বিপরীত ম্যাট্রিক্স: গণনা এবং সমাধান ব্যায়াম - গণিতশাস্ত্র - 2025

বিপরীত ম্যাট্রিক্স একটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স ম্যাট্রিক্স আসল দ্বারা গুন পরিচয় ম্যাট্রিক্স দেয়। বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স লিনিয়ার সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার জন্য দরকারী, সুতরাং এটি কীভাবে গণনা করা যায় তা জরুরী।

পদার্থবিজ্ঞান, প্রকৌশল এবং গণিতে ক্ষেত্রে ম্যাট্রিকগুলি খুব দরকারী, কারণ এগুলি জটিল সমস্যা সমাধানের জন্য একটি কমপ্যাক্ট সরঞ্জাম। ম্যাট্রিক্সের ইউটিলিটি উন্নত হয় যখন তারা অবিচ্ছিন্ন হয় এবং তাদের বিপরীতটিও পরিচিত হয়।

চিত্র 1. একটি জেনেরিক 2 × 2 ম্যাট্রিক্স এবং এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দেখানো হয়েছে are (রিকার্ডো পেরেজ প্রস্তুত)

গ্রাফিক প্রক্রিয়াকরণ, বিগ ডেটা, ডেটা মাইনিং, মেশিন লার্নিং এবং অন্যান্য ক্ষেত্রে দক্ষ এবং দ্রুত অ্যালগরিদম হাজার বা মিলিয়ন ক্রমের সাহায্যে খুব বড় এন দিয়ে এনএক্সএন ম্যাট্রিক্সের বিপরীতমুখী মূল্যায়ন করতে ব্যবহৃত হয়।

লিনিয়ার সমীকরণগুলির একটি সিস্টেম পরিচালনা করতে বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্সের ব্যবহার চিত্রিত করার জন্য, আমরা সবার সহজতম ক্ষেত্রেটি শুরু করব: 1 × 1 ম্যাট্রিক্স।

সবচেয়ে সহজ কেস: একটি একক ভেরিয়েবলের রৈখিক সমীকরণ বিবেচনা করা হয়: 2 x = 10।

এক্স এর মান খুঁজে বের করার ধারণাটি রয়েছে তবে এটি "ম্যাট্রিক্স" হয়ে যাবে।

ম্যাট্রিক্স এম = (2) যা ভেক্টরকে (x) বাড়িয়ে দেয় এটি 1 1 × ম্যাট্রিক্স যা ভেক্টরের ফলাফল (10):

এম (এক্স) = (10)

ম্যাট্রিক্স এম এর বিপরীতটি এম ^-1 দ্বারা চিহ্নিত করা হয় ।

এই "লিনিয়ার সিস্টেম" লেখার সাধারণ উপায় হ'ল:

এমএক্স = বি, যেখানে এক্স ভেক্টর (এক্স) এবং বি ভেক্টর (10)।

সংজ্ঞা অনুসারে, বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স হ'ল মূল ম্যাট্রিক্সের ফলে গুণিতকরণের পরিচয় ম্যাট্রিক্স I:

এম ^-1 এম = আই

বিবেচিত ক্ষেত্রে, ম্যাট্রিক্স এম ^-1 হ'ল ম্যাট্রিক্স (½), যা এম ^-1 = (½) এম ^-1 এম = (½) (2) = (1) = আই থেকে

প্রস্তাবিত সমীকরণে অজানা ভেক্টর এক্স = (এক্স) সন্ধান করতে উভয় সদস্যই বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণিত হয়:

এম ^-1 এম (এক্স) = এম ^-1 (10)

(½) (২) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (এক্স) = (5)

(এক্স) = (5)

দুটি ভেক্টরের একটি সমতা পৌঁছে গেছে, যা তখনই সমান যখন তাদের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলি সমান হয়, অর্থাৎ x = 5।

একটি ম্যাট্রিক্সের বিপরীত গণনা করা হচ্ছে

বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্সের গণনাটি কী উত্সাহিত করে তা হল নিম্নলিখিত 2 2 2 সিস্টেমের মতো লিনিয়ার সিস্টেমগুলির সমাধানের জন্য একটি সর্বজনীন পদ্ধতি সন্ধান করা:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

পূর্ববর্তী বিভাগে অধ্যয়ন করা 1 × 1 মামলার পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করে আমরা ম্যাট্রিক্স আকারে সমীকরণের পদ্ধতিটি লিখি:

চিত্র 2. ম্যাট্রিক্স আকারে লিনিয়ার সিস্টেম।

নোট করুন যে এই সিস্টেমটি কমপ্যাক্ট ভেক্টর নোটেশনে নিম্নরূপে লিখিত হয়েছে:

এমএক্স = বি

কোথায়

পরবর্তী পদক্ষেপটি এম এর বিপরীতটি সন্ধান করা

পদ্ধতি 1: গাউসিয়ান নির্মূল ব্যবহার

গাউসিয়ান নির্মূল পদ্ধতি প্রয়োগ করা হবে। যা ম্যাট্রিক্সের সারিগুলিতে প্রাথমিক ক্রিয়াকলাপ নিয়ে গঠিত এই ক্রিয়াকলাপগুলি হ'ল:

- একটি শূন্যহীন সংখ্যা দ্বারা একটি সারি গুণ করুন।

- একটি সারি থেকে অন্য সারি বা অন্য সারির একাধিক যোগ করুন বা বিয়োগ করুন।

- সারিগুলি অদলবদল করুন।

এই অপারেশনগুলির মাধ্যমে উদ্দেশ্যটি হ'ল আসল ম্যাট্রিক্সকে পরিচয় ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর করা।

এটি করা হয়ে গেলে, ম্যাট্রিক্স এম-তে ঠিক একই অপারেশনগুলি পরিচয় ম্যাট্রিক্সে প্রয়োগ করা হয়। যখন, সারি বিভিন্ন অপারেশন পর, এম ইউনিট ম্যাট্রিক্স রুপান্তরিত করা হয়, তাহলে এক যে ছিল মূলত ইউনিট এম এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স, যে, এম পরিণত হবে ^-1 ।

1- আমরা ম্যাট্রিক্স এম লিখে এর প্রক্রিয়াটি শুরু করি এবং তার পাশেই ইউনিট ম্যাট্রিক্স:

2- আমরা দুটি সারি যুক্ত করি এবং আমরা ফলাফলটি দ্বিতীয় সারিতে রাখি, এভাবে আমরা দ্বিতীয় সারির প্রথম উপাদানটিতে একটি শূন্য পাই:

3- আমরা দ্বিতীয় সারিতে 0 এবং 1 পেতে দ্বিতীয় সারিকে -1 দিয়ে গুণ করি:

4- প্রথম সারিতে ½ দ্বারা গুণ করা হয়:

5- দ্বিতীয় এবং প্রথম যোগ করা হয় এবং ফলাফল প্রথম সারিতে স্থাপন করা হয়:

6-- এখন প্রক্রিয়াটি শেষ করতে, প্রথম সারিতে প্রথম সারিতে পরিচয় ম্যাট্রিক্স এবং দ্বিতীয়টিতে মূল ম্যাট্রিক্স এম এর বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স প্রাপ্ত করতে 2 দ্বারা গুণ করা হয়েছে:

ঐটাই বলতে হবে:

সিস্টেম সমাধান

বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্সটি একবার পাওয়ার পরে, কম্প্যাক্ট ভেক্টর সমীকরণের উভয় সদস্যকে বিপরীত ম্যাট্রিক্স প্রয়োগ করে সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করা হয়:

এম ^-1 এম এক্স = এম ^-1 বি

এক্স = এম ^-1 বি

যা সুস্পষ্টভাবে এর মতো দেখাচ্ছে:

তারপরে ভেক্টর এক্স পেতে ম্যাট্রিক্সের গুণটি করা হয়:

পদ্ধতি 2: সংযুক্ত ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে

এই দ্বিতীয় পদ্ধতিতে বিপরীত ম্যাট্রিক্স মূল ম্যাট্রিক্স এ এর অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স থেকে গণনা করা হয় ।

ধরুন একটি ম্যাট্রিক্স এ দিয়েছেন:

যেখানে _{i, j} হ'ল সারির i এবং ম্যাট্রিক্স এ এর কলাম j এর উপাদান ।

ম্যাট্রিক্স এ এর স্থগিতাদেশকে অ্যাডজ (এ) বলা হবে এবং এর উপাদানগুলি হ'ল:

বিজ্ঞাপন _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} -আই, জে

যেখানে আই, জে মূল ম্যাট্রিক্স এ এর সারি i এবং কলাম জে মুছে ফেলে পরিপূরক লোয়ার ম্যাট্রিক্স । বারগুলি ¦ ¦ নির্দেশ করে যে নির্ধারক গণনা করা হয়, অর্থাৎ , এআই, জে অপ্রাপ্তবয়স্ক পরিপূরক ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক।

বিপরীত ম্যাট্রিক্স সূত্র

মূল ম্যাট্রিক্সের সংলগ্ন ম্যাট্রিক্স থেকে শুরু করে বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স সন্ধানের সূত্রটি নিম্নরূপ:

কথা হচ্ছে, এসব বিপরীত ম্যাট্রিক্স একটি, একটি ^-1, এর adjoint এর TRANSPOSE হয় একটি এর নির্ধারক দ্বারা বিভক্ত একটি ।

ম্যাট্রিক্স এ এর ট্রান্সপোজ A ^টি কলামগুলির জন্য সারি বিনিময় দ্বারা প্রাপ্ত হয়, অর্থাৎ প্রথম সারিতে প্রথম কলাম হয় এবং দ্বিতীয় সারিতে দ্বিতীয় কলাম হয়ে যায় এবং যতক্ষণ না মূল ম্যাট্রিক্সের n সারিগুলি সম্পন্ন না হয়।

অনুশীলনের সমাধান হয়েছে

ম্যাট্রিক্স এ নিম্নলিখিত হতে দিন:

এ এর অ্যাডমিন্ট ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদান গণনা করা হয়: অ্যাডজ (এ)

এ, অ্যাডজ (এ) এর সাময়িক ম্যাট্রিক্সের ফলাফলটি নিম্নলিখিত:

তারপরে ম্যাট্রিক্স এ, ডিট (এ) এর নির্ধারক গণনা করা হয়:

শেষ পর্যন্ত এ এর ​​বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়:

তথ্যসূত্র

1. অ্যান্টনি নিকোলাইডস (1994) নির্ধারণকারী ও ম্যাট্রিকেস। পাস পাবলিকেশন।
2. আওল আসসেন (২০১৩) একটি 3 × 3 এর নির্ধারকদের গণনার উপর একটি গবেষণা
3. ক্যাসেলিরো ভিলালবা এম। (2004) লিনিয়ার বীজগণিতের পরিচিতি। ESIC সম্পাদকীয়।
4. ডেভ কার্কবি (2004) ম্যাথস কানেক্ট। Heinemann।
5. জেনি অলিভ (1998) গণিত: একজন শিক্ষার্থীর বেঁচে থাকার গাইড। ক্যামব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস.
6. রিচার্ড জে ব্রাউন (২০১২) ৩০-দ্বিতীয় গণিত: গণিতে 50 টি সবচেয়ে বেশি মন-বিস্তৃত তত্ত্ব। আইভি প্রেস লিমিটেড
7. ম্যাট্রিক্স। ল্যাপ ল্যামবার্ট একাডেমিক প্রকাশনা।