যুক্তিযুক্ত সংখ্যা: বৈশিষ্ট্য, উদাহরণ এবং ক্রিয়াকলাপ - গণিত - 2025

মূলদ সংখ্যার সমস্ত নম্বর দুই পূর্ণসংখ্যার বিভাগ হিসেবে প্রাপ্ত করা যাবে আছে। যুক্তিযুক্ত সংখ্যার উদাহরণগুলি: 3/4, 8/5, -16/3 এবং নিম্নলিখিত চিত্রটিতে প্রদর্শিত হবে। যুক্তিযুক্ত সংখ্যায় ভাগফলকে নির্দেশ করা হয়, প্রয়োজনে এটি পরে করা সম্ভব।

চিত্রটি যে কোনও বস্তুর প্রতিনিধিত্ব করে, বৃহত্তর আরামের জন্য বৃত্তাকার। আমরা যদি এটি ডান হিসাবে 2 টি সমান ভাগে ভাগ করতে চাই তবে আমাদের দুটি অর্ধ ভাগ বাকি আছে এবং প্রতিটিটির মূল্য 1/2।

চিত্র 1. যুক্তিযুক্ত সংখ্যাগুলি পুরো অংশটিকে বিভিন্ন ভাগে ভাগ করতে ব্যবহৃত হয়। সূত্র: ফ্রিজভ

এটিকে 4 টি সমান ভাগে ভাগ করে আমরা 4 টি টুকরোগুলি পেয়ে যাব এবং প্রতিটির কেন্দ্রের চিত্রের মতো 1/4 মূল্য হবে। এবং যদি এটি 6 টি সমান অংশে বিভক্ত করতে হয়, প্রতিটি অংশের মূল্য হবে 1/6, যা আমরা বাম দিকে চিত্রটিতে দেখি।

অবশ্যই, আমরা এটিকে দুটি অসম অংশেও বিভক্ত করতে পারি, উদাহরণস্বরূপ আমরা 3/4 অংশ রাখতে পারি এবং 1/4 অংশ সংরক্ষণ করতে পারি। অন্যান্য বিভাগগুলিও সম্ভব, যেমন 4/6 অংশ এবং 2/6 অংশগুলি। গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টি হ'ল সমস্ত অংশের যোগফল 1 হয়।

এইভাবে, এটি সুস্পষ্ট যে যুক্তিযুক্ত সংখ্যার সাহায্যে আপনি ভগ্নাংশে খাদ্য, অর্থ, জমি এবং সমস্ত ধরণের বস্তুর মতো জিনিসকে বিভাজন, গণনা এবং বিতরণ করতে পারেন। এবং সুতরাং সংখ্যার সাহায্যে করা যায় এমন ক্রিয়াকলাপগুলি প্রসারিত হয়।

যুক্তিযুক্ত সংখ্যাগুলি দশমিক আকারেও প্রকাশ করা যেতে পারে, যেমন নিম্নলিখিত উদাহরণগুলিতে দেখা যায়:

1/2 = 0.5

1/3 = 0.3333…..

3/4 = 0.75

1/7 = 0.142857142857142857 ………

পরে আমরা উদাহরণ সহ একটি ফর্ম থেকে অন্য ফর্মে কীভাবে যেতে পারি তা নির্দেশ করি।

যুক্তিযুক্ত সংখ্যার বৈশিষ্ট্য

যুক্তিযুক্ত সংখ্যা, যার সেট আমরা Q অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করব, নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি রয়েছে:

-কিউতে প্রাকৃতিক সংখ্যা এন এবং পূর্ণসংখ্যার জেড অন্তর্ভুক্ত রয়েছে Q

যে কোনও সংখ্যাকে নিজের এবং 1 এর মধ্যে ভাগফল হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে তা বিবেচনায় রেখে, এটি সহজেই বোঝা যায় যে মূলদ সংখ্যার মধ্যে প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং পূর্ণসংখ্যাও রয়েছে।

সুতরাং, প্রাকৃতিক সংখ্যা 3 ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যেতে পারে, এবং -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

এইভাবে, কিউ একটি সংখ্যাসূচক সেট যা একটি বৃহত্তর সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত করে, খুব প্রয়োজনীয় কিছু, যেহেতু "বৃত্তাকার" সংখ্যাগুলি করার জন্য সমস্ত সম্ভাব্য ক্রিয়াকলাপ বর্ণনা করার জন্য যথেষ্ট নয়।

-যুক্তিযুক্ত সংখ্যাগুলি যুক্ত, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ করা যায়, অপারেশনের ফলাফলটি যুক্তিযুক্ত সংখ্যা: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2।

প্রতিটি যৌক্তিক সংখ্যার মধ্যে, আরও একটি যুক্তিযুক্ত সংখ্যা সর্বদা পাওয়া যায়। দুটি যৌক্তিক সংখ্যার মধ্যে আসলে অসীম যৌক্তিক সংখ্যা রয়েছে।

উদাহরণস্বরূপ, ১/৪ এবং ১/২ এর মধ্যে যৌক্তিকতাগুলি হল 3/10, 7/20, 2/5 (এবং আরও অনেক), যা তাদের দশমিক হিসাবে প্রকাশ করে যাচাই করা যেতে পারে।

যে কোনও যুক্তিযুক্ত সংখ্যা হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে: i) একটি সম্পূর্ণ সংখ্যা বা ii) একটি সীমাবদ্ধ (কঠোর) বা পর্যায়ক্রমিক দশমিক: 4/2 = 2; 1/4 = 0.25; 1/6 = 0.16666666 ……

-অন্যসংখ্যক সমতুল্য ভগ্নাংশ দ্বারা একটি একই সংখ্যা উপস্থাপন করা যেতে পারে এবং এগুলির সবগুলিই Q এর অন্তর্ভুক্ত Let's আসুন এই গ্রুপটি দেখুন:

তারা সবাই দশমিক 0.428571 প্রতিনিধিত্ব করে…

- একই সংখ্যার প্রতিনিধিত্বকারী সমস্ত সমতুল্য ভগ্নাংশের মধ্যে অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ, সকলের মধ্যে সহজতম, সেই সংখ্যার আধ্যাত্মিক প্রতিনিধি। উপরের উদাহরণটির প্রৌ representative় প্রতিনিধি 3/7।

চিত্র 2.- যৌক্তিক সংখ্যার সেট Q। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স। ইউভিএম এডুয়ার্ডো আর্টুর / সিসি বিওয়াই-এসএ (https://creativecommons.org/license/by-sa/4.0)।

যৌক্তিক সংখ্যার উদাহরণ

-প্রযুক্তি ভগ্নাংশ, সেগুলিতে সংখ্যার চেয়ে কম হয়:

-অযুক্তি ভগ্নাংশ, যার সংখ্যার ডিনোমিনিটারের চেয়ে বড়:

প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং সম্পূর্ণ সংখ্যা:

-সমতুল্য ভগ্নাংশ:

যৌক্তিক সংখ্যার দশমিক প্রতিনিধিত্ব

অংকটি দ্বিখণ্ডিত দ্বারা বিভাজন করা হয়, যুক্তিযুক্ত সংখ্যার দশমিক রূপটি পাওয়া যায়। উদাহরণ স্বরূপ:

2/5 = 0.4

3/8 = 0.375

1/9 = 0.11111…

6/11 = 0.545454…

প্রথম দুটি উদাহরণে দশমিক স্থানের সংখ্যা সীমিত। এর অর্থ এই যে বিভাগটি শেষ হয়ে গেলে, 0 টির অবশিষ্টাংশ অবশেষে প্রাপ্ত হয়।

অন্যদিকে, পরের দুটিতে দশমিক জায়গার সংখ্যা অসীম এবং সে কারণেই উপবৃত্ত স্থাপন করা হয়। পরবর্তী ক্ষেত্রে দশমিকগুলিতে একটি প্যাটার্ন রয়েছে। ভগ্নাংশ 1/9 এর ক্ষেত্রে, 1 নম্বরটি অনির্দিষ্টকালের জন্য পুনরাবৃত্তি করা হয়, যখন 6/11 এ এটি 54 হয়।

এটি যখন ঘটে তখন দশমিকটি পর্যায়ক্রমিক বলে মনে হয় এবং এর মতো একটি কেরেট দ্বারা বোঝানো হয়:

দশমিক দশমিক এক ভগ্নাংশে রূপান্তর করুন

যদি এটি একটি সীমাবদ্ধ দশমিক হয় তবে কমাটি সহজেই নির্মূল হয়ে যায় এবং ডিনোমিনেটর একক হয়ে যায় এবং দশমিকের পরিসংখ্যান অনুসারে যতগুলি শূন্য হয়। উদাহরণস্বরূপ, দশমিক ১.২26 কে ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে, এটিকে এভাবে লিখুন:

1.26 = 126/100

তারপরে ফলাফল ভগ্নাংশটি সর্বাধিক সরল করা হয়েছে:

126/100 = 63/50

দশমিক যদি সীমাহীন হয় তবে সময়কালটি প্রথম চিহ্নিত করা হয়। তারপরে ফলাফলগুলি ভগ্নাংশ খুঁজে পেতে এই পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করা হয়:

- অঙ্কটি হ'ল সংখ্যার (কমা বা ক্যারেট ব্যতীত) এবং যে অংশে ক্যারেট নেই তার মধ্যে বিয়োগ।

- ডিনমিনেটরটি একটি পূর্ণসংখ্যা হিসাবে 9 হিসাবে প্রদক্ষিণের নীচে সংখ্যা রয়েছে এবং যতগুলি 0 হয় তার দশমিক অংশের সংখ্যার মতো সংকীর্ণের নীচে নয়।

দশমিক সংখ্যা 0.428428428… ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে আসুন এই পদ্ধতিটি অনুসরণ করুন।

-প্রথম, সময়টিকে চিহ্নিত করা হয়, যা ক্রমটি পুনরাবৃত্তি হয়: 428।

-তখন কমা বা অ্যাকসেন্ট ছাড়াই সংখ্যাটি বিয়োগের অপারেশনটি করা হয়: 0428 অংশটি যার একটি সারফ্লেক্স নেই, যা থেকে 0 হয় from এটি এভাবে 428 - 0 = 428 হয়।

-ডিনোমেনেটরটি তৈরি করা হয়েছে, জেনে জেনে যে ত্রিফ্লেক্সের অধীনে 3 টি চিত্র রয়েছে এবং সমস্তই প্রদক্ষিণের নীচে রয়েছে। সুতরাং ডিনোনিটার 999।

- শেষ পর্যন্ত ভগ্নাংশটি গঠিত হয় এবং সম্ভব হলে সরলীকরণ করা হয়:

0.428 = 428/999

এর চেয়ে সহজতর করা সম্ভব নয়।

যৌক্তিক সংখ্যা সহ অপারেশন

- যোগ করুন এবং বিয়োগ

একই ডিনোমিনেটরের সাথে ভগ্নাংশ

যখন ভগ্নাংশগুলির একই ডিনোমিনেটর থাকে, যোগ করা এবং / বা বিয়োগগুলি খুব সহজ হয়, কারণ সংখ্যাগুলি কেবল বীজগণিতভাবে যুক্ত হয়, ফলটির ডিনোমিনিটার হিসাবে সংযোজন হিসাবে একই থাকে। শেষ পর্যন্ত, যদি সম্ভব হয় তবে এটি সরল করা হয়েছে।

উদাহরণ

নিম্নলিখিত বীজগণিত সংযোজন সম্পন্ন করুন এবং ফলাফলটি সহজ করুন:

ফলাফল ভগ্নাংশ ইতিমধ্যে অপরিবর্তনীয়।

বিভিন্ন ডিনোমিনেটর সহ ভগ্নাংশ

এই ক্ষেত্রে, সংযোজনগুলি একই ডিনোমিনেটরের সাথে সমান ভগ্নাংশ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় এবং তারপরে ইতিমধ্যে বর্ণিত পদ্ধতিটি অনুসরণ করা হয়।

উদাহরণ

ফলাফলটি সরল করে বীজগণিতভাবে নিম্নলিখিত যুক্তিযুক্ত সংখ্যা যুক্ত করুন:

পদক্ষেপগুলি হ'ল:

5, 8 এবং 3 এর মধ্যে সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক (এলসিএম) নির্ধারণ করুন:

lcm (5,8,3) = 120

এটি সরলকরণ ছাড়াই ফলাফল ভগ্নাংশের ডিনোমিনেটর হবে।

- প্রতিটি ভগ্নাংশের জন্য: এলসিএমকে বিভাজক দ্বারা বিভাজক করুন এবং অঙ্ক দ্বারা গুণিত করুন। এই অপারেশনের ফলাফলটি ভগ্নাংশের সংখ্যায় তার নিজ নিজ চিহ্ন সহ স্থাপন করা হয়েছে। এইভাবে, মূলটির সমান একটি ভগ্নাংশ পাওয়া যায়, তবে এলসিএম দিয়ে ডিনোমিনেটর হিসাবে।

উদাহরণস্বরূপ, প্রথম ভগ্নাংশের জন্য অঙ্কটি এইভাবে নির্মিত হয়: (120/5) x 4 = 96 এবং আমরা পাই:

বাকি ভগ্নাংশের জন্য একইভাবে এগিয়ে যান:

পরিশেষে, সমান ভগ্নাংশগুলি তাদের চিহ্নটি ভুলে না গিয়ে প্রতিস্থাপন করা হয় এবং সংখ্যার বীজগণিত যোগফল সম্পন্ন হয়:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- গুণ এবং বিভাগ

গুণমান এবং বিভাগ নীচে প্রদর্শিত নিয়ম অনুসরণ করা হয়:

চিত্র ৩. যৌক্তিক সংখ্যাকে গুণ এবং ভাগ করার নিয়ম। সূত্র: এফ.জাপাটা।

যে কোনও ক্ষেত্রে, এটি মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে গুণটি কমিটিকেটিভ, যার অর্থ হল যে উপাদানগুলির ক্রমটি পণ্যটিকে পরিবর্তন করে না। এটি বিভাজনের সাথে ঘটে না, সুতরাং লভ্যাংশ এবং বিভাজকের মধ্যে অর্ডারকে সম্মানের দিকে যত্ন নিতে হবে।

উদাহরণ 1

নিম্নলিখিত অপারেশনগুলি সম্পাদন করুন এবং ফলাফলটি সহজ করুন:

ক) (5/3) এক্স (8/15)

খ) (-4/5) ÷ (2/9)

উত্তর

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 এক্স 15) = 15/120 = 1/8

উত্তর খ

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

উদাহরণ 2

লুইসার 45 ডলার ছিল। তিনি এর দশমাংশটি একটি বই কিনে এবং একটি টি-শার্টে যা রেখেছিলেন তার 2/5 খরচ করেছিলেন। লুইসা কত টাকা রেখে গেছে? অদম্য ভগ্নাংশ হিসাবে ফলাফলটি প্রকাশ করুন।

সমাধান

বইয়ের দাম (1/10) x $ 45 = 0.1 x $ 45 = $ 4.5

অতএব, লুইসাকে সাথে রেখে দেওয়া হয়েছিল:

45 - 4.5 $ = 40.5 $

সেই অর্থ দিয়ে লুইসা কাপড়ের দোকানে গিয়ে শার্ট কিনেছিল, যার দাম:

(2/5) x $ 40.5 = $ 16.2

এখন লুইসা তার পোর্টফোলিওতে রয়েছে:

40.5 - 16.2 $ = 24.3 $

এটি ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করার জন্য এটি এভাবে লেখা হয়:

24.3 = 243-10

তা অদম্য।

তথ্যসূত্র

1. বাল্ডোর, এ 1986. গাণিতিক। সংস্করণ এবং বিতরণ কোডেক্স।
2. ক্যারেনা, এম। 2019. গণিতের ম্যানুয়াল। লিটোরাল জাতীয় বিশ্ববিদ্যালয়।
3. ফিগার, জে। 2000. গণিত 8। এডিসিওনস কো-বো।
4. জিমনেজ, আর। 2008. বীজগণিত। প্রেন্টিস হল.
5. যুক্তিযুক্ত সংখ্যা। থেকে উদ্ধার করা: Cimanet.uoc.edu।
6. মূলদ সংখ্যা. থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: ওয়েবডেলপ্রফেসর.ুলা.ভে।