নমুনা ত্রুটি: সূত্র এবং সমীকরণ, গণনা, উদাহরণ - দুদাস - 2025

স্যাম্পলিং ত্রুটি বা স্যাম্পলিং পরিসংখ্যান ত্রুটি একটি নমুনা গড় মান এবং মোট জনসংখ্যার গড় মানের মধ্যে পার্থক্য আছে। ধারণাটি চিত্রিত করার জন্য, আসুন কল্পনা করুন যে কোনও শহরের মোট জনসংখ্যা দশ মিলিয়ন লোক, যার মধ্যে আপনি তার গড় জুতোর আকার চান, যার জন্য এক হাজার লোকের এলোমেলো নমুনা নেওয়া হয়।

নমুনা থেকে উত্থাপিত গড় আকার অগত্যা মোট জনসংখ্যার সাথে মিলে যাবে না, যদিও নমুনা পক্ষপাতদুষ্ট না হলে মানটি অবশ্যই নিকটবর্তী হতে হবে। নমুনার গড় মান এবং মোট জনসংখ্যার মধ্যে পার্থক্য হ'ল নমুনা ত্রুটি।

চিত্র ১. যেহেতু নমুনা মোট জনসংখ্যার উপসেট, সুতরাং নমুনাটির গড়ের একটি ত্রুটি রয়েছে। সূত্র: এফ.জাপাটা।

সাধারণভাবে, মোট জনসংখ্যার গড় মূল্য অজানা, তবে এই ত্রুটিটি হ্রাস করার কৌশল রয়েছে এবং নমুনা ত্রুটির প্রান্তিকতা অনুমান করার সূত্র রয়েছে যা এই নিবন্ধে আলোচনা করা হবে।

সূত্র এবং সমীকরণ

ধরা যাক যে আমরা আকারের এন এর জনসংখ্যায় একটি নির্দিষ্ট পরিমাপযোগ্য বৈশিষ্ট্যযুক্ত x এর গড় মান জানতে চাই, তবে যেহেতু N একটি বিশাল সংখ্যা তাই মোট জনসংখ্যার উপর গবেষণা চালানো সম্ভব নয়, তারপরে আমরা এলোমেলোভাবে একটি নমুনা গ্রহণ করতে এগিয়ে যাই আকার এন <

নমুনার গড় মান দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং মোট জনসংখ্যার গড় মান গ্রীক অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয় read (পড়ুন মিউ বা মিউ)।

ধরা যাক মোট নমুনা মোট জনসংখ্যা N থেকে নেওয়া হয়েছে, গড় মানের সাথে সমান আকারের সবগুলি 1>, 2>, 3>,…।মি>।

এই গড় মানগুলি একে অপরের সাথে অভিন্ন হবে না এবং সমস্তগুলি জনসংখ্যার গড় মান around এর আশেপাশে থাকবে μ নমুনা ত্রুটি মার্জিন ই ই গড় মানের প্রত্যাশিত পৃথককরণ নির্দেশ করে indicates জনসংখ্যার তুলনায় মান মানে confidence একটি নির্দিষ্ট শতাংশের মধ্যে যা আত্মবিশ্বাস স্তর level (গামা) বলে।

আকার n এর নমুনার আদর্শ ত্রুটি মার্জিন is

ε = σ /.n

যেখানে σ হ'ল মান বিচ্যুতি (বৈকল্পের বর্গমূল), যা নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

σ = √

স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি মার্জিনের অর্থ নীচে রয়েছে:

গড় মান আকার n এর নমুনা দ্বারা প্রাপ্ত অন্তর অন্তর্ভুক্ত করা হয় ( - ε, + ε) confidence৮.৩% এর আত্মবিশ্বাসের স্তর সহ।

কীভাবে স্যাম্পলিংয়ের ত্রুটি গণনা করবেন

পূর্ববর্তী বিভাগে, আকার n এর একটি নমুনার স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি মার্জিন সন্ধানের সূত্রটি দেওয়া হয়েছিল, যেখানে স্ট্যান্ডার্ড শব্দটি বোঝায় যে এটি 68% আত্মবিশ্বাসের সাথে ত্রুটির একটি প্রান্তিক।

এটি সূচিত করে যে একই আকারের এন এর অনেকগুলি নমুনা নেওয়া হলে, তাদের মধ্যে 68% গড় মান দেবে সীমার মধ্যে.

68-95-99.7 নিয়ম বলে একটি সহজ নিয়ম রয়েছে, যা আমাদের confidence৮%, 95% এবং 99.7% এর আত্মবিশ্বাসের মাত্রার জন্য নমুনা ত্রুটির মার্জিন ই সহজে খুঁজে পেতে দেয়, যেহেতু এই মার্জিনটি 1⋅ 2, 2 যথাক্রমে ⋅ ε এবং 3⋅।

আত্মবিশ্বাসের এক স্তরের জন্য

যদি আত্মবিশ্বাসের স্তরটি above উপরের কোনওটি না হয় তবে নমুনা ত্রুটিটি হ'ল স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি σ ফ্যাক্টর জেডγ দ্বারা গুণিত, যা নিম্নলিখিত পদ্ধতি দ্বারা প্রাপ্ত:

1.- প্রথমে, তাত্পর্য স্তরটি নির্ধারিত হয়, যা আত্মবিশ্বাস স্তর থেকে গণনা করা হয় following নিম্নলিখিত সম্পর্কের মাধ্যমে: α = 1 - γ

2.- তারপরে আমাদের অবশ্যই 1 - α / 2 = (1 + γ) / 2 এর মান গণনা করতে হবে, যা -∞ এবং Zγ এর মধ্যে জমে থাকা স্বাভাবিক ফ্রিকোয়েন্সিটির সাথে সামঞ্জস্য করে, একটি সাধারণ বা গাউসীয় বিতরণ টাইপ করা এফ (জেড), যার সংজ্ঞা চিত্র 2 এ দেখা যায়।

-.- F (Zγ) = 1 - α / 2 সমীকরণটি সাধারণ বিতরণের টেবিলগুলির মাধ্যমে (ক্রমবর্ধমান) এফ দ্বারা সমাধান করা হয়, বা এমন কোনও কম্পিউটার অ্যাপ্লিকেশনের মাধ্যমে যাতে বিপরীত গাওসিয়ান ফাংশন F ^{-1 থাকে} ।

পরবর্তী ক্ষেত্রে আমাদের রয়েছে:

জেড = জি ^-1 (1 - α / 2)।

4.- অবশেষে, এই সূত্রটি একটি নির্ভরযোগ্যতা স্তর সহ নমুনা ত্রুটির জন্য প্রয়োগ করা হয় γ:

E = Zγ ⋅ (σ /)n)

চিত্র 2. সাধারণ বিতরণের টেবিল। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

উদাহরণ

- উদাহরণ 1

100 নবজাতকের একটি নমুনার গড় ওজনের মান ত্রুটির মার্জিন গণনা করুন। গড় ওজনের গণনা ছিল= 3,100 কেজি স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি σ = 1,500 কেজি।

সমাধান

ত্রুটির স্ট্যান্ডার্ড মার্জিনটি হল ε = σ / √n = (1,500 কেজি) / √100 = 0.15 কেজি। এর অর্থ এই তথ্যগুলির সাথে এটি অনুমান করা যায় যে নবজাতকের %৮% ওজন ২,৯৫০ কেজি থেকে ৩.২৫ কেজি মধ্যে।

- উদাহরণ 2

নমুনা ত্রুটি E এর মার্জিন এবং 95% আত্মবিশ্বাসের স্তরের সাথে 100 নবজাতকের ওজনের পরিসীমা নির্ধারণ করুন যদি গড় ওজন স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি with = 1,500 কেজি সহ 3,100 কেজি হয়।

সমাধান

যদি বিধি 68 প্রযোজ্য; 95; 99.7 → 1⋅ ε; 2⋅ ε; 3 ⋅, আমাদের আছে:

ই = 2⋅ε = 2⋅0.15 কেজি = 0.30 কেজি

অন্য কথায়, নবজাতকের 95% এর ওজন 2,800 কেজি থেকে 3,400 কেজি হতে হবে।

- উদাহরণ 3

99.7% আত্মবিশ্বাসের মার্জিন সহ উদাহরণ 1 এ নবজাতকের ওজনের পরিসীমা নির্ধারণ করুন।

সমাধান

99.7% আত্মবিশ্বাসের সাথে নমুনা ত্রুটিটি 3 σ / isn, যা আমাদের উদাহরণের জন্য E = 3 * 0.15 কেজি = 0.45 কেজি। এখান থেকে এটি অনুসরণ করে যে 99,7% নবজাতকের ওজন 2,650 কেজি থেকে 3,550 কেজি হতে হবে।

- উদাহরণ 4

75% এর আত্মবিশ্বাসের স্তরের জন্য Z factor গুণকটি নির্ধারণ করুন। উদাহরণ 1-এ উপস্থাপন করা মামলার জন্য নির্ভরযোগ্যতার এই স্তরের সাথে নমুনা ত্রুটির মার্জিন নির্ধারণ করুন।

সমাধান

আত্মবিশ্বাসের স্তরটি γ = 75% = 0.75, যা তাত্পর্যপূর্ণ স্তরের সাথে সম্পর্কিত the সম্পর্কের মাধ্যমে γ = (1 - α), যাতে তাৎপর্যের স্তরটি α = 1 - 0.75 = 0 হয়, 25।

এর অর্থ হ'ল -∞ এবং Zγ এর মধ্যে ক্রমযুক্ত স্বাভাবিক সম্ভাবনা হ'ল:

পি (জেড ≤ জেড) = 1 - 0.125 = 0.875

যা চিত্র 3 এ প্রদর্শিত হিসাবে 1.1503 এর একটি Zγ মানের সাথে মিল রয়েছে।

চিত্র 3. 75% এর আত্মবিশ্বাসের স্তরের সাথে সম্পর্কিত Zγ ফ্যাক্টরের নির্ধারণ। সূত্র: জিওজেব্রার মাধ্যমে এফ.জাপাটা।

অন্য কথায়, স্যাম্পলিংয়ের ত্রুটিটি হল E = Zγ ⋅ (σ / √n) = 1.15 ⋅ (σ /)n)।

উদাহরণ 1 থেকে ডেটা প্রয়োগ করার সময় এটি একটি ত্রুটি দেয়:

ই = 1.15 * 0.15 কেজি = 0.17 কেজি

75% এর আত্মবিশ্বাসের স্তর সহ।

- অনুশীলন 5

জেড _{α / 2} = 2.4 হলে আত্মবিশ্বাসের স্তরটি কী ?

সমাধান

পি (জেড ≤ জেড _{α / 2}) = 1 - α / 2

পি (জেড ≤ 2.4) = 1 - α / 2 = 0.9918 → α / 2 = 1 - 0.9918 = 0.0082 → 0.0 = 0.0164

তাৎপর্যের স্তরটি হ'ল:

α = 0.0164 = 1.64%

এবং অবশেষে, আত্মবিশ্বাসের স্তরটি রয়ে গেছে:

1- α = 1 - 0.0164 = 100% - 1.64% = 98.36%

তথ্যসূত্র

1. কানাভোস, জি। 1988. সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যান: অ্যাপ্লিকেশন এবং পদ্ধতি। ম্যাকগ্রা হিল
2. ডিভোর, জে। 2012. প্রকৌশল ও বিজ্ঞানের সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যান। 8 ম। সংস্করণ। Cengage।
3. লেভিন, আর। 1988. প্রশাসকদের জন্য পরিসংখ্যান। 2nd। সংস্করণ। প্রেন্টিস হল.
4. সুদমান, এস 1982। প্রশ্ন জিজ্ঞাসা: প্রশ্নাবলীর নকশার একটি বাস্তব গাইড। সানফ্রান্সিসকো. জোসে বাস।
5. ওয়ালপোল, আর। 2007. প্রকৌশল এবং বিজ্ঞানের জন্য সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যান। পিয়ারসন।
6. Wonnacott, TH এবং RJ Wonnacott। 1990. সূচনা পরিসংখ্যান। 5 তম এড। উইলে
7. উইকিপিডিয়া। নমুনা ত্রুটি। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: en.wikedia.com থেকে ipedia
8. উইকিপিডিয়া। ত্রুটির মার্জিন. পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: en.wikedia.com থেকে ipedia