গণনা কৌশল: কৌশল, প্রয়োগ, উদাহরণ, অনুশীলন - দুদাস - 2025

বেড়ে চলেছে কৌশল একটি সেট মধ্যে সম্ভব ব্যবস্থা বা বস্তু বিভিন্ন সেট সংখ্যা গণনা করার জন্য সম্ভাব্যতা পদ্ধতি একটি সিরিজ আছে। বিপুল সংখ্যক অবজেক্ট এবং / বা ভেরিয়েবলের কারণে অ্যাকাউন্টগুলি ম্যানুয়ালি করার সময় এগুলি ব্যবহৃত হয়।

উদাহরণস্বরূপ, এই সমস্যার সমাধান খুব সহজ: কল্পনা করুন যে আপনার বস আপনাকে শেষ মুহুর্তে আগত সর্বশেষতম পণ্যগুলি গণনা করতে বলেছে। এক্ষেত্রে আপনি একের পর এক পণ্য গুনতে পারতেন।

যাইহোক, কল্পনা করুন যে সমস্যাটি হ'ল: আপনার বস আপনাকে শেষ ঘন্টাে আগত ব্যক্তিদের সাথে একই ধরণের 5 টি পণ্যের কতগুলি দল গঠন করতে পারে তা গণনা করতে বলে। এই ক্ষেত্রে, গণনা জটিল। এই ধরণের পরিস্থিতির জন্য, তথাকথিত গণনা কৌশলগুলি ব্যবহৃত হয়।

এই কৌশলগুলি বিভিন্ন, তবে সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ দুটি মূল নীতির মধ্যে বিভক্ত, যা গুণ এবং সংযোজক; ক্রম এবং সংমিশ্রণ।

গুণগত নীতি

অ্যাপ্লিকেশন

গুণক নীতি, সংযোজনের সাথে একত্রে, গণনা কৌশলগুলির ক্রিয়াকলাপটি বোঝার জন্য মৌলিক। গুণকের ক্ষেত্রে এটি নিম্নলিখিতটি নিয়ে গঠিত:

আসুন এমন একটি ক্রিয়াকলাপটি কল্পনা করুন যা একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক পদক্ষেপের সাথে জড়িত (আমরা মোটটিকে "আর" হিসাবে চিহ্নিত করি), যেখানে প্রথম পদক্ষেপটি এন 1 উপায়ে করা যেতে পারে, দ্বিতীয় ধাপে এন 2, এবং এনআর পদ্ধতিতে "আর" ধাপটি করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে এই ক্রিয়াকলাপটি আকারের সংখ্যা থেকে এই ক্রিয়াকলাপটি সম্পাদন করা যেতে পারে: এন 1 এক্স এন 2 এক্স ……….x এনআরআর আকার

এ কারণেই এই নীতিটিকে গুণক বলা হয় এবং এটি সূচিত করে যে ক্রিয়াকলাপ পরিচালনার জন্য প্রয়োজনীয় প্রতিটি পদক্ষেপের একে অপরের পরে এক করে চলতে হবে।

উদাহরণ

আসুন এমন কোনও ব্যক্তি কল্পনা করুন যিনি স্কুল তৈরি করতে চান। এটি করার জন্য, বিবেচনা করুন যে বিল্ডিংয়ের ভিত্তি দুটি পৃথক উপায়ে, সিমেন্ট বা কংক্রিট তৈরি করা যেতে পারে। দেয়াল হিসাবে, তারা অ্যাডোব, সিমেন্ট বা ইট দিয়ে তৈরি করা যেতে পারে।

ছাদ হিসাবে, এটি সিমেন্ট বা জালিত শীট তৈরি করা যেতে পারে। অবশেষে, চূড়ান্ত চিত্রকর্ম কেবল এক উপায়ে করা যেতে পারে। উত্থাপিত প্রশ্নটি নিম্নলিখিত: বিদ্যালয়টি নির্মাণের জন্য তার কতগুলি উপায় আছে?

প্রথমত, আমরা পদক্ষেপের সংখ্যা বিবেচনা করি, যা বেস, দেয়াল, ছাদ এবং পেইন্ট হবে। মোট, 4 টি পদক্ষেপ, তাই r = 4।

নিম্নলিখিত এন এর তালিকা করা হবে:

এন 1 = বেস তৈরির উপায় = 2

এন 2 = দেয়াল তৈরির উপায় = 3

এন 3 = ছাদ তৈরির উপায় = 2

এন 4 = চিত্রাঙ্কনের উপায় = 1

সুতরাং, উপরে বর্ণিত সূত্রটি ব্যবহার করে সম্ভাব্য আকারগুলির সংখ্যা গণনা করা হবে:

এন 1 এক্স এন 2 এক্স এন 3 এক্স এন 4 = 2 এক্স 3 এক্স 2 এক্স 1 = 12 স্কুল করার 12 টি উপায়।

সংযোজন নীতি

অ্যাপ্লিকেশন

এই নীতিটি খুব সহজ, এবং এটি একই বিষয়টিকে ধারণ করে যে, একই ক্রিয়াকলাপ পরিচালনার জন্য বেশ কয়েকটি বিকল্পের ক্ষেত্রে, সম্ভাব্য উপায়গুলি সমস্ত বিকল্পগুলি সম্পাদনের বিভিন্ন সম্ভাব্য উপায়গুলির যোগফল নিয়ে গঠিত।

অন্য কথায়, আমরা যদি তিনটি বিকল্পের সাথে একটি ক্রিয়াকলাপ চালাতে চাই, যেখানে প্রথম বিকল্পটি এম উপায়ে করা যেতে পারে, দ্বিতীয়টি এন উপায়ে এবং শেষটি ডাব্লু পদ্ধতিতে করা যেতে পারে, তবে ক্রিয়াকলাপটি এইভাবে করা যেতে পারে: এম + এন + ……… + ডাব্লু আকার।

উদাহরণ

আসুন এবার কল্পনা করুন এমন কোনও ব্যক্তি যিনি টেনিস র‌্যাকেট কিনতে চান। এটি করার জন্য, আপনার কাছে তিনটি ব্র্যান্ড চয়ন করতে হবে: উইলসন, বাবোল্যাট বা প্রধান।

আপনি যখন দোকানে যান তখন দেখবেন উইলসন র‌্যাকেটটি হ্যান্ডেলটি দিয়ে দুটি বিভিন্ন আকারে, L2 বা L3 চারটি বিভিন্ন মডেলে কেনা যায় এবং এটি স্ট্রিং বা আনস্ট্রং করা যেতে পারে।

অন্যদিকে বাবোলাত র‌্যাকেটে তিনটি হ্যান্ডেল রয়েছে (এল 1, এল 2 এবং এল 3), দুটি পৃথক মডেল রয়েছে এবং এটি স্ট্রিং বা আনস্ট্রংও হতে পারে।

হেড র‌্যাকেট, তার অংশ হিসাবে, কেবল একটি হ্যান্ডেল, এল 2, দুটি ভিন্ন ভিন্ন মডেলের এবং কেবল অনিচ্ছাকৃত। প্রশ্নটি হল: এই ব্যক্তিটির তাদের র‌্যাকেটটি কিনতে কতগুলি উপায় আছে?

এম = উইলসন র‌্যাকেট নির্বাচন করার বিভিন্ন উপায়

এন = বাবোলাত র‌্যাকেট নির্বাচন করার বিভিন্ন উপায়

ডাব্লু = হেড র‌্যাকেট নির্বাচন করার বিভিন্ন উপায়

আমরা গুণক নীতিটি সম্পাদন করি:

এম = 2 এক্স 4 এক্স 2 = 16 আকার

এন = 3 এক্স 2 এক্স 2 = 12 টি উপায়

ডাব্লু = 1 এক্স 2 এক্স 1 = 2 টি উপায়

এম + এন + ডাব্লু = 16 + 12 + 2 = 30 কোনও র‌্যাকেট চয়ন করার উপায়।

গুণক নীতি এবং অ্যাডিটিভটি কখন ব্যবহার করবেন তা জানতে, আপনাকে কেবল কার্যকলাপটি সম্পাদন করার জন্য বিভিন্ন ধাপে পদক্ষেপ রয়েছে কিনা তা দেখতে হবে এবং যদি বেশ কয়েকটি বিকল্প রয়েছে, তবে অ্যাডেটিভ।

অনুমান

অ্যাপ্লিকেশন

ক্রমবিন্যাস কী তা বোঝার জন্য, সংমিশ্রণটি কী তা ব্যাখ্যা করা গুরুত্বপূর্ণ যাতে আপনি তাদের পার্থক্য করতে পারেন এবং কখন ব্যবহার করবেন তা জানতে পারবেন know

সংমিশ্রণটি এমন উপাদানগুলির একটি বিন্যাস হতে পারে যেখানে আমরা প্রত্যেকে যে অবস্থান নিয়ে থাকি তাতে আমরা আগ্রহী নই।

অন্যদিকে, ক্রমুয়েট হ'ল উপাদানগুলির একটি ব্যবস্থা যা আমরা তাদের প্রতিটিতে যে অবস্থান গ্রহণ করি তাতে আগ্রহী।

পার্থক্যটি আরও ভাল করে বোঝার জন্য একটি উদাহরণ দেওয়া যাক।

উদাহরণ

আসুন 35 জন ছাত্র এবং নিম্নলিখিত পরিস্থিতিতে একটি ক্লাস কল্পনা করুন:

1. শিক্ষক চান তাঁর তিনজন ছাত্র তাকে ক্লাসরুমটি পরিষ্কার রাখতে বা প্রয়োজনের সময় অন্যান্য শিক্ষার্থীদের কাছে উপকরণ সরবরাহ করতে সহায়তা করার জন্য।
2. শিক্ষক শ্রেণি প্রতিনিধিদের (একজন রাষ্ট্রপতি, একজন সহকারী এবং একজন অর্থদাতা) নিয়োগ করতে চান।

সমাধান নিম্নলিখিত হবে:

1. আসুন কল্পনা করুন যে ভোটের মাধ্যমে জুয়ান, মারিয়া এবং লুসিয়া ক্লাস পরিষ্কার করার জন্য বা উপকরণ সরবরাহ করার জন্য বেছে নেওয়া হয়েছে। স্পষ্টতই, 35 টি সম্ভাব্য শিক্ষার্থীদের মধ্যে তিনটি অন্য গ্রুপ তৈরি করা যেতে পারে।

আমাদের অবশ্যই নিম্নলিখিত বিষয়গুলি জিজ্ঞাসা করতে হবে: প্রতিটি শিক্ষার্থী বাছাই করার সময় কি তাদের ক্রম বা অবস্থান গুরুত্বপূর্ণ?

যদি আমরা এটি সম্পর্কে চিন্তা করি তবে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এটি সত্যিই গুরুত্বপূর্ণ নয়, যেহেতু গ্রুপটি দুটি কাজের জন্য সমানভাবে দায়িত্বে থাকবে। এই ক্ষেত্রে এটি একটি সংমিশ্রণ, যেহেতু আমরা উপাদানগুলির অবস্থানের বিষয়ে আগ্রহী নই।

1. এখন আসুন কল্পনা করুন যে জুয়ান রাষ্ট্রপতি হিসাবে নির্বাচিত হয়েছেন, মারিয়া সহকারী হিসাবে এবং লুসিয়ার ফাইনান্সার হিসাবে নির্বাচিত হয়েছেন।

এই ক্ষেত্রে, আদেশ কি ব্যাপার? উত্তর হ্যাঁ, কারণ যদি আমরা উপাদানগুলি পরিবর্তন করি তবে ফলাফল পরিবর্তন হয়। এটি হ'ল, যদি জুয়ানকে রাষ্ট্রপতি করার পরিবর্তে আমরা তাকে সহকারী হিসাবে এবং মারিয়াকে রাষ্ট্রপতি হিসাবে রাখি, তবে চূড়ান্ত ফলাফলটি পরিবর্তিত হবে। এক্ষেত্রে এটি একটি অনুমোদনের ব্যবস্থা।

পার্থক্যটি বোঝা গেলে, আমরা অনুমতি এবং সংমিশ্রনের সূত্রগুলি পেতে যাচ্ছি। তবে প্রথমে আমাদের "এন!" শব্দটি সংজ্ঞায়িত করতে হবে (এনি ফ্যাক্টরিয়াল), যেহেতু এটি বিভিন্ন সূত্রে ব্যবহৃত হবে।

n! = 1 থেকে n পর্যন্ত পণ্য।

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ………..xn

আসল সংখ্যা সহ এটি ব্যবহার:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… এক্স 10 = 3,628,800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… এক্স 5 = 120

আদেশের সূত্রটি নিম্নলিখিত হবে:

এনপিআর = এন! / (এনআর)!

এটির সাহায্যে আমরা সেই ব্যবস্থাটি জানতে পারি যেখানে ক্রমটি গুরুত্বপূর্ণ, এবং যেখানে এন উপাদানগুলি আলাদা।

সংমিশ্রণ

অ্যাপ্লিকেশন

যেমনটি আমরা পূর্বে মন্তব্য করেছি, সংমিশ্রণগুলি হ'ল ব্যবস্থাগুলি যেখানে আমরা উপাদানগুলির অবস্থান সম্পর্কে চিন্তা করি না।

এর সূত্রটি নিম্নলিখিত:

এনসিআর = এন! / (এনআর)! আর!

উদাহরণ

যদি এমন 14 জন শিক্ষার্থী আছেন যারা ক্লাসরুমটি পরিষ্কার করার জন্য স্বেচ্ছাসেবক করতে চান, তবে প্রতিটি গ্রুপে 5 জন লোক হলে কতগুলি পরিষ্কার গ্রুপ গঠন করা যেতে পারে?

সমাধানটি, সুতরাং, নিম্নলিখিত হবে:

এন = 14, আর = 5

14 সি 5 = 14! / (14 - 5) 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 গ্রুপ

সমাধান ব্যায়াম

অনুশীলনী 1

সূত্র: পিক্সাবে ডটকম

নাটালিয়াকে তার মায়ের দ্বারা মুদি দোকানে যেতে এবং শীতল হওয়ার জন্য একটি সোডা কিনতে বলে। নাটালিয়া যখন কেরানিটিকে পানীয়ের জন্য জিজ্ঞাসা করলেন, তিনি তাকে বললেন যে চারটি স্বাদযুক্ত পানীয়, তিন প্রকার এবং তিন আকারের।

কোমল পানীয়ের স্বাদগুলি হতে পারে: কোলা, লেবু, কমলা এবং পুদিনা।

কোলার ধরণগুলি হ'ল: নিয়মিত, চিনিমুক্ত, ক্যাফিন মুক্ত।

আকারগুলি হতে পারে: ছোট, মাঝারি এবং বড়।

নাটালিয়ার মা কী ধরণের কোমল পানীয় চাইছেন তা উল্লেখ করেননি।নাটালিয়াকে এই পানীয় কেনার কত উপায় আছে?

সমাধান

এম = আকার এবং টাইপ নম্বর যা কোলা নির্বাচন করার সময় আপনি নির্বাচন করতে পারেন।

এন = লেবু সোডা বেছে নেওয়ার সময় আপনি যে আকার এবং টাইপটি নির্বাচন করতে পারেন তার সংখ্যা।

ডাব্লু = কমলা সোডা বেছে নেওয়ার সময় আপনি যে আকার এবং টাইপ নম্বরটি নির্বাচন করতে পারেন তা নির্বাচন করুন।

ওয়াই = আপনার পুদিনা সোডা বেছে নেওয়ার সময় আপনি যে আকার এবং টাইপ নম্বরটি নির্বাচন করতে পারেন তা নির্বাচন করুন।

আমরা গুণক নীতিটি সম্পাদন করি:

এম = 3 × 3 = 9 টি উপায়

এন = 3 × 3 = 9 টি উপায়

ডাব্লু = 3 × 3 = 9 টি উপায়

Y = 3 × 3 = 9 টি উপায়

এম + এন + ডাব্লু + ওয়াই = 9 + 9 + 9 + 9 = সোডা নির্বাচনের 36 টি উপায়।

অনুশীলন 2

সূত্র: pixabay.com

একটি স্পোর্টস ক্লাব শিশুদের স্কেট শেখার জন্য বিনামূল্যে অ্যাক্সেস ওয়ার্কশপের বিজ্ঞাপন দেয়। 20 শিশু ভর্তি হয়ে গেছে, তাই তারা তাদের দশজনের দুটি গ্রুপে ভাগ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছে যাতে প্রশিক্ষকরা আরও স্বাচ্ছন্দ্যে ক্লাসগুলি পড়ান teach

পরিবর্তে, তারা সিদ্ধান্ত নিয়েছে যে প্রতিটি শিশু কোন গ্রুপে পড়বে। একটি শিশু কয়টি বিভিন্ন গ্রুপে প্রবেশ করতে পারে?

সমাধান

এই ক্ষেত্রে, উত্তর খুঁজে পাওয়ার উপায়টি সমন্বয় কৌশলটি ব্যবহার করছে, যার সূত্রটি ছিল: এনসিআর = এন! / (এনআর)! আর!

n = 20 (শিশু সংখ্যা)

আর = 10 (গ্রুপের আকার)

20 সি 10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184,756 গ্রুপ।

তথ্যসূত্র

1. জেফ্রি, আরসি, সম্ভাব্যতা এবং আর্ট অফ জাজমেন্ট, কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয় প্রেস। (1992)।
2. উইলিয়াম ফেলার, "প্রব্যাবিলিটি থিওরি এবং এর অ্যাপ্লিকেশনগুলির পরিচিতি", (প্রথম খণ্ড), তৃতীয় এড, (1968), উইলি
3. ফিনেটি, ব্রুনো ডি (1970)। "যৌক্তিক ভিত্তি এবং বিষয়গত সম্ভাবনার পরিমাপ"। অ্যাক্টা সাইকোলজিকা।
4. হগ, রবার্ট ভি;; ক্রেগ, অ্যালেন; ম্যাককিন, জোসেফ ডাব্লু। (2004) গাণিতিক পরিসংখ্যানের পরিচিতি (6th ষ্ঠ সংস্করণ)। আপার স্যাডল নদী: পিয়ারসন।
5. ফ্র্যাঙ্কলিন, জে। (2001) অনুমান বিজ্ঞান: পাস্কালের আগে প্রমাণ এবং সম্ভাবনা, জন হপকিন্স বিশ্ববিদ্যালয় প্রেস।