
5. শোয়ার্জ, এল।, থোরি ডেস ডিস্ট্রিবিউশনস। এড। হারমান, প্যারিস, 1966।