একটি অर्थ োগোনাল ম্যাট্রিক্স রয়েছে যখন বলা হয় ম্যাট্রিক্স তার ট্রান্সপোজ দ্বারা গুণিত করে পরিচয় ম্যাট্রিক্সে। যদি কোনও ম্যাট্রিক্সের বিপরীতটি ট্রান্সপোজোর সমান হয় তবে মূল ম্যাট্রিক্সটি অর্থ্থোনাল।
অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্য রয়েছে যে সারিগুলির সংখ্যা কলামের সংখ্যার সমান। তদ্ব্যতীত, সারি ভেক্টরগুলি ইউনিট অর্থোগোনাল ভেক্টর এবং ট্রান্সপোজ সারি ভেক্টরগুলিও।
চিত্র 1. অরথোগোনাল ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ এবং এটি কীভাবে জ্যামিতিক বস্তুকে রূপান্তরিত করে। (রিকার্ডো পেরেজ প্রস্তুত)
যখন একটি অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্সকে ভেক্টর স্পেসের ভেক্টরগুলি দ্বারা গুণিত করা হয়, তখন এটি একটি আইসোমেট্রিক রূপান্তর ঘটায়, এটি এমন একটি রূপান্তর যা দূরত্ব পরিবর্তন করে না এবং কোণগুলি সংরক্ষণ করে।
অরথোগোনাল ম্যাট্রিক্সের একটি সাধারণ প্রতিনিধি হ'ল ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স। ভেক্টর স্পেসে অर्थোগোনাল ম্যাট্রিকের ট্রান্সফর্মেশনগুলিকে অরথোগোনাল ট্রান্সফর্মেশন বলা হয়।
তাদের কার্তেসিয়ান ভেক্টর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা পয়েন্টগুলির ঘূর্ণন এবং প্রতিবিম্বের জ্যামিতিক রূপান্তরগুলি রূপান্তরিত ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি পাওয়ার জন্য মূল ভেক্টরগুলিতে অর্থোগোনাল ম্যাট্রিকগুলি প্রয়োগ করে পরিচালিত হয়। এই কারণেই অर्थোগোনাল ম্যাট্রিকগুলি কম্পিউটার গ্রাফিক্স প্রসেসিংয়ে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।
প্রোপার্টি
একটি ম্যাট্রিক্স এম লম্ব যদি গুন দ্বারা তার TRANSPOSE হয় এম টি ফলে পরিচয় ম্যাট্রিক্স দেয় আমি । একইভাবে, আসল ম্যাট্রিক্স দ্বারা অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্সের স্থানান্তরের পণ্য সনাক্তকরণের ম্যাট্রিক্সের ফলাফল:
এমএম টি = এম টি এম = আই
পূর্ববর্তী বক্তব্যের ফলস্বরূপ, আমাদের কাছে একটি অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্সের স্থানান্তর তার বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সমান:
এম টি = এম -1 ।
মাত্রা এনএক্সএন এর অর্থোগোনাল ম্যাট্রিকের সেট অরথোগোনাল গ্রুপ ও (এন) গঠন করে। এবং নির্ধারক +1 সহ অर्थোগোনাল ম্যাট্রিক্সের ও (এন) এর উপসেট গ্রুপ অফ ইউনিটরি স্পেশাল ম্যাট্রিকেস এসইউ (এন) গঠন করে। গ্রুপ এসইউ (এন) এর ম্যাট্রিকগুলি ম্যাট্রিক্স যা ঘূর্ণনের রৈখিক রূপান্তর উত্পাদন করে, এটি ঘূর্ণনের গ্রুপ হিসাবেও পরিচিত।
প্রদর্শন
আমরা দেখাতে চাই যে একটি ম্যাট্রিক্স অর্থোগোনাল হয় এবং কেবল যদি সারি ভেক্টর (বা কলাম ভেক্টর) একে অপরের এবং আদর্শ 1 এর orthogonal হয়।
ধরা যাক একটি অরথোগোনাল ম্যাট্রিক্স nxn এর সারিগুলি n অর্থনোমাল ভেক্টর n এর মাত্রা n। যদি এটি ভি 1 , ভি 2 ,…।, ভি এন দ্বারা চিহ্নিত করা হয় তবে এন ভেক্টর হোল্ড করে:
যেখানে এটি স্পষ্ট যে সত্যই সারি ভেক্টরগুলির সেটটি আদর্শের সাথে অর্থোগোনাল ভেক্টরগুলির একটি সেট।
উদাহরণ
উদাহরণ 1
2 x 2 ম্যাট্রিক্সটি দেখান যে এর প্রথম সারিতে ভেক্টর ভি 1 = (-1 0) রয়েছে এবং এর দ্বিতীয় সারিতে ভেক্টর ভি 2 = (0 1) একটি অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স।
সমাধান: ম্যাট্রিক্স এম নির্মিত এবং তার ট্রান্সপোজ এম টি গণনা করা হয়:
এই উদাহরণে ম্যাট্রিক্স এম স্ব-পরিবহিত, অর্থাৎ ম্যাট্রিক্স এবং এর ট্রান্সপোজ অভিন্ন। গুন এম তার TRANSPOSE দ্বারা এম টি:
এটি যাচাই করা হয়েছে যে এমএম টি পরিচয় ম্যাট্রিক্সের সমান:
যখন ম্যাট্রিক্স এম কোনও ভেক্টর বা বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা গুণিত হয়, তখন নতুন স্থানাঙ্ক পাওয়া যায় যা ম্যাট্রিক্স ভেক্টর বা বিন্দুর পরিবর্তনের সাথে মিল রাখে।
চিত্র 1 দেখায় কিভাবে এম ভেক্টর রূপান্তরিত তোমার দর্শন লগ করা মধ্যে U ' এবং কিভাবে এম লাল বহুভুজ মধ্যে নীল বহুভুজ রূপান্তরিত করে। এম যেহেতু অরথোগোনাল তাই এটি তখন একটি অर्थোগোনাল রূপান্তর, যা দূরত্ব এবং কোণগুলি সংরক্ষণ করে।
উদাহরণ 2
ধরুন আপনার নীচের এক্সপ্রেশন দ্বারা প্রদত্ত বাস্তবগুলিতে 2 x 2 ম্যাট্রিক্স সংজ্ঞায়িত হয়েছে:
A, b, c এবং d এর প্রকৃত মানগুলি সন্ধান করুন যে ম্যাট্রিক্স এম একটি অর্থোোনাল ম্যাট্রিক্স।
সমাধান: সংজ্ঞা অনুসারে, একটি ম্যাট্রিক্স অরথোগোনাল হয় যদি এর ট্রান্সপোজ দিয়ে গুণিত করে পরিচয় ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়। ট্রান্সপোজেড ম্যাট্রিক্স মূল থেকে প্রাপ্ত হয়েছে, কলামগুলির জন্য সারি বিনিময় করে, নিম্নলিখিত সাম্যতা পাওয়া যায়:
আমাদের রয়েছে ম্যাট্রিক্সের গুণন সম্পাদন:
বাম ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলিকে ডানদিকে পরিচয় ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলির সাথে সমান করে আমরা চারটি অজানা a, b, c এবং d সহ চারটি সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই।
আমরা ট্রিগনোমেট্রিক অনুপাত সাইন এবং কোসাইনের ক্ষেত্রে নীচের এক্সপ্রেশনগুলির জন্য একটি, বি, সি এবং ডি প্রস্তাব করি:
এই প্রস্তাবের সাথে এবং মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয়ের কারণে প্রথম এবং তৃতীয় সমীকরণ ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলির সাম্যতায় স্বয়ংক্রিয়ভাবে সন্তুষ্ট। প্রস্তাবিত মানগুলির প্রতিস্থাপনের পরে তৃতীয় এবং চতুর্থ সমীকরণগুলি একই এবং ম্যাট্রিক্স সমতাতে এটির মতো দেখায়:
যা নিম্নলিখিত সমাধানের দিকে নিয়ে যায়:
অবশেষে অরথোগোনাল ম্যাট্রিক্স এম এর জন্য নিম্নলিখিত সমাধানগুলি পাওয়া যায়:
দ্রষ্টব্য যে সমাধানগুলির মধ্যে প্রথমটি নির্ধারক +1 থাকে সুতরাং এটি গ্রুপ এসইউ (2) এর সাথে সম্পর্কিত, যখন দ্বিতীয় সমাধানটিতে নির্ধারক -1 রয়েছে এবং তাই এই গ্রুপের অন্তর্ভুক্ত নয়।
উদাহরণ 3
নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্স দেওয়া, a এবং b এর মানগুলি সন্ধান করুন যাতে আমাদের একটি অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স থাকে।
সমাধান: প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সকে অর্থোগোনাল হওয়ার জন্য, এর ট্রান্সপোজ সহ পণ্যটি অবশ্যই পরিচয় ম্যাট্রিক্স হতে হবে। তারপরে, প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের তার ট্রান্সপোজড ম্যাট্রিক্সের ম্যাট্রিক্স পণ্যটি নিম্নলিখিত ফলাফল প্রদান করে:
এর পরে, ফলাফলটি 3 x 3 পরিচয় ম্যাট্রিক্সের সাথে সমান হয়:
দ্বিতীয় সারিতে, তৃতীয় কলামটিতে (ab = 0) রয়েছে, তবে এটি শূন্য হতে পারে না, কারণ অন্যথায় দ্বিতীয় সারির এবং দ্বিতীয় কলামের উপাদানগুলির সাম্যতা পূর্ণ হবে না। তারপরে অগত্যা খ = 0। আমাদের 0 মানটির জন্য বি প্রতিস্থাপন:
তারপরে সমীকরণটি সমাধান করা হবে: 2 ক ^ 2 = 1, যার সমাধানগুলি: + ½√2 এবং -½√2।
একটির জন্য ইতিবাচক সমাধান গ্রহণ করে, নিম্নলিখিত অরথোগোনাল ম্যাট্রিক্স প্রাপ্ত হয়:
পাঠক সহজেই যাচাই করতে পারেন যে সারি ভেক্টরগুলি (এবং কলামের ভেক্টরগুলিও) অরথোগোনাল এবং একক, অর্থাৎ অর্থোন্নাল or
উদাহরণ 4
দেখান যে ম্যাট্রিক্স এ যার সারি ভেক্টরগুলি v1 = (0, -1 0), v2 = (1, 0, 0) এবং v3 = (0 0 -1) একটি অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স। অতিরিক্তভাবে সন্ধান করুন ভেক্টরগুলি ক্যানোনিকাল ভিত্তি i, j, k থেকে ভেক্টরগুলিতে u1, u2 এবং u3 তে রূপান্তরিত হয়েছে ।
সমাধান: এটি মনে রাখা উচিত যে ম্যাট্রিক্সের উপাদানটি তার ট্রান্সপোজ দ্বারা গুণিত হয়, এটি ট্রান্সপোজোর কলাম (জ) এর সারি (i) এর ভেক্টরের স্কেলার পণ্য। তদুপরি, এই পণ্যটি ম্যাট্রিক্স অরথোগোনাল ক্ষেত্রে ক্রোনেকার ডেল্টার সমান:
আমাদের ক্ষেত্রে এটি দেখতে এরকম দেখাচ্ছে:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
যা দিয়ে এটি প্রদর্শিত হয় যে এটি একটি অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স।
তদুপরি u1 = এ i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) এবং অবশেষে u3 = এ কে = (0, 0, -1)
তথ্যসূত্র
- অ্যান্টনি নিকোলাইডস (1994) নির্ধারণকারী ও ম্যাট্রিকেস। পাস পাবলিকেশন।
- বীরখফ এবং ম্যাকলেন। (1980)। আধুনিক বীজগণিত, এড। ভিসেনস-ভিভস, মাদ্রিদ।
- ক্যাসেলিরো ভিলালবা এম। (2004) লিনিয়ার বীজগণিতের পরিচিতি। ESIC সম্পাদকীয়।
- ডেভ কার্কবি (2004) ম্যাথস কানেক্ট। Heinemann।
- জেনি অলিভ (1998) গণিত: একজন শিক্ষার্থীর বেঁচে থাকার গাইড। ক্যামব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস.
- রিচার্ড জে ব্রাউন (২০১২) ৩০-দ্বিতীয় গণিত: গণিতে 50 টি সবচেয়ে বেশি মন-বিস্তৃত তত্ত্ব। আইভি প্রেস লিমিটেড
- উইকিপিডিয়া। অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: এস.ইউইকিভিডিয়া
- উইকিপিডিয়া। অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: en.wikedia.com থেকে ipedia