বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি: এটি কী অধ্যয়ন করে, ইতিহাস, প্রয়োগগুলি - গণিতশাস্ত্র - 2025

বিশ্লেষণমূলক জ্যামিতি স্টাডিজ লাইন এবং একটি তুল্য দেওয়া সিস্টেমের মধ্যে মৌলিক বীজগণিত কৌশল এবং গাণিতিক বিশ্লেষণ প্রয়োগের দ্বারা জ্যামিতিক আকার।

ফলস্বরূপ, বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি গণিতের একটি শাখা যা জ্যামিতিক পরিসংখ্যানগুলির সমস্ত ডেটা, অর্থাৎ ভলিউম, কোণ, অঞ্চল, ছেদ বিন্দু, তাদের দূরত্বগুলি বিশদ বিশ্লেষণ করে।

বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির মৌলিক বৈশিষ্ট্য হ'ল এটি সূত্রের মাধ্যমে জ্যামিতিক পরিসংখ্যানগুলির প্রতিনিধিত্বের অনুমতি দেয়।

উদাহরণস্বরূপ, পরিধিগুলি দ্বিতীয় ডিগ্রির বহুবর্ষীয় সমীকরণ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় এবং লাইনগুলি প্রথম ডিগ্রির বহুবর্ষীয় সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি সপ্তদশ শতাব্দীতে আবির্ভূত হয়েছিল যেগুলির সমস্যার উত্তর সরবরাহ করার প্রয়োজনীয়তার কারণে এখন পর্যন্ত কোনও সমাধান হয়নি। এর শীর্ষ প্রতিনিধিরা হলেন রেনা ডেসকার্টস এবং পিয়েরে ডি ফার্ম্যাট।

বর্তমানে অনেক লেখক এটিকে গণিতের ইতিহাসে একটি বিপ্লবী সৃষ্টি হিসাবে দেখিয়েছেন, যেহেতু এটি আধুনিক গণিতের সূচনা করে।

বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির ইতিহাস

বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি শব্দটি সপ্তদশ শতাব্দীতে ফ্রান্সে উত্থিত হয়েছিল যে কারণে বীজগণিত এবং জ্যামিতি পৃথকীকরণের মাধ্যমে সমাধান করা যায় নি এমন সমস্যার উত্তর সরবরাহ করার প্রয়োজনের কারণে, তবে সমাধান উভয়ের সম্মিলিত ব্যবহারের মধ্যেই রয়েছে।

বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির প্রধান প্রতিনিধি

সপ্তদশ শতাব্দীতে দুটি ফরাসী জীবনের সুযোগে গবেষণা চালিয়েছিল যে একরকম বা অন্য কোনওভাবে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সৃষ্টিতে শেষ হয়েছিল। এই ব্যক্তিরা হলেন পিয়েরে ডি ফের্যাট এবং রেনে ডেস্কার্টেস।

বর্তমানে এটি বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির স্রষ্টা ছিলেন রেনে ডেসকার্টেস। এটি ফারম্যাটসের আগে এবং বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির বিষয়ে ডেসকার্টসের সাথে গভীরভাবে তাঁর বই প্রকাশিত হওয়ার কারণে এটি ঘটেছিল।

তবে, ফার্মাট এবং ডেসকার্টস উভয়ই আবিষ্কার করেছেন যে লাইন এবং জ্যামিতিক চিত্রগুলি সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে এবং সমীকরণগুলি লাইন বা জ্যামিতিক ব্যক্তিত্ব হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে।

দু'জনের আবিষ্কার অনুসারে বলা যেতে পারে যে দুজনেই বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির স্রষ্টা।

পিয়েরে ডি ফার্ম্যাট

পিয়েরে ফের্মাত একজন ফরাসী গণিতবিদ যিনি 1601 সালে জন্মগ্রহণ করেছিলেন এবং 1665 সালে তিনি মারা গিয়েছিলেন। তাঁর জীবনের সময় তিনি ইউক্লিড, অ্যাপোলনিয়াস এবং পাপ্পাসের জ্যামিতি নিয়ে পড়াশোনা করেছিলেন, সেই সময়ের উপস্থিত পরিমাপের সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্য।

পরে এই অধ্যয়নগুলি জ্যামিতি তৈরির সূত্রপাত করেছিল। তারা "ফ্ল্যাট এবং সলিড প্লেসগুলির ভূমিকা" (অ্যাড লোকোস প্ল্যানোস এট সলিডোস আইসাগেজ) বইয়ে প্রকাশিত হয়েছিল, যা 1679 সালে তাঁর মৃত্যুর 14 বছর পরে প্রকাশিত হয়েছিল।

পিয়েরে ফের্মাত 1623 সালে জ্যামিতিক জায়গাগুলিতে অ্যাপোলনিয়াসের উপপাদ্যে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি প্রয়োগ করেছিলেন। তিনি ত্রিমাত্রিক জায়গাতে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতিও প্রথম প্রয়োগ করেছিলেন।

রিনি ডেসকার্টেস

কার্টেসিয়াস নামেও পরিচিত, তিনি ছিলেন একজন গণিতবিদ, পদার্থবিদ এবং দার্শনিক যিনি ফ্রান্সে 3115, 1596 সালে জন্মগ্রহণ করেছিলেন এবং 1650 সালে তাঁর মৃত্যু হয়।

রেনা ডেসকার্টস 16৩ in সালে তাঁর "" সঠিকভাবে কারণ পরিচালনার পদ্ধতি এবং বিজ্ঞানের সত্যের সন্ধানের পদ্ধতি সম্পর্কে আলোচনা "বইটি" দ্য পদ্ধতি "নামে পরিচিত এবং সেখান থেকে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি শব্দটি বিশ্বের কাছে প্রবর্তিত হয়েছিল। এর পরিশিষ্টগুলির একটি ছিল "জ্যামিতি।"

বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির মৌলিক উপাদান

বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি নিম্নলিখিত উপাদানগুলির সমন্বয়ে গঠিত:

কার্টেসিয়ান সমন্বয় ব্যবস্থা

এই সিস্টেমটির নামকরণ করা হয়েছে রেনা ডেসকার্টেসের নামে।

তিনিই এর নামকরণ করেননি, বা কার্তেসিয়ান সমন্বয় ব্যবস্থা সম্পন্ন করেছিলেন তিনিই নন, তবে তিনিই ছিলেন যিনি ইতিবাচক সংখ্যাসমূহ সহ স্থানাঙ্কের কথা বলেছিলেন যা ভবিষ্যতের পণ্ডিতদের এটি সম্পন্ন করতে দিয়েছিল।

এই সিস্টেমটি আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় ব্যবস্থা এবং মেরু সমন্বয় ব্যবস্থা নিয়ে গঠিত।

আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় ব্যবস্থা

আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমগুলিকে একে অপরের সাথে লম্ব দুটি লাইনরেখার বাহ্যরেখা দ্বারা গঠিত বিমান বলা হয়, যেখানে কাট-অফ পয়েন্টটি সাধারণ শূন্যের সাথে মিলে যায়।

তারপরে এই সিস্টেমটি একটি অনুভূমিক রেখা এবং একটি উল্লম্ব একটি দিয়ে গঠিত হবে।

অনুভূমিক রেখাটি হ'ল এক্স অক্ষ বা অ্যাবসিসা অক্ষ। উল্লম্ব রেখাটি হবে Y অক্ষ বা অর্ডিনেট অক্ষ।

মেরু সমন্বয় ব্যবস্থা

এই সিস্টেমটি একটি নির্দিষ্ট রেখার সাথে সম্পর্কিত কোনও বিন্দুর আপেক্ষিক অবস্থান যাচাই করার জন্য এবং লাইনের একটি নির্দিষ্ট পয়েন্টের দায়িত্বে থাকে।

লাইনের কার্টেসিয়ান সমীকরণ

এই সমীকরণটি একটি লাইন থেকে প্রাপ্ত হয় যখন দুটি পয়েন্টগুলি এটির মধ্য দিয়ে যায় বলে জানা যায়।

সোজা লাইন

এটি এমন একটি যা বিচ্যুত হয় না এবং এর ফলে কার্ভ বা কোণ নেই।

কনিক্স

এগুলি হ'ল রেখা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা বাঁক যা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে এবং একটি বক্ররেখার বিন্দু দিয়ে যায়।

উপবৃত্ত, পরিধি, প্যারাবোলা এবং হাইপারবোলা হ'ল শঙ্কু বক্ররেখা। তাদের প্রতিটি নীচে বর্ণিত হয়।

পরিধি

পরিবেশনকে বলা হয় বদ্ধ বিমানের বক্ররেখা যা বিমানের সমস্ত পয়েন্ট দ্বারা গঠিত যা একটি অভ্যন্তরীণ বিন্দু থেকে, যেমন পরিধির কেন্দ্র থেকে সমান হয়।

উপমা

এটি বিমানের পয়েন্টগুলির লোকস যা একটি নির্দিষ্ট পয়েন্ট (ফোকাস) এবং একটি নির্দিষ্ট লাইন (ডাইরেক্ট্রিক্স) থেকে সামঞ্জস্যপূর্ণ। সুতরাং ডাইরেক্ট্রিক্স এবং ফোকাস হ'ল প্যারাবোলাকে সংজ্ঞায়িত করে।

প্যারাবোলা একটি জেনারেট্রিক্সের সমান্তরাল একটি বিমানের মাধ্যমে বিপ্লবের শঙ্কু পৃষ্ঠের অংশ হিসাবে প্রাপ্ত হতে পারে।

উপবৃত্ত

সমতলে চলার সময় যে বিন্দুটিকে বর্ণনা করে এমন বদ্ধ বাঁককে উপবৃত্তিকে এমনভাবে বলা হয় যে এর দূরত্বগুলির যোগফল দুটি (2) স্থির বিন্দুতে (ফোকি বলে) স্থির থাকে।

অধিবৃত্ত

হাইপারবোলাকে সমতলের পয়েন্টগুলির লোকস হিসাবে সংজ্ঞায়িত বক্ররেখা বলা হয়, যার জন্য দুটি নির্দিষ্ট পয়েন্টের (ফোকি) দূরত্বগুলির মধ্যে পার্থক্য স্থির থাকে।

হাইপারবোলার প্রতিসাম্যের একটি অক্ষ থাকে যা ফোকি দিয়ে যায়, একে ফোকাল অক্ষ বলে। এটির আরও একটি রয়েছে যা সেগমেন্টের দ্বিখণ্ডক যা এর প্রান্তে স্থির পয়েন্ট রয়েছে।

অ্যাপ্লিকেশন

দৈনন্দিন জীবনের বিভিন্ন ক্ষেত্রে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির অনেকগুলি অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা প্রতিদিন ব্যবহার করা অনেক সরঞ্জামে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির অন্যতম মৌলিক উপাদান প্যারোবোলা খুঁজে পেতে পারি। এর মধ্যে কয়েকটি সরঞ্জাম নিম্নরূপ:

উপগ্রহ থালা

প্যারাবোলিক অ্যান্টেনার একটি প্যারাবোলার ফলস্বরূপ উত্পন্ন একটি প্রতিচ্ছবি রয়েছে যা বলেন অ্যান্টেনার অক্ষের উপর ঘোরে। এই ক্রিয়াটির ফলস্বরূপ যে পৃষ্ঠটি উত্পন্ন হয় তাকে প্যারাবোলয়েড বলে।

প্যারাবোলয়েডের এই ক্ষমতাকে অপটিকাল সম্পত্তি বা একটি প্যারোবোলার প্রতিবিম্ব সম্পত্তি হিসাবে চিহ্নিত করা হয় এবং এর জন্য ধন্যবাদ প্যারাবোলয়েডের পক্ষে অ্যান্টেনা তৈরির ভোজন প্রক্রিয়া থেকে প্রাপ্ত তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গকে প্রতিফলিত করা সম্ভব।

ঝুলন্ত ব্রিজ

যখন একটি দড়ি সমজাতীয় একটি ওজনকে সমর্থন করে তবে একই সাথে দড়ির ওজনের চেয়েও অনেক বেশি হয়, ফলাফলটি প্যারোবোলায় আসবে।

এই নীতিটি সাসপেনশন ব্রিজ নির্মাণের জন্য মৌলিক, যা সাধারণত প্রশস্ত ইস্পাত তারের কাঠামো দ্বারা সমর্থিত হয়।

সাসপেনশন সেতুর নীতিগর্ভ রূপক নীতিটি আমেরিকা যুক্তরাষ্ট্রের সান ফ্রান্সিসকো শহরে অবস্থিত গোল্ডেন গেট ব্রিজ বা আকাশী স্ট্রিটের গ্রেট ব্রিজ, যা জাপানে অবস্থিত এবং দ্বীপটিকে সংযুক্ত করে, যেমন কাঠামোয় ব্যবহৃত হয়েছে আওজি হুনসির সাথে, সে দেশের প্রধান দ্বীপ।

জ্যোতির্বিজ্ঞান বিশ্লেষণ

বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতিরও জ্যোতির্বিদ্যার ক্ষেত্রে খুব নির্দিষ্ট এবং সিদ্ধান্তমূলক ব্যবহার রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির উপাদান যা কেন্দ্রের পর্যায়ে নিয়ে যায় তা হ'ল উপবৃত্ত; জোহানেস কেপলারের গ্রহগুলির গতির আইন এটি প্রতিফলিত করে।

একজন জার্মান গণিতবিদ এবং জ্যোতির্বিদ কেপলার নির্ধারণ করেছিলেন যে উপবৃত্তটি মঙ্গল গ্রহের গতি অনুসারে সবচেয়ে উপযুক্ত; এর আগে তিনি কোপার্নিকাস প্রস্তাবিত বিজ্ঞপ্তি মডেলটি পরীক্ষা করেছিলেন, কিন্তু তার পরীক্ষার মাঝে তিনি অনুমান করেছিলেন যে উপবৃত্তটি যে গ্রহের সাথে পড়াশুনা করছেন তার সাথে পুরোপুরি একটি কক্ষপথ আঁকতে সাহায্য করেছিলেন।

উপবৃত্তের জন্য ধন্যবাদ, কেপলার নিশ্চিত করতে সক্ষম হয়েছিলেন যে গ্রহগুলি উপবৃত্তাকার কক্ষপথে চলে গেছে; এই বিবেচনাটি কেপলারের তথাকথিত দ্বিতীয় আইনের বক্তব্য ছিল।

এই আবিষ্কার থেকে পরবর্তীকালে ইংরেজ পদার্থবিদ ও গণিতবিদ আইজাক নিউটন সমৃদ্ধ হয়ে গ্রহদের কক্ষপথের নড়াচড়া অধ্যয়ন করতে এবং আমরা যে মহাবিশ্বের অংশ, সে সম্পর্কে যে জ্ঞান ছিল তা বৃদ্ধি করা সম্ভব হয়েছিল।

ক্যাসগ্রেন টেলিস্কোপ

ফরাসী বংশোদ্ভূত পদার্থবিজ্ঞানী লরেন্ট ক্যাসগ্রেনের নাম অনুসারে ক্যাসগ্রেন টেলিস্কোপটির নামকরণ করা হয়েছে। এই দূরবীনটিতে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির নীতিগুলি ব্যবহৃত হয় কারণ এটি মূলত দুটি আয়না দ্বারা গঠিত: প্রথমটি অবতল এবং প্যারাবোলিক এবং দ্বিতীয়টি উত্তল এবং হাইপারবোলিক দ্বারা চিহ্নিত।

এই আয়নাগুলির অবস্থান এবং প্রকৃতি গোলাকৃতির অবক্ষয় হিসাবে পরিচিত ত্রুটিটি সংঘটিত হতে দেয় না; এই ত্রুটিটি প্রদত্ত লেন্সগুলির ফোকাসে আলোক রশ্মিকে প্রতিফলিত হতে বাধা দেয়।

ক্যাসেগ্রেন টেলিস্কোপ গ্রহের পর্যবেক্ষণের জন্য খুব কার্যকর, পাশাপাশি বহুমুখী এবং সহজেই ব্যবহারযোগ্য।

তথ্যসূত্র

1. বিশ্লেষণী জ্যামিতি ব্রিটানিকা ডট কম থেকে 20 অক্টোবর, 2017-এ পুনরুদ্ধার করা হয়েছে
2. বিশ্লেষণী জ্যামিতি এনসাইক্লোপিডিয়াফ্যামথ.অর্গ থেকে 20 অক্টোবর, 2017-এ পুনরুদ্ধার করা হয়েছে
3. বিশ্লেষণী জ্যামিতি খানকাদেমি.অর্গ.ও 20 অক্টোবর, 2017-এ পুনরুদ্ধার করা হয়েছে
4. বিশ্লেষণী জ্যামিতি উইকিপিডিয়া.org থেকে 20 অক্টোবর, 2017-এ পুনরুদ্ধার করা হয়েছে
5. বিশ্লেষণী জ্যামিতি হোয়াইটম্যান.ইডু থেকে 20 অক্টোবর, 2017-এ পুনরুদ্ধার করা হয়েছে
6. বিশ্লেষণী জ্যামিতি Stewartcalculus.com থেকে 20 অক্টোবর, 2017-এ পুনরুদ্ধার করা হয়েছে
7. প্লেন বিশ্লেষণী জ্যামিতি 20 অক্টোবর, 2017 এ পুনরুদ্ধার করা হয়েছে