প্রধান সংখ্যা: বৈশিষ্ট্য, উদাহরণ, অনুশীলন - গণিত - 2025

মৌলিক সংখ্যার, এছাড়াও প্রধানমন্ত্রী পরম, যারা প্রাকৃতিক সংখ্যা যা নিজেরাই শুধুমাত্র বিভাজ্য হয় 1. এই বিভাগ 2 ভালো নম্বর, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 এবং অনেক নামক প্লাস

পরিবর্তে, একটি যৌগিক সংখ্যা নিজেই, 1 দ্বারা বিভাজ্য এবং কমপক্ষে অন্য একটি সংখ্যা। আমাদের উদাহরণস্বরূপ 12 রয়েছে, যা 1, 2, 4, 6 এবং 12 দ্বারা বিভাজ্য কনভেনশন অনুসারে, 1 মৌলিক সংখ্যার তালিকায় বা যৌগের তালিকায় অন্তর্ভুক্ত নয়।

চিত্র 1. কিছু প্রাথমিক সংখ্যা। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

আদি সংখ্যাগুলির জ্ঞান প্রাচীন যুগের; প্রাচীন মিশরীয়রা ইতিমধ্যে তাদের ব্যবহার করেছিল এবং তারা অবশ্যই অনেক আগে থেকেই পরিচিত ছিল।

এই সংখ্যাগুলি খুব গুরুত্বপূর্ণ, যেহেতু যে কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার পণ্য দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, কারণগুলির ক্রম বাদে এই উপস্থাপনাটি অনন্য।

এই সত্যটি সম্পূর্ণরূপে অ্যারিমেটিকের ফান্ডামেন্টাল উপপাদ্য নামে একটি উপপাদিতে প্রতিষ্ঠিত, যা বলে যে সংখ্যাগুলি যে মৌলিক নয় সেগুলি অগত্যা সংখ্যার পণ্যগুলির সমন্বয়ে গঠিত।

প্রাথমিক সংখ্যাগুলির বৈশিষ্ট্য

এখানে মূল সংখ্যার প্রধান বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

-তারা অসীম, যেহেতু মূল সংখ্যাটি কত বড়, আপনি সর্বদা একটি বৃহত্তর একটি খুঁজে পেতে পারেন।

-যদি একটি মৌলিক সংখ্যা পি অন্য একটি সংখ্যাকে ঠিক ভাগ না করে, তবে বলা হয় যে পি এবং একটি একে অপরের কাছে প্রধান। যখন এটি হয়, উভয়র মধ্যে একমাত্র সাধারণ বিভাজক 1 is

এটির জন্য পরম প্রধানমন্ত্রী হওয়ার প্রয়োজন নেই। উদাহরণস্বরূপ, 5 মূল, এবং যদিও 12 নয়, উভয় সংখ্যা একে অপরের কাছে প্রধান, যেহেতু উভয়ই একটি সাধারণ বিভাজক হিসাবে 1 রয়েছে।

-যখন একটি মৌলিক সংখ্যা পি সংখ্যার एनকে ভাগ করে, এটি n কেও ভাগ করে। আসুন 100 বিবেচনা করুন, যা 10 এর একটি শক্তি, বিশেষত 10 ² । এটি ঘটে যে 2 100 এবং 10 উভয়কে ভাগ করে।

- সমস্ত মৌলিক সংখ্যা 2 ব্যতীত পৃথক, অতএব এটির শেষ সংখ্যাটি 1, 3, 7 বা 9. নয় 5 5 অন্তর্ভুক্ত নয়, যদিও এটি বিজোড় এবং মৌলিক হলেও এটি অন্য কোনও মৌলিক সংখ্যার চূড়ান্ত চিত্র নয়। প্রকৃতপক্ষে 5 টিতে সমস্ত সংখ্যার সমাপ্তি এটির গুণক এবং তাই এগুলি প্রধান নয়।

-পি পি দুটি সংখ্যার গুণফলের গুণক এবং বিভাজক হলে পি তাদের মধ্যে একটি ভাগ করে দেয়। উদাহরণস্বরূপ, প্রাইম নম্বর 3টি 9 x 11 = 99 ভাগকে ভাগ করে, 3 যেহেতু 9 এর বিভাজক।

সংখ্যাটি প্রাইম কিনা তা কীভাবে জানবেন

আধ্যাত্মিকতা প্রধান হওয়ার গুণমান দেওয়া নাম। হ্যাঁ, ফরাসী গণিতবিদ পিয়েরে ডি ফেরমাট (1601-1665) একটি সংখ্যার প্রাথমিকতা যাচাই করার একটি উপায় খুঁজে পেয়েছিলেন, যা তথাকথিত ফর্ম্যাট-এর তথাকথিত ছোট উপপাদ্যটিতে রয়েছে:

"একটি মৌলিক প্রাকৃতিক সংখ্যা পি এবং যে কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যাকে ০ এর চেয়ে বড় দেওয়া হয়েছে, এটি সত্য যে ^পি -এ ^{পি এর} একাধিক, পি যতক্ষণ না মৌলিক হয়"।

আমরা ছোট সংখ্যার সাহায্যে এটি সংশ্লেষ করতে পারি, উদাহরণস্বরূপ ধরুন যে পি = 4, যা আমরা ইতিমধ্যে জানি প্রাথমিক এবং ইতিমধ্যে = 6 নয়:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

1290 নম্বরটি 4 দ্বারা ঠিক বিভাজ্য নয়, সুতরাং 4 টি মৌলিক সংখ্যা নয়।

আসুন এখন পরীক্ষায় পি = 5 দিয়ে আসি যা মূল এবং ইয়া = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

0 বা 5 এ শেষ হওয়া যে কোনও সংখ্যা হওয়ায় 7760 5 দ্বারা বিভাজ্য। প্রকৃতপক্ষে 7760/5 = 1554. যেহেতু ফার্মার সামান্য উপপাদ্য রয়েছে, আমরা নিশ্চিত করতে পারি যে 5টি একটি মৌলিক সংখ্যা।

উপপাদ্যটির মাধ্যমে প্রমাণটি কার্যকর এবং সংক্ষিপ্ত সংখ্যার সাথে প্রত্যক্ষ, যার মধ্যে ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করা সহজ, তবে যদি আমাদের একটি বৃহত সংখ্যার প্রাথমিকতা জানতে চাওয়া হয় তবে কী করবেন?

সেক্ষেত্রে সংখ্যাটি ক্রমিকভাবে সমস্ত ছোট ছোট সংখ্যার মধ্যে বিভক্ত হয়, যতক্ষণ না কোনও সঠিক বিভাগ পাওয়া না যায় বা ভাগফলকের চেয়ে ভাগফল কম হয়।

যদি কোনও বিভাগ সঠিক হয় তবে এর অর্থ হ'ল সংখ্যাটি যৌগিক এবং যদি ভাগফলটি বিভাজকের তুলনায় কম হয় তবে এর অর্থ হ'ল সংখ্যাটি প্রধান। সলিউড ব্যায়াম 2 এটিকে আমরা অনুশীলনে রাখব।

একটি প্রাথমিক নম্বর সন্ধান করার উপায়

অসীম অনেকগুলি মূল সংখ্যা রয়েছে এবং সেগুলি নির্ধারণের জন্য কোনও একক সূত্র নেই। যাইহোক, এই জাতীয় কিছু সংখ্যক দিকে তাকিয়ে:

3, 7, 31, 127…

দেখা গেছে যে তারা এন = 2, 3, 5, 7, 9 সহ 2 ^এন - 1 ফর্মের… আমরা এটি নিশ্চিত করি:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

তবে আমরা নিশ্চিত করতে পারি না যে সাধারণভাবে 2 ^এন - 1 প্রধান, কারণ এন এর কিছু মান রয়েছে যার জন্য এটি কাজ করে না, উদাহরণস্বরূপ 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

এবং 15 নম্বরটি মূল নয়, যেহেতু এটি 5 এ শেষ হয় However তবে কম্পিউটারের গণনা দ্বারা পাওয়া বৃহত্তম পরিচিত প্রাইমগুলির মধ্যে একটি হল 2 ^এন - 1 সহ ফর্মটির:

n = 57,885,161

মার্সেনির সূত্র আমাদের আশ্বস্ত করে যে 2 ^পি - 1 সর্বদা প্রধান, যতক্ষণ না পি প্রাইম থাকে ততক্ষণ। উদাহরণস্বরূপ, 31 প্রধান, সুতরাং এটি নিশ্চিত যে 2 ³¹ - 1 এছাড়াও প্রধান:

2 ³¹ - 1 = 2,147,483,647

তবে সূত্রটি আপনাকে কেবল কয়েকটি প্রাথমিক সংখ্যা নির্ধারণ করতে দেয়, সমস্তটি নয়।

ইউলারের সূত্র

নিম্নলিখিত বহুপদীতে প্রাথমিক সংখ্যাগুলি শনাক্ত করতে দেয় যা প্রদত্ত যেগুলি 0 থেকে 39 এর মধ্যে থাকে:

পি (এন) = এন ² + এন + 41

পরে সমাধান ব্যায়াম বিভাগে এর ব্যবহারের একটি উদাহরণ রয়েছে।

ইরোটোথিনিসের চালনী

ইরোটোথিনিস ছিলেন খ্রিস্টপূর্ব তৃতীয় শতাব্দীতে বসবাসকারী প্রাচীন গ্রীসের একজন পদার্থবিদ এবং গণিতবিদ। তিনি অল্প সংখ্যক ব্যবহার করে আমরা যে সংখ্যাটি অনুশীলন করতে পারি তার সন্ধানের জন্য একটি গ্রাফিক পদ্ধতি তৈরি করেছিলেন, এটিকে ইরোটোস্টিনিস চালনা বলা হয় (একটি চালনী একটি চালনী মত)।

অ্যানিমেশনটিতে প্রদর্শিত নম্বরগুলির মতো একটি টেবিলের মধ্যে নম্বরগুলি রাখা হয়।

- এমনকি সংখ্যাগুলি তখন অতিক্রম করা হয়, 2 যেগুলি আমরা জানি যে প্রাইম। অন্য সমস্তগুলি এর গুণক এবং তাই প্রধান নয়।

-3, 5, 7 এবং 11 এর গুণকগুলিও চিহ্নিত করা হয়েছে, সেগুলি বাদ দিয়ে কারণ আমরা জানি তারা প্রধান।

4, 6, 8, 9 এবং 10 এর গুণকগুলি ইতিমধ্যে চিহ্নিত হয়েছে, কারণ সেগুলি যৌগিক এবং তাই নির্দেশিত কয়েকটি প্রাইমের গুণক multip

- শেষ পর্যন্ত, যে সংখ্যাগুলি চিহ্নহীন থাকে সেগুলি প্রধান।

চিত্র 2. ইরোটোথিনিস চালনী অ্যানিমেশন। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

অনুশীলন

- অনুশীলনী 1

মূল সংখ্যার জন্য ইউরার বহুপদী ব্যবহার করে, 100 টিরও বেশি 3 টি সংখ্যা আবিষ্কার করুন।

সমাধান

এটিই বহুভেন্দ্রিক যা আউলার মৌলিক সংখ্যাগুলি সন্ধানের প্রস্তাব করেছিলেন, যা 0 এবং 39 এর মধ্যে n এর মানগুলির জন্য কাজ করে।

পি (এন) = এন ² + এন + 41

পরীক্ষা এবং ত্রুটির দ্বারা আমরা n এর মান নির্বাচন করি, উদাহরণস্বরূপ n = 8:

পি (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

যেহেতু n = 8 100 এর চেয়ে বেশি সংখ্যক প্রাথমিক সংখ্যা উত্পাদন করে, তারপরে আমরা n = 9 এবং n = 10 এর জন্য বহুবচনটি মূল্যায়ন করি:

পি (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

পি (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- অনুশীলন 2

নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলি প্রধান কিনা তা সন্ধান করুন:

ক) 13

খ) 191

সমাধান

13 টি ফার্মেটের সামান্য উপপাদ্য এবং ক্যালকুলেটারের সাহায্যের জন্য যথেষ্ট ছোট।

আমরা একটি = 2 ব্যবহার করি যাতে সংখ্যাগুলি খুব বেশি না হয়, যদিও a = 3, 4 বা 5 ব্যবহার করা যায়:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 2 দ্বারা বিভাজ্য, যেহেতু এটি সমান, তাই 13 প্রধান। পাঠক একটি = 3 দিয়ে একই পরীক্ষা করে এটি সংশোধন করতে পারেন।

সমাধান খ

191 উপপাদ্য এবং একটি সাধারণ ক্যালকুলেটর দিয়ে প্রমাণ করার জন্য খুব বড়, তবে আমরা প্রতিটি মৌলিক সংখ্যার মধ্যে বিভাজন খুঁজে পেতে পারি। আমরা 2 দিয়ে বিভাজন বাদ দিই কারণ 191 সমান নয় এবং বিভাগটি সঠিক হবে না বা ভাগফল 2 এর চেয়ে কম হবে।

আমরা 3 দ্বারা ভাগ করার চেষ্টা করি:

191/3 = 63,666…

এবং এটি সঠিক দেয় না, বা ভাগকের চেয়ে ভাগফলও কম নয় (,৩,6666… ৩ এর চেয়ে বড়)

আমরা এভাবে 5১, 7, 11, 13 প্রাইমগুলির মধ্যে 191 ভাগ করার চেষ্টা চালিয়ে যাচ্ছি এবং সঠিক বিভাজনটিও পৌঁছেছে না এবং ভাগকের চেয়ে ভাগফলও কম নয় less এটি 17 দ্বারা ভাগ না করা পর্যন্ত:

191/17 = 11, 2352…

যেহেতু এটি সঠিক নয় এবং 11.2352… 17 এর চেয়ে কম, তাই 191 সংখ্যাটি প্রধান is

তথ্যসূত্র

1. বাল্ডোর, এ 1986. গাণিতিক। সংস্করণ এবং বিতরণ কোডেক্স।
2. প্রিয়ো, সি। মৌলিক সংখ্যা। উদ্ধারকৃত থেকে: প্যাগিনাস.মেটেম.ুনাম.এমএক্স।
3. মৌলিক সংখ্যার বৈশিষ্ট্য। উদ্ধারকৃত থেকে: mae.ufl.edu।
4. স্মার্টিক প্রধান সংখ্যা: ইরোটোথিনিস চালনী দিয়ে কীভাবে সেগুলি খুঁজে পাবেন। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: স্মার্টিক.য়েস।
5. উইকিপিডিয়া। মৌলিক সংখ্যা. উদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.org থেকে ipedia