স্কেলিন ট্র্যাপিজয়েড: বৈশিষ্ট্য, সূত্র এবং সমীকরণ, উদাহরণ - গণিতশাস্ত্র - 2025

একজন অসমভুজ ট্র্যাপিজয়েড চার পক্ষ, কোন দুই একে অপরের সমান্তরাল, এবং বিভিন্ন ব্যবস্থা তার চার অভ্যন্তর কোণ সঙ্গে সঙ্গে একটি বহুভুজ হয়।

চতুর্ভুজ ABCD নীচে প্রদর্শিত হবে, যেখানে পাশের AB এবং DC একে অপরের সাথে সমান্তরাল। এটি ট্র্যাপিজয়েড হওয়ার জন্য যথেষ্ট, তবে অভ্যন্তরের কোণগুলি α, β, γ এবং all সবই আলাদা, তাই ট্র্যাপিজয়েড স্কেলেন।

চিত্র 1. চতুর্ভুজ ABCD শর্ত 1 দ্বারা trapezoid এবং শর্ত অনুযায়ী স্কেলেন 2. উত্স: এফ। জাপাটা।

স্কেলেন ট্র্যাপিজিয়ামের উপাদানগুলি

এখানে সর্বাধিক বৈশিষ্ট্যযুক্ত উপাদান রয়েছে:

-ব্যাসগুলি এবং পক্ষগুলি: ট্র্যাপিজয়েডের সমান্তরাল দিকগুলি এর ঘাঁটি এবং দুটি অ-সমান্তরাল বাহুগুলির পার্শ্ব।

স্কেলেন ট্র্যাপিজয়েডে বেসগুলি বিভিন্ন দৈর্ঘ্যের এবং পাশের দিকগুলিরও হয়। তবে স্কেলেন ট্র্যাপিজয়েডের বেসের দৈর্ঘ্যে পার্শ্ব সমান থাকতে পারে।

-মিডিয়ান: এই বিভাগটি যা পার্শ্বীয়গুলির মধ্য পয়েন্টগুলিতে যোগদান করে।

- ডায়াগোনালস: ট্র্যাপিজয়েডের তির্যকটি হল সেই বিভাগটি যা দুটি বিপরীত শীর্ষে যুক্ত হয়। ট্র্যাপিজয়েড, প্রতিটি চতুর্ভুজের মতো দুটি তির্যক রয়েছে। স্কেলেন ট্র্যাপিজয়েডে এগুলির দৈর্ঘ্য বিভিন্ন।

অন্যান্য ট্র্যাপিজয়েড

স্কেলেন ট্র্যাপিজয়েড ছাড়াও অন্যান্য বিশেষ ট্র্যাপিজয়েড রয়েছে: ডান ট্র্যাপিজয়েড এবং আইসোসিলস ট্র্যাপিজয়েড।

ট্র্যাপিজয়েডটি একটি আয়তক্ষেত্র হয় যখন এর কোণগুলির একটি কোণ সঠিক হয় এবং একটি আইসোসিল ট্র্যাপিজয়েডের সমান দৈর্ঘ্যের দিক থাকে।

ট্র্যাপিজয়েডাল আকারের নকশা এবং শিল্প পর্যায়ে অসংখ্য অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে যেমন বিমানের উইংসের কনফিগারেশন, টেবিল, চেয়ার ব্যাক, প্যাকেজিং, পার্স, টেক্সটাইল প্রিন্ট এবং আরও কিছু হিসাবে প্রতিদিনের জিনিসগুলির আকার।

চিত্র 2. ট্র্যাপিজয়েডাল আকারটি বিমানের উইং কনফিগারেশনে সাধারণ। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

সম্পত্তি

স্কেলেন ট্র্যাপিজয়েডের বৈশিষ্ট্যগুলি নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে, যার মধ্যে অনেকগুলি অন্যান্য ধরণের ট্র্যাপিজয়েড পর্যন্ত প্রসারিত। এরপরে, যখন "ট্র্যাপিজয়েড" কথা বলা হয়, সম্পত্তি স্কেলেন সহ যে কোনও প্রকারে প্রযোজ্য হবে।

১. ট্র্যাপিজয়েডের মিডিয়ান, অর্থাত্ যে অংশটি তার অ সমান্তরাল দিকগুলির মিডপয়েন্টগুলিতে মিলিত হয়, এটি যে কোনও বেসের সাথে সমান্তরাল।

২.- ট্র্যাপিজয়েডের মাঝারিটির দৈর্ঘ্য এটির ঘাঁটিগুলির সেমিসাম এবং মধ্যপয়েন্টে এর কর্ণগুলি কেটে দেয়।

৩.- ট্র্যাপিজয়েডের কর্ণগুলি একটি বিন্দুতে ছেদ করে যা তাদের দুটি ভাগে বিভক্ত করে যেগুলি বেসগুলির ভাগফলের সাথে সমানুপাতিক।

৪.- ট্র্যাপিজয়েডের ত্রিভুজগুলির বর্গক্ষেত্রের যোগফল এর পক্ষের বর্গাকার যোগফল এবং তার ঘাঁটির দ্বিগুণ পণ্যের সমান equal

৫.- যে বিভাগটি ত্রিভুজের মিডপয়েন্টগুলিতে যোগ দেয় সেগুলির দৈর্ঘ্য বেসগুলির অর্ধ-পার্থক্যের সমান।

-.- পার্শ্বীয় পাশের কোণগুলি পরিপূরক হয়।

-.- স্কেলেন ট্র্যাপিজয়েডে এর তির্যকের দৈর্ঘ্য আলাদা are

৮-- ট্র্যাপিজয়েডের কেবল তখনই একটি লিখিত পরিধি থাকে যদি এর ঘাঁটির যোগফল তার পাশের সমানের সমান হয়।

৯.- যদি ট্র্যাপিজয়েডের একটি শিলালিপি পরিধি থাকে, তবে উল্লিখিত পরিধিটির মাঝের অংশে ভার্টেক্স সহ কোণগুলি এবং ট্র্যাপিজয়েডের পাশের প্রান্তের মধ্য দিয়ে যাওয়া দিকগুলি সোজা হয় is

10.- একটি স্কেলেন ট্র্যাপিজয়েডের একটি সংক্ষিপ্ত পরিধি থাকে না, একমাত্র ধরণের ট্র্যাপিজয়েড যা আইসোসিল হয়।

সূত্র এবং সমীকরণ

স্কেলেন ট্র্যাপিজয়েডের নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি নিম্নলিখিত চিত্রটিতে উল্লেখ করা হয়।

1.- যদি AE = ED এবং BF = FC → EF - AB এবং EF - DC থাকে।

2.- EF = (এবি + ডিসি) / 2 যা: এম = (এ + সি) / 2।

3. দ্বি = আইবি = ঘ ₁ /2 এবং এজি = জিসি = ঘ ₂ /2।

৪.- ডিজে / জেবি = (সি / এ) একইভাবে সিজে / জেএ = (সি / এ)।

চিত্র 3. একটি স্কেলেন ট্র্যাপিজয়েডের মাঝারি এবং তির্যক। সূত্র: এফ.জাপাটা।

5.- ডিবি ² + এসি ² = এডি ² + বিসি ² + 2 এবি ∙ ডিসি

সমতুল্য:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- জিআই = (এবি - ডিসি) / 2

ঐটাই বলতে হবে:

এন = (এ - সি) / 2

7.- α + δ = 180⁰ এবং β + γ = 180⁰ ⁰

8.- যদি α ≠ β ≠ γ ≠ δ হয় তবে ডি 1 ≠ ডি 2।

9.- চিত্র 4 একটি স্কেলেন ট্র্যাপিজয়েড দেখায় যার একটি শিলালিপি পরিধি রয়েছে, এক্ষেত্রে এটি সত্য যে:

a + c = d + b

10.- কেন্দ্র O এর একটি লিখিত পরিধি সহ একটি স্কেলেন ট্র্যাপিজয়েড এবিসিডি-তে, নিম্নলিখিতগুলিও সত্য:

ODএড = OCবোক = 90⁰ ⁰

চিত্র ৪. যদি ট্র্যাপিজয়েডে এটি যাচাই করা হয় যে এর ঘাঁটির যোগফলগুলি পার্শ্বের যোগফলের সমান হয়, তবে এটিতে পরিবেশন করা আছে। সূত্র: এফ.জাপাটা।

উচ্চতা

ট্র্যাপিজয়েডের উচ্চতাটি সেগমেন্ট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা বেসের বিন্দু থেকে লম্বালম্বিভাবে বিপরীত বেসে (বা এর সম্প্রসারণ) যায়।

ট্র্যাপিজয়েডের সমস্ত উচ্চতায় একই পরিমাপ এইচ থাকে, তাই বেশিরভাগ সময় উচ্চতা শব্দটি তার পরিমাপকে বোঝায়। সংক্ষেপে, উচ্চতা বেসগুলির মধ্যে দূরত্ব বা বিভাজন।

উচ্চতা এইচটি এক পাশের দৈর্ঘ্য এবং পাশের সংলগ্ন কোণগুলির একটির দ্বারা নির্ধারণ করা যেতে পারে:

h = d সেন (α) = d সেন (γ) = বি সেন (β) = বি সেন (δ)

মধ্যমা

ট্র্যাপিজয়েডের মিডিয়েনের পরিমাপ মি হ'ল বেসগুলির অর্ধ-যোগফল:

মি = (এ + বি) / 2

ডায়াগোনালস

d ₁ = √

d ₂ = √

ট্র্যাপিজয়েডের উভয় দিকের দৈর্ঘ্য জানা থাকলে এটিও গণনা করা যেতে পারে:

d ₁ = √

d ₂ = √

পরিধি

পরিধিটি কনট্যুরের মোট দৈর্ঘ্য, অর্থাৎ এর সমস্ত পক্ষের যোগফল:

পি = এ + বি + সি + ডি

ক্ষেত্রফল

ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফলটি এর ঘাঁটির উচ্চতা দ্বারা গুণিত অংশের semisum হয়:

এ = এইচ ∙ (এ + বি) / ২

এটি মিডিয়েন মিটি জানা থাকলে এবং উচ্চতা এইচ: গণনা করা যেতে পারে

এ = মি ∙ এইচ

কেবলমাত্র ট্র্যাপিজয়েডের পক্ষের দৈর্ঘ্য জানা থাকলে, ট্র্যাপিজয়েডের জন্য হেরনের সূত্র ব্যবহার করে অঞ্চলটি নির্ধারণ করা যেতে পারে:

এ = ∙ √

S যেখানে সেমিপ্রিমিটার: s = (a + b + c + d) / 2।

স্কেলেন ট্র্যাপিজিয়ামের জন্য অন্যান্য অনুপাত

তির্যকগুলির সাথে মধ্যকের ছেদ এবং ত্রিভুজগুলির ছেদটি দিয়ে যে সমান্তরাল হয় তা অন্যান্য সম্পর্কের জন্ম দেয়।

চিত্র 5. স্কেলেন ট্র্যাপিজিয়ামের জন্য অন্যান্য সম্পর্ক। সূত্র: এফ.জাপাটা।

মিডিয়ান ইএফ এর সাথে সম্পর্কিত

EF = (a + c) / 2; ইজি = আইএফ = সি / 2; EI = জিএফ = এ / 2

-বেসগুলি সমান্তরালভাবে সেগমেন্টের জন্য সম্পর্কগুলি কেএল, এবং ত্রিভুজগুলির ছেদ বিন্দু জেতে পার হয়ে

যদি কেএল - এবি - ডিসি J ∈ KL সহ হয়, তবে কেজে = জেএল = (একটি ∙ সি) / (এ + সি)

রুলার এবং কম্পাস দিয়ে স্কেলেন ট্র্যাপিজয়েড নির্মাণ

দৈর্ঘ্যের a এবং c এর দৈর্ঘ্যের ভিত্তি দেওয়া হয়েছে, যেখানে b> d এর দৈর্ঘ্যের দিকের একটি সাই, যেখানে b> d, এই পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করে এগিয়ে যান (চিত্র দেখুন 6):

1.- নিয়মের সাথে মেজর এবি এর অংশটি টানা হয়।

২.- এ সে থেকে এবং এবি মার্ক পয়েন্ট পি তে যাতে এপি = সি।

3.- পি এবং ব্যাসার্ধ ডি কেন্দ্রের সাথে কম্পাসের সাথে একটি চাপ তৈরি করা হয়।

৪.- একটি কেন্দ্র বি তে ব্যাসার্ধ বি দিয়ে তৈরি করা হয়, একটি চাপ তৈরি করা হয় যা পূর্বের ধাপে আঁকানো চাপকে বাধা দেয়। আমরা Q কে ছেদ বিন্দু বলি।

চিত্র its. এর পাশ দিয়ে স্কেলেন ট্র্যাপিজয়েড নির্মাণ। সূত্র: এফ.জাপাটা।

৫.- এ কেন্দ্রের সাথে, ব্যাসার্ধের একটি চাপ তৈরি করুন d।

-.- কিউ কেন্দ্রের সাথে, ব্যাসার্ধ সি এর একটি চাপ আঁকুন যা পূর্ববর্তী ধাপে আঁকানো চাপকে বাধা দেয়। কাট-অফ পয়েন্টটিকে আর বলা হবে।

7.- বিভাগগুলির বিকিউ, কিউআর এবং আরএটি শাসকের সাথে আঁকা।

৮.- চতুর্ভুজীয় এবিকিউআর একটি স্কেলেন ট্র্যাপিজয়েড, যেহেতু এপিকিউআর একটি সমান্তরাল, যা এ বি - কিউআর গ্যারান্টি দেয়।

উদাহরণ

নিম্নলিখিত দৈর্ঘ্যটি সেমি: 7, 3, 4 এবং 6 এ দেওয়া হয়।

ক) তাদের সাথে স্কেলিন ট্র্যাপিজয়েড তৈরি করা সম্ভব হয়েছে যা একটি বৃত্তকে ছত্রভঙ্গ করতে পারে তা নির্ধারণ করুন।

খ) পরিধি, ক্ষেত্রফল, ত্রিভঙ্গগুলির দৈর্ঘ্য এবং উক্ত ট্র্যাপিজয়েডের উচ্চতা, পাশাপাশি খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ সন্ধান করুন।

- সমাধান

7 এবং 3 দৈর্ঘ্যের অংশগুলিকে ঘাঁটি হিসাবে এবং 4 এবং 6 দৈর্ঘ্যের অংশগুলি হিসাবে ব্যবহার করে, পূর্ববর্তী বিভাগে বর্ণিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করে স্কেলেন ট্র্যাপিজয়েড তৈরি করা যেতে পারে।

এটিতে কোনও শিলালিপি পরিধি আছে কিনা তা যাচাই করা যায়, তবে সম্পত্তিটি মনে করে (9):

আমরা কার্যকরভাবে এটি দেখতে:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

তাহলে লিখিত পরিধিটির অস্তিত্বের শর্তটি সন্তুষ্ট।

- সমাধান খ

পরিধি

পরিধি পি পাশগুলি যোগ করে প্রাপ্ত হয়। যেহেতু বেসগুলি 10 পর্যন্ত এবং পাশেরগুলিও যোগ করে, পরিধিটি হ'ল:

পি = 20 সেমি

ক্ষেত্রফল

অঞ্চলটি নির্ধারণ করতে, কেবল তার পক্ষগুলি হিসাবে পরিচিত, সম্পর্কটি প্রয়োগ করা হয়:

এ = ∙ √

যেখানে সেমিপরিমিটার:

s = (a + b + c + d) / 2।

আমাদের ক্ষেত্রে, semiperimeter এর মূল্য s = 10 সেমি। সম্পর্কিত মান প্রতিস্থাপনের পরে:

a = 7 সেমি; খ = 6 সেমি; সি = 3 সেমি; d = 4 সেমি

অবশিষ্ট রয়েছে:

এ = √ = (5/2) =63 = 19.84 সেন্টিমিটার ²

উচ্চতা

উচ্চতা h নিম্নোক্ত প্রকাশের মাধ্যমে A এর সাথে সম্পর্কিত:

A = (a + c) ∙ h / 2, যেখান থেকে সাফ করে উচ্চতা পাওয়া যায়:

এইচ = 2 এ / (এ + সি) = 2 * 19.84 / 10 = 3.988 সেমি।

অঙ্কিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ

অঙ্কিত বৃত্তের ব্যাসার্ধের উচ্চতা অর্ধেকের সমান:

r = h / 2 = 1,984 সেমি

ডায়াগোনালস

পরিশেষে আমরা ত্রিভুজগুলির দৈর্ঘ্যটি খুঁজে পাই:

d ₁ = √

d ₂ = √

আমাদের কাছে থাকা মানগুলি যথাযথভাবে প্রতিস্থাপন করা:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

এটি হল: d ₁ = 4.69 সেমি এবং ডি ₂ = 8.49 সেমি

চিত্র 7. স্ক্যালেন ট্র্যাপিজয়েড যা একটি লিখিত পরিধির অস্তিত্বের শর্ত পূরণ করে। সূত্র: এফ.জাপাটা।

অনুশীলনের সমাধান হয়েছে

AB = a = 7, CD = c = 3 এবং পাশ্ববর্তী কোণগুলি BC = b = 6, DA = d = 4 এর সাথে ট্র্যাপিজয়েডের অভ্যন্তর কোণ নির্ধারণ করুন।

সমাধান

কোণ নির্ধারণের জন্য কোসাইন উপপাদ্য প্রয়োগ করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, কোণ ∠A = α AB = a = 7, BD = d2 = 8.49, এবং DA = d = 4 এর সাথে ত্রিভুজ ABD থেকে নির্ধারিত হয়।

এই ত্রিভুজটিতে প্রয়োগ করা কোসাইন উপপাদ্যটি দেখতে এরকম দেখাচ্ছে:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), এটি:

72 = 49 + 16-56 os কস (α)।

এর জন্য সমাধান করা, কোণ the এর কোসাইন পাওয়া যায়:

কস (α) = -1/8

এটি, α = আর্ককোস (-1/8) = 97.18⁰ ⁰

অন্যান্য কোণগুলি একইভাবে প্রাপ্ত হয়, তাদের মানগুলি:

β = 41.41⁰; γ = 138.59⁰ এবং অবশেষে δ = 82.82⁰ ⁰

তথ্যসূত্র

1. সিইএ (2003)। জ্যামিতি উপাদান: অনুশীলন এবং কম্পাস জ্যামিতির সাথে। মেডেলিন বিশ্ববিদ্যালয়।
2. ক্যাম্পোস, এফ।, সেরেসেডো, এফজে (2014)। গণিত ২. গ্রুপো সম্পাদকীয় পাত্রিয়া।
3. মুক্ত, কে। (2007) বহুভুজ আবিষ্কার করুন। বেঞ্চমার্ক শিক্ষা সংস্থা।
4. হেন্ডরিক, ভি। (2013)। সাধারণীকরণ বহুভুজ। বিরখুসার
5. আইজিইআর (SF)। গণিতের প্রথম সেমিস্টার টাকানা। আইজিইআর
6. জুনিয়র জ্যামিতি। (2014)। বহুভুজ। লুলু প্রেস, ইনক।
7. মিলার, হেরেন, এবং হর্ন্সবি। (2006)। গণিত: যুক্তি ও প্রয়োগ (দশম সংস্করণ)। পিয়ারসন শিক্ষা.
8. প্যাটিও, এম (2006)। গণিত 5 সম্পাদকীয় প্রোগ্রাম।
9. উইকিপিডিয়া। ট্র্যাপিজ পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: এস.ইউইকিভিডিয়া