আইসোসিলস ট্র্যাপিজয়েড: বৈশিষ্ট্য, সম্পর্ক এবং সূত্র, উদাহরণ - গণিতশাস্ত্র - 2025

একটি আইসোসিলস ট্র্যাপিজয়েড একটি চতুর্ভুজ যা উভয় পক্ষের একে অপরের সমান্তরাল এবং অতিরিক্তভাবে, এই সমান্তরাল পক্ষগুলির একটিতে সংলগ্ন দুটি কোণ একই পরিমাপ করে।

চিত্র 1-এ আমাদের চতুর্ভুজ ABCD রয়েছে, যার মধ্যে AD এবং BC এর সমান্তরাল হয়। অতিরিক্তভাবে, সমান্তরাল পার্শ্ব AD এর সাথে সংলগ্ন কোণ ∠DAB এবং ∠ADC একই পরিমাপ measure রয়েছে have

চিত্র 1. আইসোসিলস ট্র্যাপিজিয়াম। সূত্র: এফ.জাপাটা।

সুতরাং এই চতুর্ভুজটি বা চার দিকের বহুভুজ কার্যকরভাবে একটি আইসোসিল ট্র্যাপিজয়েড।

ট্র্যাপিজয়েডে সমান্তরাল পক্ষগুলিকে ঘাঁটি বলা হয় এবং অ সমান্তরাল পক্ষগুলিকে পার্শ্বীয় বলা হয়। আর একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হ'ল উচ্চতা, যা দূরত্ব যা সমান্তরাল দিকগুলি পৃথক করে।

আইসোসিলস ট্র্যাপিজয়েড ছাড়াও অন্যান্য ধরণের ট্র্যাপিজয়েড রয়েছে:

-টি রাইপজয়েড স্কেলেন, যার সমস্ত কোণ এবং বিভিন্ন দিক রয়েছে।

আয়তক্ষেত্রাকার ধর্ষণ, যার একপাশে ডান সংলগ্ন কোণ রয়েছে।

ট্র্যাপিজয়েডাল আকৃতি ডিজাইন, আর্কিটেকচার, ইলেকট্রনিক্স, গণনা এবং আরও অনেক ক্ষেত্রে সাধারণ, যা পরে দেখা যাবে। সুতরাং এর বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে পরিচিত হওয়ার গুরুত্ব।

সম্পত্তি

আইসোসিলস ট্র্যাপিজয়েডের সাথে একচেটিয়া

যদি ট্র্যাপিজয়েড আইসোসিল হয় তবে এর নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যযুক্ত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

1.- পক্ষগুলির একই পরিমাপ রয়েছে।

২- বেসগুলি সংলগ্ন কোণ সমান are

3.- বিপরীত কোণ পরিপূরক হয়।

৪- ত্রিভুজগুলির দৈর্ঘ্য একই, দুটি বিভাজন যা বিপরীত শীর্ষকে একইভাবে যুক্ত হয়।

5.- ঘাঁটি এবং ত্রিভুজগুলির মধ্যে গঠিত কোণগুলি একই পরিমাপের সমস্ত।

-.- এটির পরিবেষ্টিত পরিধি রয়েছে।

বিপরীতভাবে, যদি কোনও ট্র্যাপিজয়েড উপরের বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে পূরণ করে তবে এটি একটি আইসোসিল ট্র্যাপিজয়েড।

আইসোসিলস ট্র্যাপিজয়েডে যদি কোণগুলির একটি সঠিক হয় (90º), তবে অন্য সমস্ত কোণগুলিও ঠিক সমান হবে, একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করে। অর্থাৎ, একটি আয়তক্ষেত্র একটি আইসোসিল ট্র্যাপিজয়েডের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।

চিত্র 2. পপকর্ন ধারক এবং স্কুল টেবিলগুলি একটি আইসোসিল ট্র্যাপিজয়েডের মতো আকারযুক্ত। উত্স: পিক্সফুয়েল (বাম) / ফ্লিকারের মাধ্যমে ম্যাকডোয়েল ক্রেগ। (ডান)

সমস্ত trapeze জন্য

নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যের সেটটি কোনও ট্র্যাপিজয়েডের জন্য বৈধ:

-.- ট্র্যাপিজয়েডের মিডিয়ান, অর্থাত্ যে অংশটি তার অ সমান্তরাল দিকগুলির মিডপয়েন্টগুলিতে মিলিত হয়, এটি কোনও বেসের সমান্তরাল।

৮.- মধ্যকের দৈর্ঘ্যটি তার ঘাঁটির তুলনায় সেমিসামের সমান (2 দিয়ে বিয়োগফল)

9.- ট্র্যাপিজয়েডের মাঝারিটি মধ্য বিন্দুতে এর কর্ণগুলি কেটে দেয়।

১০- ট্র্যাপিজয়েডের ত্রিভুজগুলি একটি বিন্দুতে ছেদ করে যেগুলি তাদের ঘাঁটির কোটাটিয়ারের সমানুপাতিক দুটি বিভাগে বিভক্ত করে।

১১- ট্র্যাপিজয়েডের ত্রিভুজগুলির বর্গাকার যোগফল এর পক্ষের বর্গাকার যোগফল এবং তার ঘাঁটির দ্বিগুণ পণ্যের সমান।

12.- যে বিভাগটি ত্রিভুজের মিডপয়েন্টগুলিতে যোগ দেয় সেগুলির দৈর্ঘ্য বেসগুলির আধা-পার্থক্যের সমান।

13.- পাশ সংলগ্ন কোণ পরিপূরক হয়।

14.- একটি ট্র্যাপিজয়েডের একটি শিলালিপি পরিধি থাকে এবং কেবল যদি এর ঘাঁটির যোগফল তার পক্ষের যোগফলের সমান হয়।

15.- যদি ট্র্যাপিজয়েডের একটি লিখিত পরিধি থাকে তবে উল্লিখিত পরিধিটির কেন্দ্রে একটি শীর্ষবিন্দুযুক্ত কোণ এবং একই পাশের প্রান্তগুলি দিয়ে যে দিকগুলি অতিক্রম করে সেগুলি সমকোণ হয়।

সম্পর্ক এবং সূত্র

নীচের সম্পর্ক এবং সূত্রগুলির সেটটি চিত্র 3 এ উল্লেখ করা হয়েছে, যেখানে ইতিমধ্যে উল্লিখিত আইসোসিল ট্র্যাপিজয়েড ছাড়াও অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ বিভাগ যেমন ত্রিভুজ, উচ্চতা এবং মধ্যম দেখানো হয়েছে।

চিত্র 3. একটি আইসোসিল ট্র্যাপিজয়েডের মাঝারি, ত্রিভুজ, উচ্চতা এবং সংক্ষিপ্ত পরিধি। সূত্র: এফ.জাপাটা।

আইসোসিলস ট্র্যাপিজিয়ামের অনন্য সম্পর্ক

1.- এবি = ডিসি = সি = ডি

2.- ABড্যাব = ∡সিডিএ এবং ∡এবিসি = ∡ বিবিডি

3.- ABড্যাব + ∡বিসিডি = 180º এবং ∡ সিডিএ + ∡এবিসি = 180º º

4.- বিডি = এসি

5.- ADক্যাড = ∡বিডিএ = ∡সিবিডি = ∡বিসিএ = α ₁

-.- এ, বি, সি এবং ডি সংক্ষিপ্ত বৃত্তের অন্তর্গত।

যে কোনও ট্র্যাপিজের জন্য সম্পর্ক

1. যদি একে = কেবি এবং ডিএল = এলসি ⇒ কেএল - এডি এবং কেএল - বিসি হয়

8.- কেএল = (এডি + বিসি) / 2

9.- এএম = এমসি = এসি / 2 এবং ডিএন = এনবি = ডিবি / 2

10.- এও / ওসি = এডি / বিসি এবং ডিও / ওবি = এডি / বিসি

11.- এসি ² + ডিবি ² = এবি ² + ডিসি ² + 2⋅AD⋅BC

12.- এমএন = (এডি - বিসি) / 2

13.- ABড্যাব + ∡এবিসি = 180º এবং ∡ সিডিএ + ∡বিসিডি = 180º º

14.- যদি AD + BC = AB + DC AD AD AD, BC, AB এবং DC এর তুলনামূলক তুলনায় R

15.- যদি AD, BC, AB এবং DC থেকে DC R সমতুল্য হয় তবে:

∡বিআরএ = Rডিআরসি = 90º º

লিখিত পরিধি সহ আইসোসিল ট্র্যাপিজিয়ামের জন্য সম্পর্ক

যদি কোনও আইসোসিল ট্র্যাপিজয়েডে ঘাঁটিগুলির যোগফল পার্শ্বীয়ের দ্বিগুণ হয়, তবে লিখিত পরিধিটি বিদ্যমান।

চিত্র 4. শিলালিপি পরিধি সঙ্গে ট্র্যাপিজয়েড। সূত্র: এফ.জাপাটা।

আইসোসিলস ট্র্যাপিজয়েডের একটি লিখিত পরিধি থাকলে নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি প্রয়োগ হয় (উপরের চিত্র 4 দেখুন):

16.- কেএল = এবি = ডিসি = (এডি + বিসি) / 2

17.- কর্ণগুলি ডান কোণে ছেদ করে: এসি AC বিডি

18.- উচ্চতা মধ্যম হিসাবে একই পরিমাপ করে: এইচএফ = কেএল, যা h = মি।

19.- উচ্চতার বর্গক্ষেত্র ঘাঁটিগুলির পণ্যের সমান: এইচ ² = বিসিএএডি

20.- এই নির্দিষ্ট অবস্থার অধীনে ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল উচ্চতার বর্গক্ষেত্র বা ঘাঁটির গুণমানের সমান: অঞ্চল = এইচ ² = বিসিএএডি।

এক পক্ষ নির্ধারণের জন্য সূত্রগুলি, অন্যগুলি এবং একটি কোণকে জেনে রাখা

একটি বেস, পার্শ্বীয় এবং একটি কোণ জেনে অন্য বেসটি দ্বারা নির্ধারণ করা যেতে পারে:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

যদি ভিত্তিগুলির দৈর্ঘ্য এবং একটি কোণ পরিচিত তথ্য হিসাবে দেওয়া হয়, তবে উভয় পক্ষের দৈর্ঘ্য হ'ল:

সি = (ক - খ) / (২ কস α)

অন্যদিকে এবং একটি তির্যক জেনে এক পক্ষ নির্ধারণ knowing

a = (d ₁ ² - c ²) / বি;

খ = (ডি ₁ ² - সি ²) / এ

সি = √ (ডি ₁ ² - এবিবি)

যেখানে d ₁ হল ত্রিভুজগুলির দৈর্ঘ্য।

উচ্চতা, ক্ষেত্র এবং অন্যান্য বেস থেকে বেস

a = (2 এ) / ঘন্টা - খ

খ = (২ এ) / ঘন্টা - এ

পার্শ্ব বেস, অঞ্চল এবং একটি কোণ হিসাবে পরিচিত

সি = (2 এ) /

পার্শ্ববর্তী মধ্যমা, অঞ্চল এবং কোণ হিসাবে পরিচিত

সি = এ / (এম পাপ α)

উভয় পক্ষের উচ্চতা পরিচিত

h =

উচ্চতা একটি কোণ এবং দুটি পক্ষের জ্ঞাত

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c পাপ

সমস্ত পক্ষ, বা দুটি পক্ষ এবং একটি কোণ হিসাবে পরিচিত

d ₁ = √ (সি ² + আব)

d ₁ = √ (একটি ² + সি ² - 2 এসি কোস α)

d ₁ = √ (খ ² + সি ² - 2 বিসি কোস β)

আইসোসিলস ত্রিভুজটির পরিধি

পি = এ + বি + ২ সি

আইসোসিলস ট্র্যাপিজিয়াম অঞ্চল

অঞ্চলটি গণনা করার জন্য বিভিন্ন সূত্র রয়েছে, যা জানা যায় তার উপর নির্ভর করে। নীচে বেস এবং উচ্চতার উপর নির্ভর করে সর্বাধিক পরিচিত:

এ = হ⋅ (এ + বি) / ২

এবং আপনি এই অন্যগুলি ব্যবহার করতে পারেন:

- পক্ষগুলি জানা থাকলে

এ = √

-তখন আপনার দুটি পক্ষ এবং একটি কোণ রয়েছে

A = (b + c Cos α) c সেন α = (a - c Cos α) c সেন α

-অথিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং একটি কোণ জানা থাকলে known

এ = 4 আর ² / সেন α = 4 আর ² / সেন β

-কখন ঘাঁটি এবং একটি কোণ জানা যায়

এ = a⋅b / সেন ⋅ = a⋅b / সেন β

-যদি ট্র্যাপিজয়েডকে একটি পরিধি তৈরি করা যেতে পারে

এ = সি⋅√ (a⋅b) = এম⋅√ (a⋅b) = r⋅ (এ + বি) / 2

-টি একে অপরের সাথে ত্রিভুজ এবং কোণটি জানুন

একটি = (ঘ ₁ ² /2) γ = সেন (ঘ ₁ ² /2) সেন δ

-তখন আপনি পাশ্বর্ীয়, মাঝারি এবং একটি কোণ রয়েছে

এ = এমসি.সেন α = এমসি.সেন β

সংক্ষিপ্ত বৃত্তের ব্যাসার্ধ

কেবল আইসোসিলস ট্র্যাপিজয়েডগুলির একটি সংক্ষিপ্ত পরিধি রয়েছে। যদি বৃহত্তর বেস a, পার্শ্বীয় সি এবং তির্যক d _{1 জানা} থাকে তবে ট্র্যাপিজয়েডের চারটি উল্লম্ব মধ্য দিয়ে প্রদত্ত বৃত্তের ব্যাসার্ধ R:

আর = a⋅c⋅d ₁ / 4√

যেখানে পি = (এ + সি + ডি ₁) / 2

আইসোসিলস ট্র্যাপিজয়েড ব্যবহারের উদাহরণ

আইসোসিলস ট্র্যাপিজয়েড ডিজাইনের ক্ষেত্রে প্রদর্শিত হয়েছে, চিত্র ২-এ দেখা গেছে এবং এখানে আরও কয়েকটি উদাহরণ দেওয়া হল:

আর্কিটেকচার এবং নির্মাণে

প্রাচীন ইনকারা আইসোসিলস ট্র্যাপিজয়েডকে জানত এবং পেরুতে এই উইন্ডোটিতে এটি একটি বিল্ডিং উপাদান হিসাবে ব্যবহার করেছিল:

চিত্র 5। কোরিকঞ্চার ট্র্যাপিজয়েডাল উইন্ডো, কুজকো। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

এবং এখানে ট্র্যাপিজয়েড আবার তথাকথিত ট্র্যাপিজয়েডাল শীটে উপস্থিত হয়, যা প্রায়শই নির্মাণে ব্যবহৃত হয়:

চিত্র 6. ট্র্যাপিজয়েডাল ধাতব শীট অস্থায়ীভাবে কোনও বিল্ডিংয়ের উইন্ডো রক্ষা করে। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

ডিজাইনে

আমরা ইতিমধ্যে দেখেছি যে আইসোসিলস ট্র্যাপিজয়েড প্রতিদিনের জিনিসগুলিতে প্রদর্শিত হয়, এই চকোলেট বারের মতো খাবারগুলি সহ:

চিত্র 7. চকোলেট বার যার মুখগুলি আইসোসিল ট্র্যাপিজয়েডের মতো আকারযুক্ত। সূত্র: পেক্সফুয়েল

সমাধান ব্যায়াম

- অনুশীলনী 1

একটি আইসোসিলস ট্র্যাপিজয়েডের বেস 9 সেন্টিমিটারের চেয়ে বেশি, একটি বেস 3 সেন্টিমিটারের কম এবং এর ত্রিভুজ প্রতিটি 8 সেন্টিমিটার থাকে। গণনা:

ক) সাইড

খ) উচ্চতা

গ) পরিধি

ঘ) ক্ষেত্রফল

চিত্র 8. অনুশীলনের জন্য পরিকল্পনা 1. সূত্র: এফ.জাপাটা

সমাধান

উচ্চতা সিপি = এইচ প্লট করা হয়েছে, যেখানে উচ্চতার পায়ে বিভাগগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

PD = x = (অব) / 2 y

এপি = এ - এক্স = এ - এ / ২ + বি / ২ = (এ + বি) / ২।

ডান ত্রিভুজ ডিপিসিতে পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি ব্যবহার করা:

গ ² = জ ² + + (ক - খ) ² /4

এবং ডান ত্রিভুজ এপিসিতে:

ঘ ² = জ ² + + পি ² = জ ² + + (একটি + খ) ² /4

পরিশেষে, সদস্য দ্বারা সদস্য বিয়োগ করা হয়, প্রথম থেকে দ্বিতীয় সমীকরণ এবং সরলীকৃত:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

সি ² = ডি ² - আব ⇒ সি = √ (ডি ² - আব) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6.08 সেমি

সমাধান খ

জ ² = D ² - (একটি + খ) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ²) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5.29 সেমি

সমাধান গ

পরিধি = এ + বি + ২ সি = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 সেমি

সমাধান d

ক্ষেত্রফল = ঘন্টা (এ + বি) / 2 = 5.29 (12) / 2 = 31.74 সেমি

- অনুশীলন 2

এখানে একটি আইসোসিল ট্র্যাপিজয়েড রয়েছে যার বৃহত্তর বেসটি দ্বিগুণ ছোট এবং এর ছোট বেস উচ্চতার সমান, যা 6 সেন্টিমিটার। সিদ্ধান্ত নিন:

ক) পার্শ্বীয় দৈর্ঘ্য

খ) পরিধি

গ) ক্ষেত্রফল

d) কোণ

চিত্র 8. অনুশীলনের জন্য স্কিম 2. উত্স: এফ.জাপাটা

সমাধান

ডেটা: a = 12, b = a / 2 = 6 এবং h = b = 6

আমরা নিম্নরূপে এগিয়ে চলি: আমরা উচ্চতা h আঁক এবং পাইপাগোরিয়ান উপপাদ্যটি অনুমিতি ত্রিভুজ «c» এবং পা এবং এইচ x এর সাথে প্রয়োগ করি:

সি ² = এইচ ² + এক্সসি ²

তারপরে আপনাকে ডেটা (এইচ = বি) এবং লেগের এক্স থেকে উচ্চতার মান গণনা করতে হবে:

a = b + 2 x ⇒ x = (অব) / 2

আমাদের পূর্ববর্তী প্রকাশগুলি প্রতিস্থাপন করা:

গ ² = খ ² + + (AB) ² /2 ²

এখন সংখ্যাসূচক মানগুলি চালু করা হয়েছে এবং এটি সরলীকৃত হয়েছে:

সি ² = 62+ (12-6) 2/4

সি ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

প্রাপ্তি:

সি = 3√5 = 6.71 সেমি

সমাধান খ

পরিধি P = a + b + 2 c

পি = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61.42 সেমি

সমাধান গ

ঘাঁটির উচ্চতা এবং দৈর্ঘ্যের ফাংশন হিসাবে অঞ্চলটি হ'ল:

এ = হ⋅ (এ + বি) / ২ = ⋅⋅ (12 + 6) / 2 = 54 সেমি ²

সমাধান d

বৃহত্তর বেস সহ পাশ্ববর্তী যে কোণটি ত্রিকোণমিতি দ্বারা প্রাপ্ত হয়:

ট্যান (α) = এইচ / এক্স = 6/3 = 2

α = আর্কট্যান (2) = 63.44º º

অন্য কোণ, যেটি ছোট বেসের সাথে পার্শ্ব গঠন করে তা হ'ল β, যা পরিপূরক α:

β = 180º - α = 180º - 63.44º = 116.56º º

তথ্যসূত্র

1. EA 2003. জ্যামিতির উপাদান: কম্পাসের ব্যায়াম এবং জ্যামিতির সাথে। মেডেলিন বিশ্ববিদ্যালয়।
2. ক্যাম্পোস, এফ। 2014. গণিত 2. গ্রুপো সম্পাদকীয় পাত্রিয়া।
3. ফ্রিড, কে। 2007. বহুভুজ আবিষ্কার করুন। বেঞ্চমার্ক শিক্ষা সংস্থা।
4. হেন্ডরিক, ভি। 2013. সাধারণীকরণ বহুভুজ। বিরখুসার
5. আইজিইআর গণিতের প্রথম সেমিস্টার টাকানা। আইজিইআর
6. জুনিয়র জ্যামিতি। 2014. বহুভুজ। লুলু প্রেস, ইনক।
7. মিলার, হেরেন, এবং হর্ন্সবি। 2006. গণিত: যুক্তি এবং অ্যাপ্লিকেশন। দশম। সংস্করণ। পিয়ারসন শিক্ষা.
8. প্যাটিও, এম। 2006. গণিত 5. সম্পাদকীয় প্রোগ্রাম।
9. উইকিপিডিয়া। ট্র্যাপিজ পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: এস.ইউইকিভিডিয়া