ফর্ম্যাট সীমা: এটি কী নিয়ে গঠিত এবং অনুশীলনের সমাধান হয়েছে - গণিতশাস্ত্র - 2025

ফার্মার সীমা একটি সংখ্যাসূচক একটি লাইন ঢাল যা এটির ডোমেইনে একটি নির্দিষ্ট সময়ে একটি ফাংশন স্পর্শক মান প্রাপ্ত করতে ব্যবহৃত পদ্ধতি। এটি কোনও ফাংশনের সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি পেতেও ব্যবহৃত হয়। এর অভিব্যক্তিটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

এটা স্পষ্টতই যে ফেরামাত আবিষ্কারের মূল বিষয়গুলি জানতেন না, তবে তাঁর পড়াশুনা থেকেই গণিতবিদদের একদল ক্যালকুলাসে ট্যানজেন্ট লাইন এবং তাদের প্রয়োগগুলি সম্পর্কে জিজ্ঞাসাবাদ করতে প্ররোচিত হয়েছিল।

ফারম্যাট সীমা কত?

এটি 2 পয়েন্টের একটি পদ্ধতির সমন্বয়ে গঠিত হয়, যা পূর্ববর্তী অবস্থার মধ্যে মানগুলির জোড়া দিয়ে ছেদ করে ফাংশনটির জন্য একটি সেকেন্ড লাইন তৈরি করে।

ভেরিয়েবলটি "এ" মানের কাছে পৌঁছানোর মাধ্যমে পয়েন্টের জোড় পূরণ করতে বাধ্য হয়। এইভাবে, পূর্ববর্তী সেকেন্ট লাইনটি বিন্দুতে স্পর্শক হয়ে যায় (a; f (a))।

ভাগফলের মান (x - a), যখন বিন্দু "ক" এ মূল্যায়ন করা হয়, শূন্যের (কে / 0) এর মধ্যে কে প্রকারের সীমাবদ্ধতার একটি অনির্দিষ্টতা অর্জন করে। যেখানে বিভিন্ন ফ্যাক্টরিং কৌশলগুলির মাধ্যমে এই অনির্দিষ্টতাগুলি ভেঙে ফেলা যায়।

সর্বাধিক ব্যবহৃত অপারেটিং কৌশলগুলি হ'ল:

-স্কোয়ারের ডিফারেন্স (a ² - b ²) = (a + b) (a - b); উপাদানটির অস্তিত্ব (ক - খ) বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই ফর্ম্যাট সীমাটির ভাগফলে এক্সটার্নেশন (এক্স - এ) সরল করে দেয় এমন ফ্যাক্টরটি বোঝায়।

- স্কোয়ার সমাপ্তি (অক্ষ ² + বিএক্স); স্কোয়ারগুলি সমাপ্ত করার পরে, একটি নিউটন দ্বিপদী প্রাপ্ত হয়, যেখানে এর 2 কারণগুলির মধ্যে একটি অনিচ্ছাকৃতত্বকে ভেঙে (x - a) অভিব্যক্তি দিয়ে সরল করা হয়।

- কনজুগেট (এ + বি) / (এ + বি); কোনও কারণের সংমিশ্রণ দ্বারা অভিব্যক্তিটিকে গুণিত করা এবং ভাগ করা অনির্দিষ্টতা ভাঙতে বড় সহায়ক হতে পারে।

- সাধারণ সমস্যা; অনেক ক্ষেত্রে ফার্মেট সীমা f (x) - f (a) এর অঙ্কটি অপারেটিংয়ের ফলাফলটি ফ্যাক্টরটি (x - a) লুকিয়ে রাখে। এর জন্য, এটি যত্ন সহকারে পর্যবেক্ষণ করা হয় যে প্রতিটি উপাদানকে ভাবের প্রতিটি উপাদানগুলিতে পুনরাবৃত্তি করা হয়।

সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন জন্য Fermat সীমা প্রয়োগ

যদিও ফারম্যাট সীমাটি সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্নের মধ্যে পার্থক্য করে না, যেহেতু এটি কেবল তার সংজ্ঞা অনুযায়ী সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি সনাক্ত করতে পারে, তবে এটি সাধারণত বিমানের শীর্ষে বা তলগুলির কার্য গণনায় ব্যবহৃত হয়।

এই উপপাদ্যের সাথে একযোগে ফাংশনগুলির গ্রাফিকাল তত্ত্বের একটি প্রাথমিক জ্ঞান ফাংশনের মধ্যে সর্বাধিক এবং ন্যূনতম মান স্থাপনের জন্য যথেষ্ট হতে পারে। প্রকৃতপক্ষে প্রতিস্থাপনের পয়েন্টগুলি ফার্মেটের উপপাদ্য ছাড়াও গড় মানের উপপাদ্য দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।

কিউবিক দৃষ্টান্ত

ফেরামাতের জন্য সর্বাধিক উল্লেখযোগ্য প্যারাডক্সটি কিউবিক প্যারাবোলার অধ্যয়ন করে এসেছে। যেহেতু তার দৃষ্টি আকর্ষণ একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর জন্য একটি ফাংশনটির স্পর্শকাতর লাইনের দিকে পরিচালিত হয়েছিল, তাই তিনি ফাংশনটির প্রতিযোগিতার পয়েন্টে ট্যানজেন্ট লাইনটি সংজ্ঞায়িত করার সমস্যায় পড়েছিলেন।

স্পর্শকাতর রেখাটি একটি বিন্দুতে নির্ধারণ করা অসম্ভব বলে মনে হয়েছিল। এভাবে তদন্ত শুরু হয় যা ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের জন্ম দেয়। গণিতের গুরুত্বপূর্ণ সূচক দ্বারা পরে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।

ম্যাক্সিমাস এবং মিনিমামাস

কোনও ফাংশনের সর্বাধিক এবং ন্যূনতম অধ্যয়ন করা শাস্ত্রীয় গণিতের জন্য একটি চ্যালেঞ্জ ছিল, যেখানে এগুলি সংজ্ঞায়িত করার জন্য একটি দ্ব্যর্থহীন এবং ব্যবহারিক পদ্ধতির প্রয়োজন ছিল।

ফারম্যাট ছোট ডিফারেনশিয়াল মানগুলির ক্রিয়াকলাপের উপর ভিত্তি করে একটি পদ্ধতি তৈরি করেছিল, যা ফ্যাক্টরিং প্রক্রিয়াগুলির পরে, সরিয়ে নেওয়া হয়, সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন মান সন্ধানের উপায় দেয়।

এই ভেরিয়েবলটিকে মূল পয়েন্টটির সমাহার নির্ধারণ করতে মূল অভিব্যক্তিতে মূল্যায়ন করতে হবে, যা বিশ্লেষণাত্মক মানদণ্ডের সাথে একত্রে প্রকাশের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন হিসাবে সংজ্ঞায়িত হবে।

পদ্ধতি

তার পদ্ধতিতে, ফার্মাট ভিয়েটের আক্ষরিক প্রতীকবাদ ব্যবহার করে, এতে মূলধন বর্ণগুলির একচেটিয়া ব্যবহার থাকে: স্বর, অজানা জন্য এবং পরিচিত পরিমাণের জন্য ব্যঞ্জনবর্ণ।

র‌্যাডিক্যাল মূল্যবোধের ক্ষেত্রে ফারম্যাট একটি বিশেষ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করেছিলেন, যা পরবর্তীতে অনন্তের মধ্যে সীমাহীন সীমাহীনতার সীমাবদ্ধতার ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হবে।

এই প্রক্রিয়াটি প্রতিটি বিভক্তিকে ব্যবহৃত ডিফারেন্সিয়ালের মান দ্বারা বিভক্ত করে। ফেরমেটের ক্ষেত্রে, তিনি E অক্ষরটি ব্যবহার করেছিলেন, যেখানে E এর সর্বোচ্চ শক্তি দ্বারা বিভাজনের পরে, সমালোচনামূলক বিন্দুর সন্ধান করা মান স্পষ্ট হয়ে যায়।

ইতিহাস

ফারম্যাট সীমা আসলে গণিতবিদদের দীর্ঘ তালিকার অন্যতম স্বনামধন্য অবদান। তার পড়াশুনা মূল সংখ্যা থেকে মূলত গণনার ভিত্তি তৈরির দিকে যায়।

পরিবর্তে, ফেরামাত তার অনুমানের প্রতি শ্রদ্ধাশীলতার জন্য পরিচিত ছিল। ইতিমধ্যে সমাধান বা প্রমাণ থাকা সত্ত্বেও তাঁর পক্ষে সেই সময়ের অন্যান্য গণিতবিদদের কাছে একধরনের চ্যালেঞ্জ রেখে যাওয়া সাধারণ ছিল।

তৎকালীন বিভিন্ন গণিতবিদদের সাথে তাঁর প্রচুর বিবাদ ও জোট ছিল, যাঁরা তাঁর সাথে কাজ করা পছন্দ করেছিলেন বা ঘৃণা করেছিলেন।

তাঁর সর্বশেষ প্রপঞ্চটি তাঁর বিশ্বব্যাপী খ্যাতির জন্য প্রধান দায়ী, যেখানে তিনি বলেছিলেন যে পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যকে কোনও ডিগ্রি "এন" এর জন্য সাধারণকরণ অসম্ভব। তিনি এর বৈধ প্রমাণ থাকার দাবি করেছেন, তবে তা প্রকাশ্যে প্রকাশের আগেই তিনি মারা গিয়েছিলেন।

এই বিক্ষোভের জন্য প্রায় 350 বছর অপেক্ষা করতে হয়েছিল। ১৯৯৫ সালে গণিতবিদ অ্যান্ড্রু ওয়াইলস এবং রিচার্ড টেলর তার শেষ তাত্ত্বিকতার বৈধ প্রমাণের মাধ্যমে প্রমাণ করেছিলেন যে তিনি ফার্মার উদ্বেগের অবসান ঘটিয়েছিলেন।

অনুশীলন

অনুশীলনী 1

স্পর্শক রেখার opeালটি বক্ররেখ (x) = x ² এ বিন্দুতে নির্ধারণ করুন (4, 16)

আমাদের কাছে থাকা ফার্ম্যাট সীমাটি প্রকাশের পরিবর্তে:

কারণগুলি (এক্স - 4) সরল করা হয়েছে

মূল্যায়ন যখন আপনার আছে

এম = 4 + 4 = 8

অনুশীলন 2

ফারমেট সীমাটি ব্যবহার করে f (x) = x ² + 4x এর সমালোচনামূলক বিন্দু সংজ্ঞায়িত করুন

জোড়ের এক্সএক্স _0- তে গ্রুপ করার চেষ্টা করে উপাদানগুলির একটি কৌশলগত গোষ্ঠীকরণ করা হয়

সর্বনিম্ন স্কোয়ারগুলি বিকশিত হয়

সাধারণ ফ্যাক্টর XX _{0 এবং নিষ্কাশন} পর্যবেক্ষণ করুন

এক্সপ্রেশনটি এখন সরল করা যেতে পারে এবং অনির্দিষ্টতা ভাঙতে পারে

সর্বনিম্ন পয়েন্টে এটি জানা যায় যে স্পর্শক রেখার opeাল শূন্যের সমান। এইভাবে আমরা শূন্যের সাথে পাওয়া এক্সপ্রেশনটিকে সমান করতে এবং এক্স ₀ মানের সমাধান করতে পারি

2 এক্স ₀ + 4 = 0

এক্স ₀ = -4/2 = -2

নিখোঁজ সমন্বয় পেতে শুধুমাত্র মূল ফাংশনের পয়েন্টটি মূল্যায়ন করা প্রয়োজন

এফ (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4

সমালোচনা পয়েন্ট হ'ল পি (-২, -4)।

তথ্যসূত্র

1. বাস্তব বিশ্লেষণ। একটি Histতিহাসিক দৃষ্টিভঙ্গি সোল স্টাহল, জন উইলি অ্যান্ড সন্স, ৫ আগস্ট। 1999।
2. পিয়ারে ডি ফেরমেটের গাণিতিক কেরিয়ার, 1601-1665: দ্বিতীয় সংস্করণ। মাইকেল শান মাহুনি। প্রিন্সটন বিশ্ববিদ্যালয় প্রেস, ৫ জুন। 2018
3. ফার্মাট থেকে মিনকোভস্কি: থিওরি অফ নাম্বার এবং তার Histতিহাসিক বিকাশের উপর বক্তৃতা। ডাব্লু। শারলাউ, এইচ। ওপোলকা, স্প্রিংগার সায়েন্স অ্যান্ড বিজনেস মিডিয়া, 1985
4. ফার্মের সর্বশেষ উপপাদ্য: বীজগণিত সংখ্যা তত্ত্বের একটি জিনগত পরিচিতি। হ্যারল্ড এম। স্প্রিঞ্জার সায়েন্স অ্যান্ড বিজনেস মিডিয়া, 14 জানুয়ারী 2000
5. Fermat দিন 85: অপ্টিমাইজেশনের জন্য গণিত। J.-B. হিরিয়ার্ট-অর্টিউটি এলসিভিয়ার, জানুয়ারী ২০১।। 1986