পুনরাবৃত্তি ছাড়াই অনুমতি: সূত্র, প্রমাণ, অনুশীলন, উদাহরণ - দুদাস - 2025

এন উপাদানগুলির পুনরাবৃত্তি ছাড়াই একটি ক্রমবিন্যাস হ'ল বিভিন্ন উপাদানগুলির বিভিন্ন গ্রুপ যা কোনও উপাদান পুনরাবৃত্তি না করা থেকে প্রাপ্ত হতে পারে, কেবলমাত্র উপাদানগুলির স্থান নির্ধারণের ক্রমকে পৃথক করে।

পুনরাবৃত্তি ছাড়াই অনুমতি সংখ্যা নির্ধারণ করতে, নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করা হয়:

পিএন = এন!

কোনটি প্রসারিত হবে Pn = n হবে! = এন (এন - 1) (এন - 2)… (2) (1)

পূর্ববর্তী ব্যবহারিক উদাহরণে এটি নিম্নলিখিত হিসাবে প্রয়োগ করা হবে:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 বিভিন্ন 4-সংখ্যার নম্বর।

এগুলি হ'ল মোট 24 টি অ্যারে: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642।

দেখা যাবে যে, 24 টি আলাদা সংখ্যা হওয়ায় কোনও ক্ষেত্রেই কোনও পুনরাবৃত্তি নেই।

ডেমো এবং সূত্র

24 বিভিন্ন ব্যক্তিত্বের ব্যবস্থা

২৪ specifically68 সংখ্যাটির সংখ্যার সাথে গঠিত হতে পারে এমন 24 টি 4-সংখ্যার ব্যবস্থার উদাহরণ আমরা আরও বিশদভাবে বিশ্লেষণ করতে যাচ্ছি। বিন্যাসের সংখ্যা (24) নিম্নলিখিত হিসাবে জানা যেতে পারে:

প্রথম সংখ্যাটি নির্বাচন করার জন্য আপনার কাছে 4 টি বিকল্প রয়েছে যা দ্বিতীয়টি নির্বাচন করতে 3 টি বিকল্প দেয়। দুটি অঙ্ক ইতিমধ্যে সেট করা হয়েছে এবং তৃতীয় সংখ্যাটি নির্বাচনের জন্য 2 টি বিকল্প রয়ে গেছে। শেষ অঙ্কে একটি মাত্র নির্বাচন বিকল্প রয়েছে।

অতএব, পি 4 দ্বারা নির্দেশিত আদেশের সংখ্যা, প্রতিটি পজিশনে নির্বাচনের বিকল্পগুলির পণ্য দ্বারা প্রাপ্ত:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 বিভিন্ন 4-সংখ্যার নম্বর

সাধারণভাবে, প্রদত্ত সেটের সমস্ত এন উপাদানগুলির সাথে বিভিন্ন ক্রিয়াকলাপ বা ব্যবস্থা করা যেতে পারে:

পিএন = এন! = এন (এন - 1) (এন - 2)… (2) (1)

এক্সপ্রেশন এন! এটি এন ফ্যাকটোরিয়াল হিসাবে পরিচিত এবং এর অর্থ সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার গুণফল যা দুটি নম্বর সহ এন এবং এক নম্বরের মধ্যে থাকে lie

2 পৃথক ব্যক্তিত্বের 12 ব্যবস্থা

এখন ধরুন আপনি ক্রমসংখ্যা বা দুই-অঙ্কের সংখ্যাটি জানতে চান যা 2468 নম্বরের সংখ্যার সাথে গঠিত হতে পারে।

এগুলি হবে মোট 12 টির ব্যবস্থা: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

প্রথম সংখ্যাটি নির্বাচন করার জন্য আপনার কাছে 4 টি বিকল্প রয়েছে, যা দ্বিতীয়টি নির্বাচন করতে 3 সংখ্যা ছেড়ে যায়। সুতরাং, 4 পি 2 দ্বারা চিহ্নিত দুটি দ্বারা দুটি দ্বারা নেওয়া 4 টি সংখ্যার ক্রম সংখ্যাটি প্রতিটি পজিশনে নির্বাচনের বিকল্পগুলির পণ্য দ্বারা প্রাপ্ত হয়:

4P2 = 4 * 3 = 12 বিভিন্ন 2-সংখ্যার নম্বর

সাধারণভাবে, প্রদত্ত সেটে মোট n এর r উপাদানগুলির সাথে বিভিন্ন বিভাজন বা বিন্যাসের সংখ্যা সম্পাদন করা যেতে পারে:

এনপিআর = এন (এন - 1) (এন - 2)…

উপরের এক্সপ্রেশনটি এন খেলার আগে ছাঁটা হয়েছে! সম্পূর্ণ করতে এন! এটি থেকে আমাদের লেখা উচিত:

এন! = এন (এন - 1) (এন - 2)… (এন - আর)… (2) (1)

আমরা যে উপাদানগুলি যুক্ত করি, সেগুলি একটি ফ্যাক্টরিয়াল প্রতিনিধিত্ব করে:

(এন - আর)… (2) (1) = (এন - আর)!

এইভাবে, এন! = এন (এন - 1) (এন - 2)… (এন - আর)… (2) (1) = এন (এন - 1) (এন - 2)… (এন - আর)!

এখান থেকে

এন! / (এন - আর)! = এন (এন - 1) (এন - 2)… = এনপিআর

উদাহরণ

উদাহরণ 1

KEY শব্দের অক্ষরের সাথে কতগুলি পৃথক 5-বর্ণের সংমিশ্রণগুলি তৈরি করা যায়?

আমরা KEY শব্দের 5 টি অক্ষর দিয়ে তৈরি করা যেতে পারে এমন 5 টি বর্ণের বিভিন্ন বর্ণের সংমিশ্রণের সংখ্যা জানতে চাই; এটি হ'ল কে-ই শব্দের মধ্যে থাকা সমস্ত অক্ষরের সাথে জড়িত 5-বর্ণের অ্যারেগুলির সংখ্যা।

5 টি বর্ণের N = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 বিভিন্ন 5-অক্ষরের চিঠি সংমিশ্রণ।

এগুলি হ'ল: ক্লাভ, ভেলাক, এলসিএইভি, ভ্লেইএসি, ইসিভিএলসি… মোট ১২ টি পর্যন্ত বিভিন্ন বর্ণের সংমিশ্রণ।

উদাহরণ 2

আপনার 15 টি সংখ্যাযুক্ত বল রয়েছে এবং আপনি জানতে চান 15 টি নম্বরযুক্ত বল দিয়ে 3 বলের কতগুলি বিভিন্ন গ্রুপ তৈরি করা যেতে পারে?

আপনি 15 টি সংখ্যাযুক্ত 15 টি বলের সাহায্যে 3 টি বলের গ্রুপগুলি খুঁজে পেতে চান।

3 বলের গ্রুপের N = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

3 বলের গ্রুপগুলির N = 15 * 14 * 13 = 3 বলের 2730 গ্রুপ

সমাধান ব্যায়াম

অনুশীলনী 1

একটি ফলের স্টোরটিতে একটি প্রবেশদ্বার রয়েছে যা প্রাঙ্গনে প্রবেশের প্রবেশদ্বারটিতে একটি সারি বগি সমন্বিত থাকে। একদিনে, গ্রিনগ্রোসার বিক্রয়ের জন্য অর্জন করে: কমলা, কলা, আনারস, নাশপাতি এবং আপেল।

ক) প্রদর্শনী স্ট্যান্ডের অর্ডার দেওয়ার জন্য আপনার কতগুলি বিভিন্ন উপায়ে আছে?

খ) উল্লিখিত ফলগুলি ছাড়াও (স্ট্যান্ডের অর্ডার দেওয়ার জন্য আপনাকে কতগুলি বিভিন্ন উপায় রয়েছে) (৫), আপনি সেদিন পেয়েছিলেন: আম, পীচ, স্ট্রবেরি এবং আঙ্গুর (৪)?

ক) ডিসপ্লে সারিতে সমস্ত ফলের অর্ডার দেওয়ার জন্য আমরা বিভিন্ন উপায়ে সংখ্যা খুঁজে পেতে চাই; অর্থাত, 5 টি ফলের আইটেমের সংখ্যার পরিমাণ যা এই দিন বিক্রয়ের জন্য উপলব্ধ সমস্ত ফল জড়িত।

স্ট্যান্ড বিন্যাসের N = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

স্ট্যান্ডের বিন্যাসের N = = স্ট্যান্ড উপস্থাপনের 120 টি উপায়

খ) আমরা 4 টি অতিরিক্ত আইটেম যুক্ত করা হলে প্রদর্শন সারিতে সমস্ত ফলের অর্ডার দেওয়ার বিভিন্ন উপায়ের সংখ্যা জানতে চাই; এটি হ'ল 9 টি আইটেমের বিন্যাসের সংখ্যা যা সেদিন বিক্রয়ের জন্য উপলব্ধ সমস্ত ফল জড়িত।

স্ট্যান্ড বিন্যাসের N = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

স্ট্যান্ড বিন্যাসের N = = স্ট্যান্ড উপস্থাপনের জন্য 362,880 টি উপায়

অনুশীলন 2

একটি ছোট খাবারের দোকানটিতে 6 টি গাড়ি পার্ক করার জন্য পর্যাপ্ত জায়গা সহ একটি জমির প্লট রয়েছে।

ক) জমির প্লটে যানবাহনের অর্ডার দেওয়ার কতগুলি ভিন্ন উপায় নির্বাচন করা যেতে পারে?

খ) ধরুন যে জমির একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ প্লট অধিগ্রহণ করা হয়েছে যার মাত্রা 10 টি গাড়ি পার্ক করার অনুমতি দেয়, এখন কতগুলি যানবাহনের ব্যবস্থা নির্বাচন করা যেতে পারে?

ক) জমির চক্রান্তে স্থাপন করা যেতে পারে এমন 6 টি গাড়ি অর্ডার করার বিভিন্ন উপায়ের সংখ্যা আমরা জানতে চাই।

6 টি যানবাহনের ব্যবস্থা = পি 6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

জমির প্লটে vehicles টি যানবাহনের অর্ডার দেওয়ার ways২ টি বিভিন্ন উপায়ে = 720 বিভিন্ন উপায়ে সংখ্যা।

খ) আমরা জমির প্লট সম্প্রসারণের পরে জমির প্লটটিতে স্থাপন করা যেতে পারে যে 10 টি গাড়ি অর্ডার করার বিভিন্ন উপায়ের সংখ্যা জানতে চাই।

১০ টি যানবাহনের N ° = P10 = 10!

যানবাহনের বিন্যাসের সংখ্যা = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

10 টি যানবাহনের ব্যবস্থাপনার সংখ্যা = 3,628,800 বিভিন্নভাবে জমির প্লটে 10 গাড়ি অর্ডার করার জন্য।

অনুশীলন 3

ফুলের ফুলের কাছে 6 টি বর্ণের ফুলের পতাকা তৈরি করতে 6 টি বিভিন্ন রঙের ফুল রয়েছে। যদি এটি জানা থাকে যে পতাকাগুলিতে রঙের ক্রমটি গুরুত্বপূর্ণ, ক) 6 টি উপলভ্য রঙের সাথে 3 টি বর্ণের কতগুলি পৃথক পতাকা তৈরি করা যেতে পারে?

খ) বিক্রেতা ইতিমধ্যে তার 6 টিতে 2 অতিরিক্ত রঙের ফুল কিনে, এখন 3 টি রঙের কতগুলি পৃথক পতাকা তৈরি করা যেতে পারে?

গ) যেহেতু আপনার 8 টি রঙ রয়েছে তাই আপনি পতাকাগুলির পরিসর বাড়ানোর সিদ্ধান্ত নিয়েছেন 4 বর্ণের কতগুলি পতাকা আপনি তৈরি করতে পারেন?

ঘ) 2 টি রঙ কত?

ক) আমরা 3 টি বর্ণের বিভিন্ন পতাকা সংখ্যা খুঁজে পেতে চাই যা 6 টি উপলভ্য রঙ থেকে নির্বাচন করে তৈরি করা যেতে পারে।

3 রঙের পতাকাগুলির N = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

3 রঙের পতাকাগুলির N = 6 * 5 * 4 = 120 পতাকা

খ) আপনি উপলভ্য 8 টি রং থেকে নির্বাচন করে তৈরি করা যেতে পারে এমন 3 টি রঙের বিভিন্ন পতাকাের সংখ্যাটি সন্ধান করতে চান।

3 রঙের পতাকাগুলির N = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

3 রঙের পতাকাগুলির N = 8 * 7 * 6 = 336 পতাকা

গ) 8 টি উপলভ্য রঙগুলি নির্বাচন করে বিভিন্ন 4-বর্ণের পতাকাগুলির সংখ্যা গণনা করতে হবে।

4-রঙের পতাকাগুলির সংখ্যা = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

4-রঙের পতাকাগুলির সংখ্যা = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 পতাকা

d) আপনি 8 টি উপলভ্য রঙ থেকে নির্বাচন করে বিভিন্ন 2-রঙের পতাকাগুলির সংখ্যা নির্ধারণ করতে চান।

2-রঙের পতাকাগুলির N = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

2 রঙের পতাকাগুলির সংখ্যা = 8 * 7 = 56 পতাকা

তথ্যসূত্র

1. বোয়দা, এ (2017)। পরীক্ষাগুলির পাঠদান হিসাবে পুনরাবৃত্তের সাথে ক্রান্তকরণের ব্যবহার। ভিভাত একাডেমিয়া ম্যাগাজিন। রিসার্চগেট.নেট থেকে উদ্ধার করা।
2. কানাভোস, জি। (1988) সম্ভাব্যতা ও পরিসংখ্যান. অ্যাপ্লিকেশন এবং পদ্ধতি। ম্যাকগ্রা-হিল / ইন্টেরামেরিকানা ডি মেক্সিকো এসএ ডি সিভি
3. গ্লাস, জি;; স্ট্যানলি, জে। (1996) পরিসংখ্যানগত পদ্ধতিগুলি সামাজিক বিজ্ঞানের ক্ষেত্রে প্রয়োগ হয় না। প্রিন্টাইস হল হিপ্পোমেনেরিকান এসএ
4. স্পিগেল, এম;; স্টিফেনস, এল। (২০০৮)। পরিসংখ্যান। চতুর্থ এড। ম্যাকগ্রা-হিল / ইন্টেরামেরিকানা ডি মেক্সিকো এসএ
5. ওয়ালপোল, আর; মাইয়ার্স, আর.; মাইয়ার্স, এস.; ইয়ে, কা। (2007)। প্রকৌশলী এবং বিজ্ঞানীদের জন্য সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যান। অষ্টম এড। পিয়ারসন এডুকেশন ইন্টারন্যাশনাল প্রেন্টাইস হল।
6. ওয়েবস্টার, এ (2000)। পরিসংখ্যান ব্যবসা এবং অর্থনীতিতে প্রয়োগ করা হয়। তৃতীয় এড। ম্যাকগ্রা-হিল / ইন্টেরামেরিকানা এসএ
7. (2019)। অনুমান। En.wikedia.org থেকে উদ্ধার করা।