শর্তাধীন সম্ভাবনা: সূত্র এবং সমীকরণ, বৈশিষ্ট্য, উদাহরণ - দুদাস - 2025

শর্তাধীন সম্ভাব্যতা একটি নির্দিষ্ট ঘটনার সংঘটন সম্ভাবনা দেওয়া আরেকটি শর্ত হিসাবে দেখা দেয় না। এই অতিরিক্ত তথ্য কিছু ঘটবে এই ধারণাটি (বা নাও) সংশোধন করতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, আমরা আমাদেরকে জিজ্ঞাসা করতে পারি: "দু'দিন বৃষ্টি না হওয়ায় আজ বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা কী?" যে ইভেন্টটির জন্য আমরা সম্ভাবনাটি জানতে চাই তা হ'ল যে আজ বৃষ্টি হচ্ছে, এবং অতিরিক্ত তথ্য যা উত্তরটি শর্ত করে তা হ'ল "দু'দিন ধরে বৃষ্টি হয়নি"।

চিত্র ১. গতকাল যে বৃষ্টি হয়েছে তার সম্ভাবনা হ'ল এটিও শর্তযুক্ত সম্ভাবনার উদাহরণ। সূত্র: পিক্সাবে।

একটি সম্ভাবনার স্থানটি Ω (নমুনা স্থান), ℬ (এলোমেলো ঘটনা) এবং পি (প্রতিটি ইভেন্টের সম্ভাবনা), এবং A এর সাথে সম্পর্কিত ইভেন্ট এবং এ এবং বি সমন্বিত হওয়া যাক ℬ

শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা যা A ঘটে থাকে তা প্রদত্ত যে বি ঘটেছিল, যা পি (A│B) হিসাবে চিহ্নিত হয়েছে, নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে:

পি (এএবিবি) = পি (এআইবি) / পি (বি) = পি (এ এবং বি) / পি (বি)

যেখানে: পি (এ) হ'ল সংঘটিত হওয়ার সম্ভাবনা, পি (বি) হ'ল ইভেন্ট বি এর সম্ভাবনা এবং এটি 0 থেকে আলাদা এবং পি (A∩B) হ'ল A এবং B এর ছেদ হওয়ার সম্ভাবনা, অর্থাৎ,, উভয় ঘটনার সম্ভাবনা (যৌথ সম্ভাবনা)।

এটি ইংরেজ ধর্মতত্ত্ববিদ ও গণিতবিদ টমাস বেয়েস 1773 সালে প্রস্তাবিত দুটি ইভেন্টের ক্ষেত্রে বয়েসের উপপাদ্যের জন্য একটি অভিব্যক্তি।

প্রোপার্টি

সমস্ত শর্তাধীন সম্ভাবনা 0 এবং 1 এর মধ্যে:

0 ≤ পি (A│B) ≤ 1

- ঘটনাটি ঘটবে বলে সম্ভাব্যতাটি হ'ল ঘটনাক্রমে ঘটনাটি ঘটে যা স্পষ্টত: 1:

পি (এএএএ) = পি (এএএএ) / পি (এ) = পি (এ) / পি (এ) = 1

-যদি দুটি ঘটনা একচেটিয়া হয়, যে ঘটনাগুলি একই সাথে ঘটতে পারে না, তারপরে শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা 0 হয়, যেহেতু ছেদটি শূন্য হয়:

পি (A│B) = পি (A∩B) / পি (বি) = 0 / পি (বি) = 0

-বি যদি A এর উপসেট হয় তবে শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনাও 1:

পি (B│A) = পি (A∩B) / পি (এ) = 1

গুরুত্বপূর্ণ

পি (A│B) সাধারণত পি (বিএএ) এর সমান হয় না, সুতরাং শর্তাধীন সম্ভাবনা খুঁজে বের করার সময় আমাদের অবশ্যই ইভেন্টগুলি বিনিময় না করা উচিত।

গুনের সাধারণ নিয়ম

শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার চেয়ে আপনি অনেক সময় যৌথ সম্ভাবনা পি (A∩B) সন্ধান করতে চান। তারপরে, নিম্নলিখিত উপপাদকের মাধ্যমে আমাদের রয়েছে:

পি (এএবিবি) = পি (এ এবং বি) = পি (এআইবি)। পি (বি)

উপপাদ্যটি এ, বি এবং সি তিনটি ইভেন্টের জন্য বাড়ানো যেতে পারে:

P (A∩B∩C) = P (A এবং B এবং C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

এবং এছাড়াও বিভিন্ন ইভেন্টের জন্য যেমন এ ₁, এ ₂, এ ₃ এবং আরও অনেক কিছুতে এটি নিম্নলিখিত হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

পি (এ ₁ ∩ এ ₂ ∩ এ ₃ … ∩ এ _এন) = পি (এ ₁)। পি (এ ₂ │এ ₁)। পি (এ ₃ │এ ₁ ∩ এ ₂)… পি (এ _এন ││এ ₁ ∩ এ ₂ ∩… এ _{এন -1})

এটি ক্রমানুসারে এবং বিভিন্ন পর্যায়ে ঘটে যাওয়া ইভেন্টগুলির ক্ষেত্রে যখন ডায়াগ্রাম বা একটি সারণীতে ডেটা সাজানো সুবিধাজনক। এটি অনুরোধ করা সম্ভাব্যতার কাছে পৌঁছানোর বিকল্পগুলি কল্পনা করা সহজ করে তোলে।

উদাহরণস্বরূপ গাছের ডায়াগ্রাম এবং কন্টিনজেন্সি টেবিল। এর মধ্যে একটি থেকে আপনি অন্যটি তৈরি করতে পারেন।

শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার উদাহরণ

আসুন কিছু পরিস্থিতি দেখুন যেখানে একটি ঘটনার সম্ভাবনাগুলি অন্য ঘটনার দ্বারা পরিবর্তিত হয়:

- উদাহরণ 1

একটি মিষ্টির দোকানে দুটি ধরণের কেক বিক্রি হয়: স্ট্রবেরি এবং চকোলেট। উভয় লিঙ্গের 50 টি ক্লায়েন্টের পছন্দগুলি নিবন্ধভুক্ত করে নিম্নলিখিত মানগুলি নির্ধারণ করা হয়েছিল:

-27 মহিলা, যার মধ্যে 11 স্ট্রবেরি কেক এবং 16 চকোলেট পছন্দ করে।

-23 পুরুষ: 15 চকোলেট এবং 8 স্ট্রবেরি চয়ন করুন।

গ্রাহক একটি চকোলেট কেক বেছে নেওয়ার সম্ভাবনাটি ল্যাপ্লেসের নিয়ম প্রয়োগ করে নির্ধারণ করা যেতে পারে, যার অনুযায়ী কোনও ইভেন্টের সম্ভাবনা:

পি = অনুকূল ইভেন্টের সংখ্যা / ইভেন্টের মোট সংখ্যা

এই ক্ষেত্রে, 50 জন গ্রাহকের মধ্যে মোট 31 জন চকোলেট পছন্দ করে, তাই সম্ভাবনা পি = 31/50 = 0.62 হবে। অর্থাৎ, 62% গ্রাহক চকোলেট কেক পছন্দ করেন।

কিন্তু ক্লায়েন্ট যদি একজন মহিলা হয় তবে এটি আলাদা হবে? এটি শর্তযুক্ত সম্ভাবনার একটি কেস।

অনিশ্চিত টেবিল

এটির মতো একটি কন্টিনজেন্সি টেবিল ব্যবহার করে মোটগুলি সহজেই প্রদর্শিত হয়:

তারপরে অনুকূল কেসগুলি পর্যবেক্ষণ করা হয় এবং ল্যাপ্লেসের নিয়ম প্রয়োগ করা হয় তবে প্রথমে আমরা ইভেন্টগুলি সংজ্ঞায়িত করি:

-বি হ'ল "মহিলা গ্রাহক" ইভেন্ট।

-এ হ'ল একজন মহিলা হিসাবে "চকলেট কেক পছন্দ করুন" ইভেন্ট।

আমরা "মহিলা" লেবেলযুক্ত কলামটিতে যাই এবং সেখানে আমরা দেখতে পাই যে মোট 27 টি।

তারপরে অনুকূল কেসটি "চকোলেট" সারিতে চাওয়া হয়। এই ইভেন্টগুলির মধ্যে 16 টি রয়েছে, অতএব সম্ভাব্যতাটি সরাসরি পাওয়া:

পি (এএবিবি) = 16/27 = 0.5924

৫৯.২৪% মহিলা গ্রাহক চকোলেট কেক পছন্দ করেন।

শর্তযুক্ত সম্ভাবনার প্রাথমিকভাবে প্রদত্ত সংজ্ঞাটির সাথে আমরা এটির বিপরীত হলে এই মানটি মেলে:

পি (A│B) = পি (A∩B) / পি (বি)

আমরা ল্যাপ্লেসের নিয়ম এবং সারণী মানগুলি ব্যবহার করে তা নিশ্চিত করি:

পি (বি) = 27/50

পি (এ এবং বি) = 16/50

যেখানে পি (এ এবং বি) এমন সম্ভাবনা যা গ্রাহক চকোলেট পছন্দ করেন এবং তিনি একজন মহিলা। এখন মানগুলি প্রতিস্থাপন করা হয়েছে:

পি (এএবিবি) = পি (এ এবং বি) / পি (বি) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0.5924।

এবং প্রমাণিত যে ফলাফল একই।

- উদাহরণ 2

এই উদাহরণে গুণনের বিধি প্রযোজ্য। ধরুন কোনও দোকানে তিনটি আকারের প্যান্ট রয়েছে: ছোট, মাঝারি এবং বড়।

মোট ২৪ টি প্যান্টের সাথে অনেকগুলি, যার মধ্যে প্রতিটি আকারের 8 টি এবং সবগুলি মিশ্রিত করা হয়, তাদের দুটি বের করার সম্ভাবনা কী হবে এবং তারা উভয়ই ছোট ছিল?

এটি পরিষ্কার যে প্রথম প্রয়াসে একটি ছোট প্যান্ট সরানোর সম্ভাবনা 8/24 = 1/3। এখন, দ্বিতীয় নিষ্কাশনটি প্রথম ইভেন্টে শর্তাধীন, যেহেতু একজোড়া প্যান্টগুলি সরিয়ে দেওয়ার পরে, আর 24 নেই, তবে 23 And

ইভেন্ট এ একটি ছোট প্যান্ট টানছে, প্রথম চেষ্টাতে অন্যটিকে টানছে। এবং ইভেন্ট বি হ'ল প্রথমবারের মতো ছোট প্যান্টগুলি। এভাবে:

পি (বি) = 1/3; পি (A│B) = 7/24

অবশেষে, গুণনের নিয়মটি ব্যবহার করে:

পি (এএবিবি) = (7/24)। (1/3) = 7/72 = 0.097

অনুশীলনের সমাধান হয়েছে

বাণিজ্যিক এয়ার ফ্লাইটের সময়নিষ্ঠতার একটি গবেষণায়, নিম্নলিখিত তথ্য পাওয়া যায়:

-পি (বি) = 0.83, একটি প্লেন সময়মতো যাত্রা করার সম্ভাবনা।

-পি (এ) = 0.81, সময়মতো অবতরণের সম্ভাবনা।

-পি (বিএএ) = 0.78 হ'ল ফ্লাইট সময়মতো সময় নেওয়ার সময় উপস্থিত হওয়ার সম্ভাবনা।

এটি গণনা করতে বলা হয়:

ক) সময়মতো বিমানটি যাত্রা শুরু করার সময় বিমানটি অবতরণের সম্ভাবনা কত?

খ) উপরোক্ত সম্ভাবনাটি যদি সময় মতো অবতরণ করতে সক্ষম হন তবে সময় মতো ফেলে রেখে যাওয়া সম্ভাবনার মতোই কি?

গ) এবং শেষ অবধি: সময়মতো ছেড়ে না দেওয়া সত্ত্বেও এটি সময়মতো পৌঁছাবার সম্ভাবনা কী?

চিত্র 2. বাণিজ্যিক ফ্লাইটের সময়নিষ্ঠতা গুরুত্বপূর্ণ, কারণ বিলম্ব লক্ষ লক্ষ ডলার লোকসান করে। সূত্র: পিক্সাবে।

সমাধান

প্রশ্নের উত্তরের জন্য শর্তাধীন সম্ভাবনার সংজ্ঞা ব্যবহৃত হয়:

পি (এএবিবি) = পি (এএবিবি) / পি (বি) = পি (এ এবং বি) / পি (বি) = 0.78 /0.83 = 0.9398

সমাধান খ

এই ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত ইভেন্টগুলি বিনিময় করা হয়:

পি (বিএএ) = পি (এএবি) / পি (এ) = পি (এ এবং বি) / পি (এ) = 0.78 /0.81 = 0.9630

মনে রাখবেন যে এই সম্ভাবনাটি আগেরটির থেকে কিছুটা আলাদা, যেমনটি আমরা আগে উল্লেখ করেছি।

সমাধান গ

সময়মতো ছেড়ে না যাওয়ার সম্ভাবনা হ'ল 1 - পি (বি) = 1 - 0.83 = 0.17, আমরা একে পি (বি ^সি) ^বলব, কারণ সময়মতো এটি গ্রহণের পরিপূরক ঘটনা। শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতাটি হ'ল:

P (A│B ^C) = P (A∩B ^C) / P (B ^C) = P (A এবং B ^C) / P (B ^C)

অন্য দিকে:

পি (A∩B ^সি) = পি (সময়মতো অবতরণ) - পি (সময়মত অবতরণ এবং সময়মতো যাত্রা) = 0.81-0.78 = 0.03

এক্ষেত্রে শর্তাধীন সম্ভাব্যতাটি হ'ল:

পি (এএবিবি ^সি) = 0.03 / 0.17 = 0.1765

তথ্যসূত্র

1. কানাভোস, জি। 1988. সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যান: অ্যাপ্লিকেশন এবং পদ্ধতি। ম্যাকগ্রা হিল
2. ডিভোর, জে। 2012. প্রকৌশল ও বিজ্ঞানের সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যান। 8 ম। সংস্করণ। কেনেজ
3. লিপসচুটজ, এস 1991. স্কাম সিরিজ: সম্ভাবনা। ম্যাকগ্রা হিল
4. ওব্রেগন, আই। 1989. সম্ভাবনার তত্ত্ব। সম্পাদকীয় লিমুসা।
5. ওয়ালপোল, আর। 2007. প্রকৌশল এবং বিজ্ঞানের জন্য সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যান। পিয়ারসন।
6. উইকিপিডিয়া। শর্তাধীন সম্ভাবনা. উদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.org থেকে ipedia