অর্থোহেড্রন: সূত্র, ক্ষেত্র, আয়তন, তির্যক, উদাহরণ - গণিতশাস্ত্র - 2025

Ortohedron একটি আয়তনের বা ত্রিমাত্রিক জ্যামিতিক চিত্র ছয় আয়তক্ষেত্রাকার মুখমন্ডল থাকার দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যাতে বিপরীত মুখ সমান্তরাল প্লেন এবং অভিন্ন বা সর্বসম আয়তক্ষেত্র হয়। অন্যদিকে, প্রদত্ত মুখের সংলগ্ন মুখগুলি প্রাথমিক মুখের সাথে লম্ব করে প্লেনগুলিতে থাকে।

অর্থোহেড্রনকে একটি আয়তক্ষেত্রাকার বেসের সাথে অর্থেগোনাল প্রিজম হিসাবেও বিবেচনা করা যেতে পারে, যেখানে দুটি সাধারণ মুখের প্লেনগুলির দ্বারা গঠিত ডিহাইড্রাল কোণগুলি একটি সাধারণ প্রান্ত 90 measure পরিমাপ করে º দুটি মুখের মধ্যে ডায়াড্রাল কোণটি তাদের লম্বালম্বী একটি উল্লম্ব বিমানের সাথে মুখগুলির ছেদ স্থানে পরিমাপ করা হয়।

চিত্র 1. অর্থোহেড্রন। সূত্র: জিওজেব্রা সহ এফ.জাপাটা।

অনুরূপভাবে, অর্থোহেড্রন একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল, যেহেতু এইভাবে সমান্তরালভাবে ছয়টি মুখের ভলিউম্যাট্রিক চিত্র হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা দুটি দুটি করে সমান্তরাল হয়।

যে কোনও সমান্তরালভাবে মুখগুলি সমান্তরালুকাগুলি হয় তবে আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরালে মুখগুলি আয়তক্ষেত্রাকার হতে হবে।

অরথোড্রনের অংশগুলি

অর্থোহেড্রনের মতো পলিহেড্রনের অংশগুলি হ'ল:

-আরিস্টাস

-বিশেষ

-ফারস

অরথোড্রনের এক মুখের দুটি প্রান্তের মধ্যবর্তী কোণটি একে অপরের দুটি প্রান্তের সংলগ্ন তার দুটি দুটি মুখের দ্বারা গঠিত ডিহিড্রাল কোণের সাথে মিলিত হয় এবং একটি সমকোণী কোণ গঠন করে। নিম্নলিখিত চিত্রটি প্রতিটি ধারণাকে স্পষ্ট করে:

চিত্র 2. একটি অর্টেহেড্রন অংশ। সূত্র: জিওজেব্রা সহ এফ.জাপাটা।

- মোট একটি অর্টোহেড্রনের 6 টি মুখ, 12 টি প্রান্ত এবং 8 টি শীর্ষ কোণ রয়েছে।

-যে কোনও দুটি প্রান্তের মধ্যবর্তী কোণটি একটি সমকোণ।

- যে কোনও দুটি মুখের মধ্যে ডায়াড্রাল কোণটিও ঠিক।

-প্রত্যেক মুখের মধ্যে চারটি উল্লম্ব এবং প্রতিটি প্রান্তে তিনটি পারস্পরিক অর্থোগোনাল মুখ রয়েছে।

অর্থোহেড্রন সূত্র

ফোন

অর্টেহেড্রনের পৃষ্ঠ বা ক্ষেত্রফলটি এর মুখগুলির ক্ষেত্রগুলির সমষ্টি।

চিত্র 3-তে দেখানো হয়েছে যে তিনটি প্রান্তে একটি শীর্ষে দেখা যায়, a, b এবং c এর পরিমাপ থাকে, তবে সামনের মুখের ক্ষেত্রফল থাকে এবং নীচের মুখের ক্ষেত্রটিও ক্ষেত্রফল হয় ⋅

তারপরে দুটি পার্শ্বযুক্ত মুখগুলির ক্ষেত্রের প্রতিটি অঞ্চল রয়েছে ⋅ এবং অবশেষে, মেঝে এবং সিলিংয়ের মুখগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রের একটি টিয়েনেক রয়েছে।

চিত্র 3. পরিমিতির অর্থোহেড্রন a, b, c। অভ্যন্তরীণ তির্যক D এবং বাহ্যিক তির্যক d।

সমস্ত মুখের ক্ষেত্র যুক্ত করে:

একটি সাধারণ ফ্যাক্টর গ্রহণ এবং শর্তাবলী ক্রম:

আয়তন

যদি অর্টোহেড্রনকে প্রিজম হিসাবে ভাবা হয়, তবে এর পরিমাণটি এইভাবে গণনা করা হয়:

এই ক্ষেত্রে, মাত্রা সি এবং ক এর তলটি আয়তক্ষেত্রাকার বেস হিসাবে নেওয়া হয়, তাই বেসের ক্ষেত্রফল c⋅a হয়।

উচ্চতাটি প্রান্তগুলির দৈর্ঘ্য খ দ্বারা প্রদত্ত অরথোগোনাল a এবং c এর মুখগুলিতে দেওয়া হয়।

উচ্চতা খ দ্বারা বেস (a⋅c) এর ক্ষেত্রফলকে গুণিত করা অরথোড্রনের ভলিউম ভি দেয়:

অভ্যন্তরীণ তির্যক

একটি অর্থোহেড্রোনে দুটি ধরণের তির্যক রয়েছে: বাহ্যিক তির্যক এবং অভ্যন্তরের কর্ণগুলি।

বাহ্যিক তির্যকগুলি আয়তক্ষেত্রাকার মুখগুলিতে থাকে, তবে অভ্যন্তরীণ কর্ণগুলি এমন দুটি বিভাগ হয় যা দুটি বিপরীত শীর্ষকে যুক্ত করে, বিপরীত উল্লম্ব দ্বারা বোঝা যায় যে কোনও প্রান্ত ভাগ করে না।

একটি অর্থোহেড্রোনে চারটি অভ্যন্তরীণ কর্ণ রয়েছে, সমস্ত সমান পরিমাপ। ডান ত্রিভুজগুলির জন্য পাইথাগোরিয়ান উপপাদ প্রয়োগ করে অভ্যন্তরীণ ত্রিভুজগুলির দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়।

অর্টোহেড্রনের মেঝে মুখের বাহ্যিক ত্রিভুজের দৈর্ঘ্য d পাইথাগোরীয় সম্পর্ককে পূর্ণ করে:

d ² = a ² + c ²

একইভাবে, পরিমাপ ডি এর অভ্যন্তরের তির্যক পাইথাগোরীয় সম্পর্ক পূর্ণ করে:

ডি ² = ডি ² + বি ² ।

পূর্ববর্তী দুটি প্রকাশের সংমিশ্রণ:

ডি ² = এ ² + সি ² + বি ² ।

অবশেষে, অর্থোহেড্রনের অভ্যন্তরীণ যে কোনও ত্রিভুজটির দৈর্ঘ্য নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়েছে:

ডি = √ (একটি ² + বি ² + সি ²)।

উদাহরণ

- উদাহরণ 1

একটি ইটখোলার একটি অর্থোহেড্রন আকারে একটি ট্যাঙ্ক তৈরি করে যার অভ্যন্তরীণ মাত্রা: বেসে 6 মিমি 4 মিটার এবং উচ্চতা 2 মিটার। এটি জিজ্ঞাসা করে:

ক) ট্যাঙ্কটি সম্পূর্ণরূপে শীর্ষে খোলা থাকলে অভ্যন্তরের পৃষ্ঠটি নির্ধারণ করুন।

খ) ট্যাঙ্কের অভ্যন্তরীণ স্থানের আয়তন গণনা করুন।

গ) একটি অভ্যন্তরের তিরুজের দৈর্ঘ্য সন্ধান করুন।

ঘ) লিটারে ট্যাঙ্কের ক্ষমতা কত?

সমাধান

আমরা আয়তক্ষেত্রাকার বেস a = 4 মি এবং সি = 6 মি এবং উচ্চতা b = 2 মি হিসাবে গ্রহণ করব

প্রদত্ত মাত্রাগুলি সহ অর্টোহেড্রনের ক্ষেত্রফলটি নিম্নলিখিত সম্পর্কের মাধ্যমে দেওয়া হয়েছে:

এ = 2⋅ (এবিবি + বিসিসি + সিএএ) = 2⋅ (4 এমবি 2 মি + 2 এম⋅6 মি + 6 এম⋅4 মি)

ঐটাই বলতে হবে:

এ = 2⋅ (8 মি ² + 12 মি ² + 24 মি ²) = 2⋅ (44 মি ²) = 88 মি ²

পূর্ববর্তী ফলাফলটি প্রদত্ত মাত্রাগুলি সহ বন্ধ অর্থোহেড্রনের ক্ষেত্রফল, তবে যেহেতু এটি ট্যাঙ্কটি তার উপরের অংশে সম্পূর্ণ উন্মুক্ত, ট্যাঙ্কের অভ্যন্তরের দেয়ালের পৃষ্ঠ পেতে, অনুপস্থিত idাকনাটির ক্ষেত্রটি বিয়োগ করতে হবে, যা হ'ল:

c⋅a = 6 মি ⋅ 4 মি = 24 মি ² ।

অবশেষে, ট্যাঙ্কের অভ্যন্তরের পৃষ্ঠটি হবে: এস = 88 মি ² - 24 মি ² = 64 মি ² ।

সমাধান খ

ট্যাঙ্কের অভ্যন্তরের আয়তন ট্যাঙ্কের অভ্যন্তরের মাত্রাগুলির একটি অর্থোহেড্রনের ভলিউম দ্বারা দেওয়া হয়:

ভি = a⋅b⋅c = 4 মি ⋅ 2 মি ⋅ 6 মি = 48 মি ³ ।

সমাধান গ

ট্যাঙ্কের অভ্যন্তরের মাত্রাগুলি সহ একটি অক্টেহেডরের অভ্যন্তরের তির্যক একটি দৈর্ঘ্য ডি দ্বারা প্রদত্ত:

√ (একটি ² + বি ² + সি ²) = √ ((4 মিটার) ² + (2 মিটার) ² + (6 মিটার) ²)

আমাদের নির্দেশিত ক্রিয়াকলাপগুলি সম্পাদন করা:

ডি = √ (16 মি ² + 4 মি ² + 36 মি ²) = √ (56 মি ²) = 2√ (14) মি = 7.48 মি।

সমাধান d

লিটারে ট্যাঙ্কের সক্ষমতা গণনা করতে, এটি জানা প্রয়োজন যে একটি ঘন ডেসিমিটারের পরিমাণটি একটি লিটারের ক্ষমতার সমান। এটি পূর্বে ঘনমিটারে ভলিউমে গণনা করা হয়েছিল, তবে এটি কিউবিক ডেসিমিটারে এবং পরে লিটারে রূপান্তর করতে হবে:

ভি = 48 মি ³ = 48 (10 ডিএম) ³ = 4,800 ডিএম ³ = 4,800 এল

- অনুশীলন 2

একটি গ্লাস অ্যাকোরিয়াম একটি ঘন আকৃতির 25 পাশের পাশের সাথে থাকে। মিটার ² এর ক্ষেত্রফল, লিটারের আয়তন এবং সেন্টিমিটারের অভ্যন্তরের তিরুটির দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করুন।

চিত্র 4. কিউবিক-আকৃতির কাচের অ্যাকোরিয়াম।

সমাধান

অঞ্চলটি একই অরথোড্রন সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়, তবে সমস্ত মাত্রা অভিন্ন বলে মনে করে:

এ = 2⋅ (3 এএএ) = 6⋅ এ ² = 6⋅ (25 সেমি) ² = 1,250 সেমি ²

কিউব এর ভলিউম দ্বারা দেওয়া হয়:

ভি = এ ³ = (25 সেমি) ³ = 15.625 সেমি ³ = 15.625 (0.1 ডিএম) ³ = 15.625 ডিএম ³ = 15.625 এল।

ভিতরের তির্যকের দৈর্ঘ্য ডি:

ডি = √ (3 এ ²) = 25√ (3) সেমি = 43.30 সেমি।

তথ্যসূত্র

1. আরিয়াস জে জিওজেব্রা: প্রিজমা। পুনরুদ্ধার: ইউটিউব ডটকম থেকে।
2. গণনা.সি.সি. অঞ্চলগুলি এবং আয়তনের সমস্যাগুলি অনুশীলন এবং সমাধান করা। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: ক্যালকুলো.সি.সি.
3. সালভাদোর আর পিরামিড + জিওজেবারা (আইএইচএম) এর সাথে অর্থোহেড্রন। পুনরুদ্ধার: ইউটিউব ডটকম থেকে
4. ওয়েইস্টেইন, এরিক "আর্থোহেড্রন"। ম্যাথ ওয়ার্ল্ড ওল্ফ্রাম গবেষণা।
5. উইকিপিডিয়া। আর্থোহেড্রন পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: এস.ইউইকিভিডিয়া