বিচ্ছিন্ন ত্রিভুজ: বৈশিষ্ট্য, সূত্র এবং ক্ষেত্র, গণনা - গণিতশাস্ত্র - 2025

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ তিন পক্ষের, যেখানে তাদের দুটি একই পরিমাপ এবং তৃতীয় পার্শ্ব একটি ভিন্ন পরিমাপ সঙ্গে একটি বহুভুজ হয়। এই শেষ দিকটিকে বেস বলা হয়। এই বৈশিষ্ট্যের কারণে এটি এই নাম দেওয়া হয়েছিল, গ্রীক ভাষায় যার অর্থ "সমান পা"

ত্রিভুজগুলি জ্যামিতির মধ্যে বহুলাংশ হিসাবে বিবেচিত, কারণ এগুলি তিনটি দিক, তিনটি কোণ এবং তিনটি কোণে গঠিত। এগুলি হ'ল অন্যান্য বহুভুজের ক্ষেত্রে শ্রদ্ধার সাথে ন্যূনতম দিক এবং কোণ রয়েছে তবে তাদের ব্যবহার খুব বিস্তৃত।

আইসোসিল ত্রিভুজগুলির বৈশিষ্ট্য

আইসোসিলস ত্রিভুজটি তার পার্শ্বের পরিমাপকে প্যারামিটার হিসাবে ব্যবহার করে শ্রেণিবদ্ধ করা হয়েছিল, যেহেতু এর দুটি পক্ষই একত্রে (তাদের দৈর্ঘ্য একই)।

অভ্যন্তর কোণগুলির প্রশস্ততার উপর ভিত্তি করে, সমকোষ ত্রিভুজগুলি এই হিসাবে শ্রেণিবদ্ধ করা হয়েছে:

• আইসোসেলস ডান ত্রিভুজ: এর দুটি দিক সমান। এক কোণে সোজা (90 হয় ^বা) এবং অন্যদের হয় একই (45 ^বা প্রতিটি)
• বিচ্ছিন্ন ত্রিভুজ বিচ্ছিন্ন: এর দুটি দিক সমান। কোণগুলির একটি হ'ল অবটুস (> 90 ^বা)।
• আইসোসেলস তীব্র ত্রিভুজ: এর দুটি দিক সমান। সমস্ত কোণ তীব্র (<90 ^বা) যেখানে উভয়েরই পরিমাপ একই।

উপাদান

• মিডিয়ান: এটি এমন একটি লাইন যা এক পাশের মধ্যবিন্দু থেকে শুরু হয়ে বিপরীত শীর্ষে পৌঁছায়। তিনটি মধ্যমাধ্যক্ষের মিলিত হয় বারেয়েনস্টার বা সেন্ট্রয়েড নামক একটি বিন্দুতে।
• দ্বিখণ্ডক: এটি একটি রশ্মি যা প্রতিটি প্রান্তের কোণকে সমান পরিমাপের দুটি কোণে বিভক্ত করে। এ কারণেই এটি প্রতিসাম্যের অক্ষ হিসাবে পরিচিত এবং এই ধরণের ত্রিভুজগুলির একটি মাত্র রয়েছে।
• দ্বিখণ্ডক: এটি ত্রিভুজের পাশের লম্ব অংশ, এটির মাঝখানে এটির উত্স রয়েছে। একটি ত্রিভুজটিতে তিনটি চিকিত্সা রয়েছে এবং তারা সংঘবদ্ধ নামক স্থানে মিলিত হয়।
• উচ্চতা: এটি এমন রেখাটি যা শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত দিকে চলে যায় এবং এই লাইনটি side পাশের লম্ব হয়। সমস্ত ত্রিভুজগুলির তিনটি উচ্চতা রয়েছে, যা অর্থোসেন্টার নামক একটি বিন্দুতে মিলে যায়।

সম্পত্তি

আইসোসেলস ত্রিভুজগুলি সংজ্ঞায়িত বা চিহ্নিত করা হয়েছে কারণ তাদের বেশ কয়েকটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা তাদের প্রতিনিধিত্ব করে, দুর্দান্ত গণিতবিদদের দ্বারা প্রস্তাবিত তাত্ত্বিক উত্সগুলি থেকে:

অভ্যন্তরীণ কোণ

অভ্যন্তর কোণের সমষ্টি সবসময় 180 সমান ^° ।

পক্ষের যোগফল

দুই পক্ষের পরিমাপের যোগফল সর্বদা তৃতীয় পক্ষের পরিমাপের চেয়ে বড় হতে হবে, a + b> সি c

সম্মিলিত পক্ষ

আইসোসিলস ত্রিভুজগুলির একই পরিমাপ বা দৈর্ঘ্যের দুটি দিক রয়েছে; অর্থাৎ, তারা একত্রিত হয় এবং তৃতীয় দিকটি এগুলির থেকে পৃথক।

একত্রিত কোণ

আইসোসেলস ত্রিভুজগুলি আইসোঙ্গেল ত্রিভুজ হিসাবেও পরিচিত, কারণ তাদের দুটি কোণ রয়েছে যা একই পরিমাপের (একত্রিত) হয়। এগুলি একই দৈর্ঘ্যের পক্ষগুলির বিপরীতে ত্রিভুজের গোড়ায় অবস্থিত।

এই কারণে, উপপাদ্য উত্পন্ন হয়েছিল যে বলে যে:

"যদি ত্রিভুজের দুটি সম্মিলিত দিক থাকে তবে সেই দিকগুলির বিপরীত কোণগুলিও একত্রিত হবে।" সুতরাং, একটি ত্রিভুজ যদি এর বেসগুলির কোণগুলি বিচ্ছিন্ন করে থাকে।

উদাহরণ:

নিম্নলিখিত চিত্রটি একটি ত্রিভুজ এবিসি দেখায়। কোণ বি এর প্রান্তবিন্দু থেকে এর দ্বিখণ্ডক অঙ্কন করে ত্রিভুজটি দুটি সমান ত্রিভুজ বিডিএ এবং বিডিসিতে বিভক্ত:

এইভাবে ভার্টেক্স বি এর কোণটি দুটি সমান কোণে বিভক্ত হয়েছিল। দ্বিখণ্ডক এখন সেই দুটি নতুন ত্রিভুজগুলির মধ্যে সাধারণ দিক (বিডি), অন্যদিকে এবি এবং বিসি সম্মিলিত পক্ষ are সুতরাং আমরা পাশ, কোণ, পাশ (LAL) একত্রিত করার ক্ষেত্রে আছে।

এটি দেখায় যে এ এবং সি এর উল্লম্বের কোণগুলির সমান পরিমাপ রয়েছে, পাশাপাশি এটিও দেখানো যেতে পারে যেহেতু ত্রিভুজগুলি বিডিএ এবং বিডিসি একত্রিত, তাই এডি এবং ডিসি পক্ষগুলিও একত্রিত।

উচ্চতা, মধ্যমা, দ্বিখণ্ডক এবং দ্বিখণ্ডক কাকতালীয়

আইসোসিলস ত্রিভুজের বেসের মধ্যবর্তী বিন্দুতে শীর্ষবিন্দু থেকে টানা রেখাটি একই সময়ে উচ্চতা, মধ্যক এবং দ্বিখণ্ডক, পাশাপাশি বেসের বিপরীত কোণের সাথে দ্বিখণ্ডকের হয়।

এই সমস্ত বিভাগগুলি তাদের প্রতিনিধিত্ব করে এমন একের সাথে মিলে যায়।

উদাহরণ:

নিম্নলিখিত চিত্রটি মিডপয়েন্ট এম এর সাথে ত্রিভুজটি এবিসি দেখায় যা বেসকে বিভক্ত এবং প্রধানমন্ত্রীর দুটি বিভাগে ভাগ করে দেয়।

বিন্দু M থেকে বিপরীত প্রান্তে একটি বিভাগ অঙ্কন করে, সংজ্ঞা অনুসারে মিডিয়ান এএম প্রাপ্ত হয়, যা প্রান্তিক এ এবং পাশের বিসি এর সাথে সম্পর্কিত।

যেহেতু বিভাগটি ত্রিভুজটি এবিসিকে দুটি সমান ত্রিভুজ এএমবি এবং এএমসিতে বিভক্ত করে, এর অর্থ এটি হ'ল সংযুক্তি পার্শ্ব, কোণ, পাশের ক্ষেত্রে হবে এবং তাই এএমও বিসি'র দ্বিখণ্ডক হবে।

অতএব, দ্বিখণ্ডক সর্বদা মিডিয়ানের সমান এবং বিপরীত হবে।

বিভাগটি এএমবি এবং এএমসি ত্রিভুজগুলির জন্য একই পরিমাপযুক্ত কোণগুলি গঠন করে; এটি হ'ল এগুলি পরিপূরক এমন যে প্রতিটির পরিমাপ হবে:

মেড। (এএমবি) + মেড। (এএমসি) = 180 ^বা

2 _* মেড। (এএমসি) = 180 ^বা

মেড। (এএমসি) = 180 ^বা ÷ 2

মেড। (এএমসি) = 90 ^বা

এটি জানা যেতে পারে যে ত্রিভুজের ভিত্তির সাথে এএম বিভাগ দ্বারা গঠিত কোণগুলি সঠিক, যা ইঙ্গিত করে যে এই বিভাগটি সম্পূর্ণরূপে বেসের লম্ব।

সুতরাং এটি উচ্চতা এবং দ্বিদ্বৈতকে প্রতিনিধিত্ব করে, জেনে যে এম মিডপয়েন্ট।

সুতরাং লাইন এএম:

• খ্রিস্টপূর্বের উচ্চতায় প্রতিনিধিত্ব করে।
• মাঝারি আকারের।
• এটি বিসি এর দ্বিখণ্ডকের মধ্যে রয়েছে।
• এটি শীর্ষবিন্দু angle এর দ্বিখণ্ডক Â

আপেক্ষিক উচ্চতা

সমান পক্ষের তুলনায় উচ্চতাগুলিরও একই পরিমাপ থাকে।

যেহেতু আইসোসিল ত্রিভুজের দুটি সমান দিক রয়েছে তাই তাদের দুটি স্বতন্ত্র উচ্চতাও সমান হবে।

অর্টসেন্টার, ব্যারেন্সেন্টার, উত্সাহক এবং কাকতালীয় আদালত

যেহেতু উচ্চতা, মিডিয়ান, দ্বিখণ্ডক এবং দ্বিখণ্ডক বেসের সাথে সম্পর্কিত হয় একই সময়ে একই বিভাগ দ্বারা উপস্থাপিত হয়, অর্থোসেন্টার, সেন্টার ব্যারেন্সেন্টার এবং ট্রেনসেন্টারটি সমলগ্ন বিন্দু হবে, অর্থাৎ, তারা একই লাইনে থাকবে:

পরিধিটি কীভাবে গণনা করব?

বহুভুজের পরিধি পার্শ্বগুলি যোগ করে গণনা করা হয়।

এই ক্ষেত্রে যেমন আইসোসিল ত্রিভুজ একই মাপের দুটি পক্ষ রয়েছে, তার পরিধিটি নিম্নলিখিত সূত্র দিয়ে গণনা করা হয়:

পি = 2 _* (পাশ এ) + (পাশ খ)

উচ্চতা গণনা কিভাবে?

উচ্চতাটি বেসের লম্ব লম্ব, এটি ত্রিভুজকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত হিসাবে এটি বিপরীতমুখী প্রান্তে বিস্তৃত হয়।

উচ্চতা বিপরীত লেগকে প্রতিনিধিত্ব করে (ক), বেসের মাঝখানে (খ / 2) সংলগ্ন লেগ এবং পাশের "ক" অনুভূতিকে উপস্থাপন করে।

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ ব্যবহার করে উচ্চতার মান নির্ধারণ করা যায়:

a ² + b ² = c ²

কোথায়:

a ² = উচ্চতা (h)।

খ ² = খ / 2।

গ ² = পাশ ক।

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটিতে এই মানগুলি প্রতিস্থাপন করা এবং উচ্চতাটি সমাধান করে আমাদের কাছে রয়েছে:

এইচ ² + (খ / 2) ² = এ ²

জ ² + খ ² /4 = একটি ²

জ ² = একটি ² - বো ² /4

জ = √ (ক ² - বো ² /4)।

যদি সম্মিলিত পক্ষগুলির দ্বারা গঠিত কোণটি জানা থাকে তবে উচ্চতাটি নিম্নলিখিত সূত্র দিয়ে গণনা করা যেতে পারে:

অঞ্চলটি কীভাবে গণনা করা যায়?

ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রটি সর্বদা একই সূত্র দিয়ে গণনা করা হয়, উচ্চতা দ্বারা বেসকে গুণিত করে এবং দুটি দিয়ে ভাগ করে:

এমন কেস রয়েছে যেখানে কেবল ত্রিভুজগুলির দুটি পক্ষের পরিমাপ এবং তাদের মধ্যে গঠিত কোণটি জানা যায়। এই ক্ষেত্রে, অঞ্চলটি নির্ধারণ করতে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত প্রয়োগ করা প্রয়োজন:

ত্রিভুজটির বেস কীভাবে গণনা করব?

যেহেতু আইসোসিলস ত্রিভুজটির দুটি সমান দিক রয়েছে, এর বেসের মান নির্ধারণ করতে আপনাকে কমপক্ষে উচ্চতার পরিমাপ বা এর কোনও একটি কোণ জানতে হবে।

উচ্চতা জেনে পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি ব্যবহৃত হয়:

a ² + b ² = c ²

কোথায়:

a ² = উচ্চতা (h)।

গ ² = পাশ ক।

b ² = b / 2, অজানা।

সূত্রটি থেকে আমরা বি ² বিচ্ছিন্ন করি এবং আমাদের রয়েছে:

b ² = a ² - c ²

b = √ a ² - c ²

যেহেতু এই মানটি অর্ধেক বেসের সাথে মিলে যায়, তাই সমদ্বীপীয় ত্রিভুজটির ভিত্তির সম্পূর্ণ পরিমাপের জন্য এটি দুটি দিয়ে গুণতে হবে:

b = 2 _* (² a ² - c ²)

যে ক্ষেত্রে কেবল তার সমান পক্ষের মান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণটি জানা যায়, ত্রিভুজমিতি প্রয়োগ করা হয়, শীর্ষবিন্দু থেকে বেসে একটি লাইন অঙ্কন করে যা সমকোষ ত্রিভুজকে দুটি ডান ত্রিভুজগুলিতে বিভক্ত করে।

এভাবে বেসের অর্ধেকটি গণনা করা হয়:

এটিও সম্ভব যে কেবল ভিত্তির বিপরীতে যে শীর্ষবিন্দুটির উচ্চতা এবং কোণটির মান জানা যায়। সেক্ষেত্রে ত্রিকোণমিতির সাহায্যে বেস নির্ধারণ করা যায়:

অনুশীলন

প্রথম অনুশীলন

আইসোসিলস ত্রিভুজ এর ABC এর ক্ষেত্রটি সন্ধান করুন, এটি জেনে যে এর দুটি দিক 10 সেন্টিমিটার এবং তৃতীয় দিকটি 12 সেমি।

সমাধান

ত্রিভুজের ক্ষেত্রটি খুঁজতে, পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যের সাথে সম্পর্কিত অঞ্চল সূত্রটি ব্যবহার করে উচ্চতা গণনা করা প্রয়োজন, যেহেতু সমান পক্ষের মধ্যে গঠিত কোণটির মান জানা যায় না।

আইসোসেলস ত্রিভুজটির আমাদের কাছে নিম্নলিখিত তথ্য রয়েছে:

• সমান দিক (ক) = 10 সেমি।
• বেস (খ) = 12 সেমি।

সূত্রগুলিতে মানগুলি প্রতিস্থাপন করা হয়:

দ্বিতীয় অনুশীলন

একটি সমদল ত্রিভুজের দুটি সমান পক্ষের দৈর্ঘ্য 42 সেমি, এই পক্ষগুলির মিলটি 130 ^বা একটি কোণ গঠন করে । তৃতীয় পক্ষের মান, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল এবং ঘেরটি নির্ধারণ করুন।

সমাধান

এই ক্ষেত্রে, পক্ষগুলির পরিমাপ এবং তাদের মধ্যে কোণটি জানা যায়।

অনুপস্থিত দিকটির মান জানতে, অর্থাৎ, সেই ত্রিভুজের ভিত্তি, এর জন্য একটি লম্ব লম্ব আঁকানো হয়, কোণকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করা হয়, প্রতিটি ডান ত্রিভুজের জন্য একটি যা গঠিত হয়।

• সমান দিক (ক) = 42 সেমি।
• কোণ (Ɵ) = 130 ^ও

ত্রিকোণমিতির সাহায্যে বেসের অর্ধেকের মান গণনা করা হয়, যা অনুমানের অর্ধেকের সাথে মিলে যায়:

অঞ্চলটি গণনা করার জন্য, সেই ত্রিভুজের উচ্চতাটি জানা দরকার, যা ত্রিকোণমিতি বা পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য দ্বারা গণনা করা যেতে পারে, এখনই বেসের মান নির্ধারণ করা হয়েছে।

ত্রিকোণমিতির দ্বারা এটি হবে:

পরিধি গণনা করা হয়:

পি = 2 _* (পাশ এ) + (পাশ খ)

পি = 2 _* (42 সেমি) + (76 সেমি)

পি = 84 সেমি + 76 সেমি

পি = 160 সেমি।

তৃতীয় অনুশীলন

সমকোণী ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলি গণনা করুন, জেনে যে বেসের কোণটি Â = 55 ^বা

সমাধান

দুটি অনুপস্থিত কোণ (Ê এবং Ô) খুঁজে পেতে ত্রিভুজগুলির দুটি বৈশিষ্ট্য মনে রাখা দরকার:

• প্রতিটি ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলির যোগফল সর্বদা = 180 ^বা:

 + Ê + Ô = 180 ^বা

• আইসোসিল ত্রিভুজগুলিতে বেসের কোণগুলি সর্বদা একত্রে থাকে, অর্থাত্, তাদের সমান পরিমাপ থাকে, তাই:

 = Ô

Ê = 55 ^বা

কোণ Ê এর মান নির্ধারণ করার জন্য, আমরা প্রথম নিয়মে অন্যান্য কোণগুলির মানগুলি প্রতিস্থাপন করি এবং Ê এর জন্য সমাধান করি:

55 ^বা + 55 ^বা + Ô = 180 ^বা

110 ^বা + Ô = 180 ^বা

Ô = 180 ^ও - 110 ^ও

Ô = 70 ^ও ।

তথ্যসূত্র

1. আলভারেজ, ই। (2003) জ্যামিতির উপাদান: প্রচুর অনুশীলন এবং কম্পাসের জ্যামিতি। মেডেলিন বিশ্ববিদ্যালয়।
2. আলভারো রেনডেন, এআর (2004) প্রযুক্তিগত অঙ্কন: ক্রিয়াকলাপ নোটবুক।
3. অ্যাঞ্জেল, এআর (2007) প্রাথমিক বীজগণিত। পিয়ারসন শিক্ষা.
4. আর্থার গুডম্যান, এলএইচ (1996)। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সাথে বীজগণিত এবং ত্রিকোণমিতি। পিয়ারসন শিক্ষা.
5. বালডোর, এ। (1941)। বীজগণিত। হাভানা: সংস্কৃতি।
6. জোসে জিমনেজ, এলজে (2006) গণিত 2।
7. টুমা, জে। (1998)। ইঞ্জিনিয়ারিং গণিতের পুস্তক। ওল্ফ্রাম ম্যাথ ওয়ার্ল্ড