- ত্রয়ী
- পারফেক্ট বর্গক্ষেত্রের ত্রয়ী
- গ্রেড 2 ত্রৈমাসিকের বৈশিষ্ট্য
- পারফেক্ট বর্গ
- সমাধানের সূত্র
- জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
- ত্রয়ী ফ্যাক্টরিং
- উদাহরণ
- উদাহরণ 1
- উদাহরণ 2
- তথ্যসূত্র
এক্স ^ 2 + বিএক্স + সি ফর্মের ত্রিকোণীয় সমাধান করতে শেখার আগে, এবং ত্রৈমাসিকের ধারণাটি জানার আগেও দুটি প্রয়োজনীয় ধারণা জানা গুরুত্বপূর্ণ; যথা, একক এবং বহুপদী ধারণা। মোমোমিয়াল হল * x n টাইপের একটি বহিঃপ্রকাশ, যেখানে a যুক্তিযুক্ত সংখ্যা, n একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং x একটি পরিবর্তনশীল।
বহুবর্ষ হল ফর্মের মনোমালিক্যের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ যা একটি এন * x এন + এন এন -1 * এক্স এন-1 +… + 2 * x 2 + a 1 * x + a 0, যেখানে প্রতিটি আই, আই সহ = 0,…, এন, একটি যুক্তিযুক্ত সংখ্যা, n একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং a_n ননজারো। এক্ষেত্রে বহুপথের ডিগ্রি n বলা হয়।
বিভিন্ন ডিগ্রির মাত্র দুটি পদ (দুটি মনোমালিক) এর যোগফল দ্বারা গঠিত একটি বহুবর্ষটি দ্বিপদী হিসাবে পরিচিত।
ত্রয়ী
বিভিন্ন ডিগ্রির মাত্র তিনটি পদ (তিনটি monomial) এর যোগফল দ্বারা গঠিত একটি বহুভুজ ত্রৈমাসিক হিসাবে পরিচিত। নিম্নলিখিতটি ত্রৈমাসিকের উদাহরণ:
- x 3 + x 2 + 5x
- 2x 4 -x 3 +5
- x 2 + 6x + 3
ট্রিনোমিয়াল বিভিন্ন ধরণের আছে। এর মধ্যে নিখুঁত বর্গক্ষেত্রের ত্রৈমাসিক দাঁড়িয়ে আছে।
পারফেক্ট বর্গক্ষেত্রের ত্রয়ী
একটি নিখুঁত বর্গক্ষেত্রের ত্রিকোণীয় একটি দ্বিপদী স্কোয়ারের ফলাফল। উদাহরণ স্বরূপ:
- (3x-2) 2 = 9x 2 -12x + 4
- (2x 3 + y) 2 = 4x 6 + 4x 3 y + y 2
- (4x 2 -2y 4) 2 = 16x 4 -16x 2 y 4 + 4y 8
- 1 / 16x 2 y 8 -1 / 2xy 4 z + z 2 = (1 / 4xy 4) 2 -2 (1 / 4xy 4) z + z 2 = (1 / 4xy 4 -z) 2
গ্রেড 2 ত্রৈমাসিকের বৈশিষ্ট্য
পারফেক্ট বর্গ
সাধারণভাবে, আকৃতি 2 + বিএক্স + সি ফর্মের একটি ত্রৈমাসিক একটি যথাযথ বর্গ হয় যদি এর বৈষম্যমূলক শূন্যের সমান হয়; এটি হল, যদি বি 2 -4ac = 0 হয়, যেহেতু এক্ষেত্রে এর একক মূল থাকবে এবং এটি একটি (xd) 2 = (√a (xd)) 2 আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে, যেখানে ডি ইতিমধ্যে উল্লিখিত মূলটি।
বহুভুজের মূলটি এমন একটি সংখ্যা যা বহুভুজ শূন্য হয়; অন্য কথায়, এমন একটি সংখ্যা, যখন বহুবচনীয় এক্সপ্রেশনে x এর পরিবর্তে শূন্য হয়।
সমাধানের সূত্র
অক্ষ 2 + বিএক্স + সি ফর্মের দ্বিতীয়-ডিগ্রি বহুবর্ষের শিকড় গণনা করার একটি সাধারণ সূত্র হ'ল সমাধান সূত্র, যা বলে যে এই শিকড়গুলি (–b ± √ (b 2 -4ac)) / দ্বারা দেওয়া হয়েছে 2 এ, যেখানে বি 2 -4ac বৈষম্যমূলক হিসাবে পরিচিত এবং সাধারণত by দ্বারা চিহ্নিত করা হয় ∆ এই সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে যে অক্ষ 2 + বিএক্স + সি রয়েছে:
- ∆> 0 হলে দুটি আলাদা আসল শিকড়।
- একক আসল মূল যদি ∆ = 0 হয়।
- ∆ <0 হলে এর কোনও আসল মূল নেই।
এরপরে, কেবলমাত্র x 2 + bx + c ফর্মের ত্রিকোণীয়গুলি বিবেচনা করা হবে, যেখানে পরিষ্কারভাবে সি অবশ্যই শূন্য ব্যতীত অন্য একটি সংখ্যা হতে হবে (অন্যথায় এটি দ্বিপদী হবে)। ফ্যাক্টরিং এবং তাদের সাথে কাজ করার সময় এই ধরণের ত্রিমাত্রীর নির্দিষ্ট সুবিধা রয়েছে।
জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
জ্যামিতিক, ত্রিপদরাশিবিশিষ্ট এক্স 2 + bx + C একটি অধিবৃত্ত যা উর্ধ্বগামী প্রর্দশিত হবে এবং সময়ে প্রান্তবিন্দু (-b / 2 -b হয়েছে 2 কার্টিজিয়ান সমতল যে x এর / 4 + C) 2 + bx + C = (এক্স + খ / 2) 2 -b 2 /4 + C।
এই প্যারাবোলাটি বিন্দুতে (0, সি) এবং এক্স অক্ষগুলিকে (ডি 1, 0) এবং (ডি 2, 0) পয়েন্টে কাটা অক্ষর কেটে দেয়; তারপরে d 1 এবং d 2 ত্রৈমাসিকের মূল। এটি ঘটতে পারে যে ত্রৈমাসিকের একটি একক মূল ডি থাকে, সেক্ষেত্রে এক্স অক্ষের সাথে একমাত্র কাটা হবে (ডি, 0)।
এটিও ঘটতে পারে যে ত্রৈমাসিকের আসল মূল থাকে না, সেই ক্ষেত্রে এটি কোনও সময়ে এক্স অক্ষটি কাটবে না।
উদাহরণস্বরূপ, x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 -9 + 9 = (x + 3) 2 হ'ল (-3,0) এর শীর্ষবিন্দু সহ পরলোক, যা Y অক্ষকে ছেদ করে (0, 9) এবং এক্স অক্ষের কাছে (-3,0)
ত্রয়ী ফ্যাক্টরিং
পলিনোমিয়াল নিয়ে কাজ করার সময় একটি খুব দরকারী সরঞ্জাম ফ্যাক্টরিং হয়, যা উপাদানগুলির একটি পণ্য হিসাবে বহুবর্ষকে প্রকাশ করে consists সাধারণভাবে, x 2 + bx + c ফর্মের একটি ত্রৈমাসিক প্রদত্ত যদি এর দুটি পৃথক শিকড় ডি 1 এবং ডি 2 থাকে তবে এটি (xd 1) (xd 2) হিসাবে চিহ্নিত হতে পারে ।
যদি এর একক মূল ডি থাকে তবে এটি (xd) (xd) = (xd) 2 হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে এবং এর যদি কোনও আসল মূল না থাকে তবে এটি একই থাকে the এক্ষেত্রে এটি নিজের ব্যতীত অন্য কারণগুলির পণ্য হিসাবে একটি ফ্যাক্টরাইজেশনকে স্বীকার করে না।
এর অর্থ হ'ল, ইতিমধ্যে প্রতিষ্ঠিত আকারে ত্রিকোণীয় শিকড়গুলি জেনে তার অনুষঙ্গটি সহজেই প্রকাশ করা যেতে পারে এবং ইতিমধ্যে উপরে বর্ণিত হিসাবে, এই শিকড়গুলি সর্বদা সংকল্পক ব্যবহার করে নির্ধারণ করা যেতে পারে।
তবে, এই ধরণের ত্রিকোণগুলির একটি উল্লেখযোগ্য পরিমাণ রয়েছে যা প্রথমে তাদের শিকড়গুলি না জেনে ফ্যাক্টর করা যেতে পারে, যা কাজটি সহজ করে।
সমাধানগুলি সমাধান সূত্রটি ব্যবহার না করেই শিকড়গুলি সরাসরি নির্ধারণ করা যেতে পারে; এগুলি হ'ল x 2 + (a + b) x + ab ফর্মের বহুভুজ । এক্ষেত্রে আমাদের রয়েছে:
x 2 + (a + b) x + ab = x 2 + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a)।
এ থেকে সহজেই দেখা যায় যে শিকড়গুলি –a এবং areb।
অন্য কথায়, একটি ত্রি-বর্ণীয় x 2 + বিএক্স + সি দেওয়া, যদি দুটি ও ইউ এবং ভি যেমন সি = ইউভি এবং বি = ইউ + ভি হয় তবে x 2 + বিএক্স + সি = (এক্স + ইউ) (এক্স + ভি)।
অর্থাত্, একটি ত্রিকোণীয় এক্স 2 + বিএক্স + সি দেওয়া হলে, এটি প্রথমে যাচাই করা হয় যদি এমন দুটি সংখ্যা থাকে যা তারা পৃথক পৃথক শব্দ (গ) দেয় এবং যোগ (বা বিয়োগফল, কেসের উপর নির্ভর করে) দেয়, তারা এক্সটির সাথে সংযুক্ত শব্দটি দেয় (খ)।
সমস্ত ত্রৈমাসিকের সাথে এই পদ্ধতিটি প্রয়োগ করা যায় না; যা এটি সম্ভব নয়, রেজোলিউশনটি ব্যবহৃত হয় এবং পূর্বোক্তগুলি প্রয়োগ হয়।
উদাহরণ
উদাহরণ 1
নিম্নলিখিত ত্রিকোণীয় এক্স 2 + 3x + 2 ফ্যাক্ট করতে, নিম্নলিখিত হিসাবে এগিয়ে যান:
আপনাকে অবশ্যই দুটি সংখ্যার সন্ধান করতে হবে যেগুলি যুক্ত করার সময় ফলাফলটি 3 হয় এবং যখন তাদের সংখ্যাবৃদ্ধির সময় ফলাফল 2 হয়।
একটি পরিদর্শন করার পরে এটি সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় যে অনুসন্ধান করা সংখ্যাগুলি হ'ল: 2 এবং 1. সুতরাং, x 2 + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1)।
উদাহরণ 2
ত্রিকোণীয় এক্স 2 -5x + 6 ফ্যাক্ট করার জন্য, আমরা দুটি সংখ্যার সন্ধান করব যার যোগফল -5 এবং তাদের গুণফল 6 these এই দুটি শর্ত পূরণকারী সংখ্যাগুলি -3 এবং -2 হয়। সুতরাং, প্রদত্ত ত্রৈমাসিকের গুণনীয়করণ হ'ল এক্স 2 -5x + 6 = (এক্স -3) (এক্স -2)।
তথ্যসূত্র
- ফুয়েন্টস, এ। (2016)। বেসিক ম্যাথ ক্যালকুলাসের একটি ভূমিকা। লুলু.কম।
- গারো, এম (২০১৪)। গণিত: চতুর্ভুজ সমীকরণ: চতুর্ভুজ সমীকরণ কীভাবে সমাধান করবে solve মেরিলো গারো
- হিউসলার, ইএফ, এবং পল, আরএস (2003)। পরিচালনা এবং অর্থনীতি জন্য গণিত। পিয়ারসন শিক্ষা.
- জিমনেজ, জে।, রোফ্র্যাগজ, এম।, এবং এস্ট্রাদা, আর। (2005) গণিত 1 এসইপি। থ্রেশহোল্ড
- প্রিকিয়াডো, সিটি (2005)। গণিত কোর্স তৃতীয়। সম্পাদকীয় প্রগ্রেসো।
- রক, এনএম (2006) বীজগণিত আমি সহজ! খুব সহজ. টিম রক প্রেস।
- সুলিভান, জে। (2006) বীজগণিত এবং ত্রিকোণমিতি। পিয়ারসন শিক্ষা.