স্বতন্ত্র ফুরিয়ার রূপান্তর: সম্পত্তি, অ্যাপ্লিকেশন, উদাহরণ - গণিতশাস্ত্র - 2025

বিযুক্ত ফুরিয়ার রূপান্তরিত একটি সংখ্যাসূচক ভুতুড়ে ফ্রিকোয়েন্সি একটি সংকেত আপ করতে উল্লেখ নমুনা নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত পদ্ধতি। এটি বন্ধ পরামিতিগুলিতে পর্যায়ক্রমিক ফাংশনগুলি অধ্যয়ন করে, ফলস্বরূপ আরও একটি পৃথক সংকেত দেয় yield

একটি পৃথক সিগন্যালে এন পয়েন্টগুলির পৃথক ফুরিয়ার রূপান্তর পেতে, নিম্নলিখিত 2 শর্তগুলি অবশ্যই একটি ক্রম x এ পূরণ করতে হবে

টিডিএফ

স্বতন্ত্র ফুরিয়ার রূপান্তরটি ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের এন-পয়েন্ট স্যাম্পলিং হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।

স্বতন্ত্র ফুরিয়ার রূপান্তর এর ব্যাখ্যা

সূত্র: পেক্সেলস

2 দৃষ্টিকোণ রয়েছে যা থেকে সিকোয়েন্স এক্স _এর প্রাপ্ত ফলাফলগুলি আলাদা ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের মাধ্যমে ব্যাখ্যা করা যায়।

- প্রথমটি বর্ণালী সহগের সাথে মিলে যায়, যা ফুরিয়ার সিরিজ থেকে ইতিমধ্যে পরিচিত। এটি পৃথক পর্যায়ক্রমিক সংকেতগুলিতে পর্যবেক্ষণ করা হয়, নমুনার সাথে সিকোয়েন্স এক্স _{এস এর} সাথে মিল রয়েছে ।

- দ্বিতীয়টি একটি বিচ্ছিন্ন এপিওরিওডিক সিগন্যালের বর্ণালী নিয়ে কাজ করে, সিকোয়েন্স এক্স _এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নমুনাগুলি সহ ।

বিচ্ছিন্ন রূপান্তরটি মূল অ্যানালগ সংকেতের বর্ণালীটির একটি অনুমিতিকরণ। এর ধাপটি নমুনা তাত্ক্ষণিকের উপর নির্ভর করে, যখন এর প্রস্থতা নমুনা ব্যবধানের উপর নির্ভর করে।

সম্পত্তি

কাঠামোর বীজগণিত ভিত্তি নিম্নলিখিত বিভাগগুলির জন্য যৌক্তিকতা তৈরি করে।

লিনিয়ারিটি

গ। এস _এন → সি। চ; যদি কোনও ক্রমটি কোনও স্কেলারের দ্বারা গুণিত হয় তবে এর রূপান্তরটিও হবে।

টি _এন + ভি _এন = এফ + এফ; একটি অঙ্কের রূপান্তর রূপান্তরগুলির যোগফলের সমান।

দ্বৈততা

এফ → (1 / এন) এস _-কে; যদি বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তরটি ইতিমধ্যে রূপান্তরিত অভিব্যক্তিতে পুনরায় গণনা করা হয় তবে একই অভিব্যক্তিটি এন এ স্কেলড এবং উল্লম্ব অক্ষের সাথে উল্টানো হয়।

কনভলিউশন

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের মতো অনুরূপ লক্ষ্যগুলি অনুসরণ করে, ফাংশনগুলির সমঝোতা তাদের ফুরিয়ার রূপান্তরগুলির মধ্যে পণ্যটিকে বোঝায়। কনভলিউশনটি বিচ্ছিন্ন সময়ের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য এবং অনেক আধুনিক পদ্ধতির জন্য দায়ী।

এক্স _এন * আর _এন → এফ.এফ; ফ; একটি রূপান্তরটির রূপান্তর রূপান্তরগুলির পণ্যের সমান।

এক্স _এন । আর _এন → এফ * এফ; কোনও পণ্যের রূপান্তর রূপান্তরগুলির সমাবর্তনের সমান।

উত্পাটন

এক্স _{এন-এম} → এফ ই ^{–i (2π / এন) কিমি}; যদি কোনও সিকোয়েন্সটি এম নমুনাগুলিতে দেরি হয় তবে পৃথক রূপান্তরটির উপর এর প্রভাবটি (2π / N) কিমি দ্বারা নির্ধারিত কোণটির একটি পরিবর্তন হবে।

প্রতিসাম্য

এক্স _টি = এক্স * _টি = এক্স _টি

সংশোধন

ডাব্লু- ^এনএম _এন । x ↔ এক্স _টি

পণ্য

xy ↔ (1 / এন) এক্স _টি * ওয়াই _টি

প্রতিসাম্য

এক্স ↔ এক্স _টি = এক্স * _টি

কনজুগেট

x * ↔ এক্স * _টি

পার্সভাল সমীকরণ

প্রচলিত ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের ক্ষেত্রে এটির বেশ কয়েকটি মিল এবং পার্থক্য রয়েছে। ফুরিয়ার একটি অনুক্রমকে একটি শক্ত রেখায় রূপান্তর করে। এইভাবে বলা হয় যে ফুরিয়ার ভেরিয়েবলের ফলাফলটি একটি বাস্তব পরিবর্তনশীলের জটিল কাজ a

স্বতন্ত্র ফুরিয়ার রূপান্তর, এর বিপরীতে, একটি পৃথক সিগন্যাল গ্রহণ করে এবং এটি অন্য একটি পৃথক সংকেতে রূপান্তরিত করে, এটি একটি অনুক্রম।

এর জন্য আলাদা ফুরিয়ার রূপান্তর কী?

এগুলি মূলত সমীকরণকে ব্যাপকভাবে সরল করার জন্য পরিবেশন করে, যখন উত্পন্ন উপাদানগুলি শক্তির উপাদানগুলিতে রূপান্তরিত করে। ইন্টিগ্রেটেবল পলিনোমিয়াল ফর্মগুলিতে ডিফারেনশিয়াল এক্সপ্রেশনকে বোঝানো হচ্ছে।

ফলাফলগুলির অপ্টিমাইজেশন, মড্যুলেশন এবং মডেলিংয়ে এটি প্রমিতকৃত অভিব্যক্তি হিসাবে কাজ করে, যা বহু প্রজন্মের পরে ইঞ্জিনিয়ারিংয়ের জন্য ঘন ঘন সংস্থান।

সূত্র: পিক্সাবে

ইতিহাস

এই গাণিতিক ধারণাটি জোসেফ বি ফুরিয়ার 1811 সালে প্রবর্তন করেছিলেন, তাপের প্রচার সম্পর্কে একটি গ্রন্থ তৈরি করার সময়। এটি দ্রুত বিজ্ঞান এবং প্রকৌশল বিভাগ দ্বারা গৃহীত হয়েছিল।

এটি আংশিক ডেরাইভেটিভগুলির সাথে সমীকরণের অধ্যয়নের মূল কাজের সরঞ্জাম হিসাবে প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল, এমনকি এটি ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম এবং সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের মধ্যে বিদ্যমান কাজের সম্পর্কের সাথে তুলনা করে।

ফিউরিয়ার ট্রান্সফর্মের সাথে কাজ করা প্রতিটি ফাংশন অবশ্যই একটি সংজ্ঞায়িত প্যারামিটারের বাইরে নাল উপস্থাপন করতে পারে।

স্বতন্ত্র ফুরিয়ার রূপান্তর এবং এর বিপরীত

বিচ্ছিন্ন রূপান্তরটি প্রকাশের মাধ্যমে পাওয়া যায়:

পরে একটি পৃথক ক্রম এক্স

বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তরটির বিপরীতটি অভিব্যক্তির মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

বিপরীত পিটিও

একবার স্বতন্ত্র রূপান্তরটি সম্পাদিত হয়ে গেলে, এটি টাইম ডোমেন এক্সের ক্রমটি সংজ্ঞায়িত করতে দেয়।

উইংসড

প্যারামেট্রাইজেশন প্রক্রিয়াটি আলাদা ফিউরিয়ারের সাথে সম্পর্কিত উইন্ডোংয়ে রয়েছে in ট্রান্সফর্মটি কাজ করতে আমাদের অবশ্যই ক্রমটি সীমাবদ্ধ করতে হবে। অনেক ক্ষেত্রে প্রশ্নে সংকেতগুলির এই সীমাবদ্ধতা নেই।

একটি ক্রম যা পৃথক রূপান্তর প্রয়োগের জন্য আকারের মানদণ্ড পূরণ করে না একটি "উইন্ডো" ফাংশন ভি দ্বারা গুণিত করা যেতে পারে, নিয়ন্ত্রিত প্যারামিটারে ক্রমের আচরণটি নির্ধারণ করে।

এক্স. ভি

বর্ণালীটির প্রস্থটি উইন্ডোটির প্রস্থের উপর নির্ভর করবে। উইন্ডোটির প্রস্থ যত বাড়বে, গণনাকৃত রূপান্তর সংকীর্ণ হবে।

অ্যাপ্লিকেশন

মৌলিক সমাধান গণনা

পৃথক ক্রিয়াকলাপগুলির অধ্যয়নের জন্য ডিস্ট্রিট ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম একটি শক্তিশালী সরঞ্জাম।

বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তর একটি অবিচ্ছিন্ন ভেরিয়েবল ফাংশনকে একটি পৃথক ভেরিয়েবল রূপান্তর করে।

তাপ সমীকরণের জন্য কচী সমস্যাটি বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তরটির ঘন ঘন ক্ষেত্রটি উপস্থাপন করে । তাপ বা ডিরিচলেট কোরের মূল ফাংশন যেখানে উত্পন্ন হয়, এটি একটি সংজ্ঞায়িত প্যারামিটারে স্যাম্পলিংয়ের মানগুলিতে প্রযোজ্য।

সিগন্যাল তত্ত্ব

এই শাখায় বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তর প্রয়োগের সাধারণ কারণটি মূলত আরও সহজেই চিকিত্সাযোগ্য সংকেতের অসীম সুপারপজিশন হিসাবে একটি সংকেতের বৈশিষ্ট্যগত পচনের কারণে।

এটি একটি শব্দ তরঙ্গ বা একটি তড়িৎ চৌম্বকীয় তরঙ্গ হতে পারে, স্বতন্ত্র ফুরিয়ার রূপান্তর এটি সহজ তরঙ্গের একটি সুপারপজিশনে প্রকাশ করে। বৈদ্যুতিক প্রকৌশল ক্ষেত্রে এই উপস্থাপনাটি বেশ ঘন ঘন হয়।

ফুরিয়ার সিরিজ

এগুলি কোসাইন এবং সাইনগুলির ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত সিরিজ। তারা সাধারণ পর্যায়ক্রমিক ফাংশন সহ কাজের সুবিধার্থে পরিবেশন করে। প্রয়োগ করা হলে এগুলি সাধারণ এবং আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করার কৌশলগুলির একটি অংশ।

টুরির সিরিজের চেয়ে ফুরিয়ার সিরিজগুলি আরও সাধারণ, কারণ তারা পর্যায়ক্রমিক বিরামহীন ফাংশনগুলি বিকাশ করে যেগুলিতে টেলর সিরিজের প্রতিনিধিত্ব নেই।

ফুরিয়ার সিরিজের অন্যান্য রূপ

ফুরিয়ার রূপান্তরকে বিশ্লেষণাত্মকভাবে বোঝার জন্য, ফুরিয়ার সিরিজটি অন্যান্য উপায়গুলির সাথে পর্যালোচনা করা গুরুত্বপূর্ণ, যতক্ষণ না আমরা ফিউরির সিরিজটিকে তার জটিল স্বরলিপিটিতে সংজ্ঞায়িত করতে পারি না।

2 পিরিয়ডের কার্যক্রমে ফুরিয়ার সিরিজ:

বিরতি বিবেচনা করা হয়, যা কার্যকারিতাগুলির প্রতিসাম্য বৈশিষ্ট্যের সুযোগ গ্রহণের সময় সুবিধা দেয়।

যদি f সমান হয় তবে ফুরিয়ার সিরিজটি কোজিনের একটি সিরিজ হিসাবে প্রতিষ্ঠিত।

যদি এফটি বিজোড় হয় তবে ফুরিয়ার সিরিজটি সাইনসের একটি সিরিজ হিসাবে প্রতিষ্ঠিত হয়।

- ফুওরি সিরিজের কমপ্লেক্স স্বরলিপি

যদি আমাদের একটি ফাংশন থাকে f (টি), যা ফুরিয়ার সিরিজের সমস্ত প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে, তার জটিল স্বরলিপি ব্যবহার করে বিরতিতে এটি বোঝানো সম্ভব:

উদাহরণ

মৌলিক সমাধানের গণনা সম্পর্কে, নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি উপস্থাপন করা হয়েছে:

অন্যদিকে, নিম্নলিখিতটি সিগন্যাল তত্ত্বের ক্ষেত্রে পৃথক ফুরিয়ার রূপান্তরকরণের প্রয়োগের উদাহরণ হিসাবে রয়েছে:

সিস্টেম শনাক্তকরণ সমস্যা। প্রতিষ্ঠিত চ এবং জি

-আউটপুট সিগন্যালের ধারাবাহিকতা সহ প্রবলেম

সিগন্যাল ফিল্টারিং সঙ্গে সমস্যা

অনুশীলন

অনুশীলনী 1

নিম্নলিখিত অনুক্রমের জন্য স্বতন্ত্র ফুরিয়ার রূপান্তর গণনা করুন।

আপনি এক্স এর পিটিওকে এটি সংজ্ঞায়িত করতে পারেন:

এক্স _টি = {4, -জে 2, 0, জে 2} কে = 0, 1, 2, 3 এর জন্য

অনুশীলন 2

আমরা ভুতুড়ে সংকেত অভিব্যক্তি এক্স (টি) দ্বারা সংজ্ঞায়িত = ই নির্ধারণ করতে চান ^-t একটি ডিজিটাল অ্যালগরিদম মাধ্যমে । সহগের জন্য সর্বাধিক ফ্রিকোয়েন্সি হ'ল f _m = 1Hz। একটি সুরেলা f = 0.3 Hz এর সাথে সম্পর্কিত The ত্রুটিটি 5% এরও কম সীমাবদ্ধ। F _s, D এবং N গণনা করুন

স্যাম্পলিং উপপাদক f _s = 2f _m = 2 Hz বিবেচনা করা

F ₀ = 0.1 Hz এর একটি ফ্রিকোয়েন্সি রেজোলিউশন চয়ন করা হয়, যা থেকে আমরা ডি = 1 / 0.1 = 10 এস পাই

0.3 হার্জ হ'ল ইনডেক্স k = 3 এর সাথে সম্পর্কিত ফ্রিকোয়েন্সি, যেখানে এন = 3 × 8 = 24 নমুনা। ইঙ্গিত করে যে এফ _এস = এন / ডি = 24/10 = 2.4> 2

যেহেতু লক্ষ্য হ'ল এন এর জন্য সর্বনিম্ন সম্ভাব্য মান পাওয়া যায়, নীচের মানগুলি সমাধান হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে:

f ₀ = 0.3 Hz

ডি = 1 / 0.3 = 3.33 এস

কে = 1

এন = 1 × 8 = 8

তথ্যসূত্র

1. এক, দু'একটি বা বেশ কয়েকটি মাত্রায় ডিসক্রেট ফিউরিয়ার ট্রান্সফর্মে দক্ষতা অর্জন: ক্ষতি এবং শিল্পকলাগুলি। আইজ্যাক অ্যামিডের। স্প্রিঞ্জার সায়েন্স অ্যান্ড বিজনেস মিডিয়া, জুলাই ১৯। 2013
2. ডিএফটি: ডিস্ক্রিট ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের জন্য মালিকদের ম্যানুয়াল। উইলিয়াম এল ব্রিগস, ভ্যান এমডেন হেনসন। সিয়াম, ২ জানুয়ারী। উনিশশ পঁচানব্বই
3. ডিজিটাল সিগন্যাল প্রসেসিং: তত্ত্ব এবং অনুশীলন। ডি.সুন্দরারাজন। ওয়ার্ল্ড সায়েন্টিফিক, 2003
4. সংকেত বিশ্লেষণ এবং উপস্থাপনের জন্য রূপান্তর এবং দ্রুত অ্যালগরিদম। গুয়ান দ্বি, ইয়ংহং জেং। স্প্রিঞ্জার সায়েন্স অ্যান্ড বিজনেস মিডিয়া, Dec ডিসেম্বর। 2012
5. স্বতন্ত্র এবং অবিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তর: বিশ্লেষণ, অ্যাপ্লিকেশন এবং দ্রুত অ্যালগরিদম। এলেনোর চু। সিআরসি প্রেস, ১৯ মার্চ। ২০০৮