ইউলারের পদ্ধতি: এটি কী, পদ্ধতি এবং অনুশীলনের জন্য - গণিতশাস্ত্র - 2025

ইউলার পদ্ধতি সবচেয়ে মৌলিক এবং সহজ একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ থেকে আনুমানিক সংখ্যাসূচক সমাধান খুঁজতে ব্যবহার পদ্ধতি হল প্রদান করা প্রাথমিক অবস্থা পরিচিত হয় প্রথম আদেশ।

একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (ওডিই) হল সমীকরণ যা এর ডেরাইভেটিভগুলির সাথে একক স্বাধীন ভেরিয়েবলের একটি অজানা ফাংশন সম্পর্কিত।

ইউলারের পদ্ধতি অনুসারে ক্রমাগত আনুমানিকতা। সূত্র: ওলেগ আলেকজান্দ্রভ

সমীকরণে উপস্থিত বৃহত্তম ডেরাইভেটিভ যদি ডিগ্রি একের হয় তবে এটি প্রথম ডিগ্রির একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।

প্রথম ডিগ্রির একটি সমীকরণ রচনার সর্বাধিক সাধারণ উপায় হ'ল:

x = x ₀

y = y ₀

ইউলারের পদ্ধতি কী?

ইউলারের পদ্ধতির ধারণাটি হ'ল এক্স ₀ এবং এক্স _{এফ এর} মধ্যবর্তী ব্যবধানে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সাংখ্যিক সমাধান খুঁজে পাওয়া ।

প্রথমত, বিরতি n + 1 পয়েন্টে পৃথক করা হয়:

x ₀, এক্স ₁, এক্স ₂, এক্স ₃ …, এক্স _এন

যা এর মতো প্রাপ্ত হয়:

x _i = x ₀ + ih

যেখানে এইচটি সাবিনটার্ভালগুলির প্রস্থ বা পদক্ষেপ:

প্রাথমিক অবস্থার সাথে, তারপরে শুরুতে ডেরাইভেটিভটিও জানা সম্ভব:

y '(x _o) = f (x _o, y _o)

এই ডেরাইভেটিভ স্পষ্টভাবে y বিন্দুতে y (x) এর বক্ররেখার স্পর্শক রেখার opeালকে উপস্থাপন করে:

আও = (এক্স _ও, ই _ও)

তারপরে y (x) ফাংশনের মানটির একটি আনুমানিক পূর্বাভাস নিম্নলিখিত বিন্দুতে করা হয়:

y (x ₁) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o, y _o) = y _{o +} hf (x _o, y _o)

সমাধানটির পরবর্তী পরবর্তী আনুমানিক পয়েন্টটি পাওয়া গেছে যা এর সাথে মিল রাখবে:

এ ₁ = (x ₁, y ₁)

ধারাবাহিক পয়েন্টগুলি পেতে পদ্ধতিটি পুনরাবৃত্তি করা হয়

এ ₂, এ ₃ …, এক্স _এন

শুরুতে প্রদর্শিত চিত্রটিতে, নীল বক্ররেখাই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সঠিক সমাধানকে উপস্থাপন করে এবং লালটি ইউরার পদ্ধতি দ্বারা প্রাপ্ত ক্রমাগত আনুমানিক পয়েন্টগুলি উপস্থাপন করে।

সমাধান ব্যায়াম

অনুশীলনী 1

আমি) পার্থক্য সমীকরণ হতে দিন:

প্রাথমিক শর্ত সহ x = a = 0; এবং _একটি = 1

এলারের পদ্ধতি ব্যবহার করে, স্থানাঙ্ক X = b = 0.5 তে y এর আনুমানিক সমাধান পান, অন্তরকে n = 5 ভাগে বিভক্ত করে।

সমাধান

সংখ্যার ফলাফলগুলি সংক্ষেপে নিম্নরূপ:

যা থেকে এটি সিদ্ধান্তে পৌঁছেছে যে 0.5 এর মানটির জন্য Y এর দ্রবণটি 1.4851।

দ্রষ্টব্য: স্মার্ট স্টুডিও, বিনামূল্যে ব্যবহারের জন্য একটি নিখরচায় প্রোগ্রাম, গণনা সম্পাদন করতে ব্যবহৃত হয়েছে to

অনুশীলন 2

দ্বিতীয়) অনুশীলন I থেকে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাথে চালিয়ে যাওয়া, সঠিক সমাধানটি সন্ধান করুন এবং এটি ইউলারের পদ্ধতিতে প্রাপ্ত ফলাফলের সাথে তুলনা করুন। সঠিক এবং আনুমানিক ফলাফলের মধ্যে ত্রুটি বা পার্থক্যটি সন্ধান করুন।

সমাধান

সঠিক সমাধানটি খুঁজে পাওয়া খুব কঠিন নয়। ফাংশন sin (x) এর ডেরাইভেটিভ ফাংশন কোস (এক্স) হিসাবে পরিচিত। সুতরাং সমাধান y (x) হবে:

y (x) = sin x + C

প্রাথমিক শর্তটি পূরণ করতে এবং (0) = 1 এর জন্য ধ্রুবক সি অবশ্যই 1 এর সমান হতে হবে সঠিক ফলাফলটি তখন আনুমানিক একের সাথে তুলনা করা হয়:

এটি উপসংহারে এসেছে যে গণনা করা ব্যবধানে, আনুমানিকের যথার্থতার তিনটি উল্লেখযোগ্য পরিসংখ্যান থাকে।

অনুশীলন 3

তৃতীয়) ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং এর নীচে দেওয়া প্রাথমিক শর্তাদি বিবেচনা করুন:

y '(x) = - y ²

প্রাথমিক অবস্থায় x ₀ = 0; এবং ₀ = 1

ব্যবধানে x (x) এর সমাধানের আনুমানিক মানগুলি খুঁজে পেতে ইউলারের পদ্ধতিটি ব্যবহার করুন। পদক্ষেপ h = 0.1 ব্যবহার করুন।

সমাধান

ইউলারের পদ্ধতিটি স্প্রেডশিটের সাথে ব্যবহারের জন্য খুব উপযুক্ত। এই ক্ষেত্রে আমরা জিওজেব্রা স্প্রেডশিট ব্যবহার করব, একটি ফ্রি এবং ওপেন সোর্স প্রোগ্রাম।

চিত্রের স্প্রেডশিটটি তিনটি কলাম দেখায় (এ, বি, সি), প্রথমটি হল ভেরিয়েবল এক্স, দ্বিতীয় কলামটি ভেরিয়েবল ওয় উপস্থাপন করে এবং তৃতীয় কলামটি ডেরাইভেটিভ y '।

সারি 2 X, Y, Y 'এর প্রাথমিক মান ধারণ করে।

মান ধাপ 0.1 টি পরম অবস্থানের ঘরে ($ D $ 4) স্থাপন করা হয়েছে।

Y0 এর প্রাথমিক মানটি B2 কক্ষে এবং y1 সেল B3 এ রয়েছে B Y ₁ গণনা করতে সূত্রটি ব্যবহৃত হয়:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o, y _o) = y _{o +} hf (x _o, y _o)

এই স্প্রেডশিট সূত্রটি নম্বর বি 3 হবে: = বি 2 + $ ডি $ 4 * সি 3।

একইভাবে y2 সেল B4 এ থাকবে এবং এর সূত্রটি নিম্নলিখিত চিত্রটিতে প্রদর্শিত হবে:

চিত্রটিও সঠিক সমাধানের গ্রাফ এবং এলারের পদ্ধতি অনুসারে আনুমানিক সমাধানের A, B,…, P পয়েন্টগুলি দেখায়।

নিউটোনীয় গতিবিদ্যা এবং ইউলারের পদ্ধতি

ক্লাসিকাল গতিবিদ্যা আইজ্যাক নিউটন (1643 - 1727) দ্বারা বিকাশ করা হয়েছিল। লিওনার্ড অয়লার (1707 - 1783) তার পদ্ধতিটি বিকশিত করার মূল অনুপ্রেরণাটি ছিল বিভিন্ন শারীরিক পরিস্থিতিতে নিউটনের দ্বিতীয় আইনের সমীকরণটি সমাধান করার জন্য।

নিউটনের দ্বিতীয় আইন সাধারণত দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হিসাবে প্রকাশ করা হয়:

যেখানে x সময়ে কোন বস্তুর অবস্থানের প্রতিনিধিত্ব করে t। সাইড অবজেক্টটির একটি ভর মি আছে এবং এটি একটি শক্তির এফ এর সাথে জড়িত is ফাংশন এফটি নিম্নরূপ বল এবং ভর সম্পর্কিত mass

এলারের পদ্ধতি প্রয়োগের জন্য টি, টি, বেগ এবং অবস্থান এক্স এর প্রাথমিক মানগুলি প্রয়োজন।

নিম্নলিখিত মানটি ব্যাখ্যা করে যে কিভাবে প্রাথমিক মান টি 1, ভি 1, এক্স 1 থেকে শুরু হয়ে বেগ v2 এর একটি অনুমান এবং x2 অবস্থানটি পাওয়া যাবে তাত্ক্ষণিক t2 = t1 + att এ, যেখানে at একটি সামান্য বৃদ্ধি উপস্থাপন করে এবং পদ্ধতিটির পদক্ষেপের সাথে মিলে যায় ইউলার।

অনুশীলন 4

চতুর্থ) যান্ত্রিকগুলির অন্যতম প্রধান সমস্যা হ'ল স্থিতিস্থাপক ধ্রুবক কে এর বসন্ত (বা বসন্ত) এর সাথে আবদ্ধ ভর এম এর একটি ব্লক of

এই সমস্যার জন্য নিউটনের দ্বিতীয় আইনটি দেখতে এরকম হবে:

এই উদাহরণে, সরলতার জন্য আমরা এম = 1 এবং কে = 1 নেব। সময়ের সাথে অন্তরকে 12 ভাগে বিভক্ত করে সময় ব্যবধানে ইউলারের পদ্ধতি দ্বারা এক্স এবং বেগ v এর অবস্থানের আনুমানিক সমাধানগুলি সন্ধান করুন।

প্রাথমিক তাত্ক্ষণিক হিসাবে 0, প্রাথমিক বেগ 0 এবং প্রাথমিক অবস্থান 1 হিসাবে নিন Take

সমাধান

সংখ্যার ফলাফলগুলি নিম্নলিখিত টেবিলটিতে প্রদর্শিত হবে:

0 এবং 1.44 বারের মধ্যে অবস্থান এবং বেগের গ্রাফগুলিও প্রদর্শিত হয়।

বাড়ির জন্য প্রস্তাবিত অনুশীলন

অনুশীলনী 1

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য ইউলারের পদ্ধতিটি ব্যবহার করে একটি আনুমানিক সমাধান নির্ধারণ করতে একটি স্প্রেডশিট ব্যবহার করুন:

y '= - বিরতিতে x = 0, y = -1 প্রারম্ভিক অবস্থার সাথে এক্সপেট (-y)

একটি 0.1 পদক্ষেপ দিয়ে শুরু করুন। ফলাফল প্লট করুন।

অনুশীলন 2

একটি স্প্রেডশিট ব্যবহার করে নিম্নলিখিত চতুষ্কোণ সমীকরণের সংখ্যাসূচক সমাধানগুলি সন্ধান করুন, যেখানে y হ'ল স্বাধীন ভেরিয়েবল টি function

y '' = - 1 / y² প্রাথমিক অবস্থায় টি = 0; এবং (0) = 0.5; y '(0) = 0

0.05 এর একটি পদক্ষেপ ব্যবহার করে বিরতিতে সমাধানটি সন্ধান করুন।

ফল প্লট করুন: y বনাম টি; y 'বনাম t

তথ্যসূত্র

1. ইউলার পদ্ধতি উইকিপিডিয়া.org থেকে নেওয়া
2. ইউলার সলভার। En.smath.com থেকে নেওয়া