হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েড: সংজ্ঞা, বৈশিষ্ট্য এবং উদাহরণ - গণিতশাস্ত্র - 2025

একজন হাইপারবোলিক paraboloid একটি পৃষ্ঠ যার সাধারণ সমীকরণ কার্টিজিয়ান স্থানাঙ্ক (X, Y, Z) সন্তুষ্ট নিম্নলিখিত সমীকরণ রয়েছে:

(x / a) ² - (y / b) ² - জেড = 0

"প্যারাবোলয়েড" নামটি আসলটি থেকে এসেছে যে ভেরিয়েবল z এবং ভেরিয়েবলের স্কোয়ারের উপর নির্ভর করে। যদিও "হাইপারবোলিক" বিশেষণটি z এর স্থির মানগুলিতে একটি হাইপারবোলার সমীকরণের কারণে হয়। এই পৃষ্ঠের আকৃতিটি একটি ঘোড়ার স্যাডলের মতো।

চিত্র 1. হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েড z = x ² - y ² । সূত্র: এফ। জাফাটা ওল্ফ্রাম ম্যাথমেটিকাকে ব্যবহার করছে।

হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েডের বিবরণ

হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েডের প্রকৃতি বোঝার জন্য, নিম্নলিখিত বিশ্লেষণ করা হবে:

1.- আমরা নির্দিষ্ট কেস 1 = খ, বি = 1 নেব, অর্থাৎ প্যারাবোলয়েডের কার্টেসিয়ান সমীকরণটি z = x ² - y ² হিসাবে রয়ে গেছে ।

২.- প্লেনগুলি জেডএক্স প্লেনের সমান্তরাল হিসাবে বিবেচনা করা হয়, অর্থাৎ y = ctte।

৩.- y = ctte এর সাথে এটি z = x ² - C অবধি থাকবে যা শাখাগুলি উপরের দিকে এবং এক্সওয়াই বিমানের নীচে প্রান্তকে উপস্থাপন করে las

চিত্র 2. কার্ভের পরিবার z = x ² - সি উত্স: এফ। জাপাটা জিওজেব্রা ব্যবহার করে।

৪.- এক্স = সিটিটির সাথে এটি z = C - y ² অবধি থাকবে যা শাখাগুলি নীচে এবং এক্সওয়াই বিমানের উপরে শীর্ষবিন্দুগুলির সাথে প্রতিনিধিত্ব করে।

চিত্র 3. বক্ররেখের পরিবার z = সি - y ² । সূত্র: জিওজেব্রার মাধ্যমে এফ.জাপাটা।

5.- z = ctte এর সাথে এটি সি = এক্স ² - y ² অবধি থাকবে যা এক্সওয়াই প্লেনের সমান্তরাল সমতলগুলিতে হাইপারবোলা উপস্থাপন করে। যখন সি = 0 দুটি লাইন থাকে (এক্স অক্ষের সাথে + 45º এবং -45º এ) যা এক্সওয়াই বিমানের উত্সে ছেদ করে।

চিত্র 4. কার্ভের পরিবার x ² - y ² = সি উত্স: এফ জাপাটা জিওজেব্রা ব্যবহার করে..

হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েডের বৈশিষ্ট্য

1.- ত্রিমাত্রিক স্থানের চারটি পৃথক পয়েন্ট একটি এবং কেবলমাত্র একটি হাইপারবারিক প্যারাবোলয়েডকে সংজ্ঞায়িত করে।

২- হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েড দ্বিগুণ শাসিত পৃষ্ঠ। এর অর্থ হ'ল একটি বাঁকা পৃষ্ঠ হওয়া সত্ত্বেও, দুটি পৃথক রেখা একটি হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েডের প্রতিটি পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায় যা সম্পূর্ণরূপে হাইপারবারিক প্যারাবোলয়েডের অন্তর্গত। অন্য পৃষ্ঠ যা কোনও বিমান নয় এবং দ্বিগুণ শাসিত হয় তা হ'ল বিপ্লবের হাইপারবোলয়েড।

এটি হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েডের দ্বিতীয় সম্পত্তি যা আর্কিটেকচারে এর বিস্তৃত ব্যবহারের অনুমতি দিয়েছে যেহেতু পৃষ্ঠটি সরল মরীচি বা স্ট্রিং থেকে উত্পন্ন হতে পারে।

হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েডের দ্বিতীয় সম্পত্তি এটির একটি বিকল্প সংজ্ঞা দেয়: এটি এমন একটি পৃষ্ঠ যা স্থির বিমানের সমান্তরাল চলমান সরলরেখার মাধ্যমে উত্পন্ন হতে পারে এবং দুটি স্থির রেখা কেটে দেয় যা গাইড হিসাবে পরিবেশন করে। নিম্নলিখিত চিত্রটি হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েডের এই বিকল্প সংজ্ঞাটি স্পষ্ট করে:

চিত্র 5. হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েড দ্বিগুণ শাসিত পৃষ্ঠ। সূত্র: এফ.জাপাটা।

কাজের উদাহরণ

- উদাহরণ 1

সমীকরণটি দেখান: z = xy, একটি হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েডের সাথে সম্পর্কিত।

সমাধান

+ 45º এর জেড অক্ষের সাথে সম্পর্কিত কার্টেসিয়ান অক্ষের আবর্তনের সাথে সম্পর্কিত x এবং y পরিবর্তনশীলগুলিতে একটি রূপান্তর প্রয়োগ করা হবে º পুরানো x এবং y স্থানাঙ্কগুলি নিম্নলিখিত সম্পর্ক অনুসারে নতুন x 'এবং y' তে রূপান্তরিত হয়েছে:

x = x '- y'

y = x '+ y'

যখন z স্থানাঙ্ক একই থাকে, অর্থাৎ z = z '।

সমীকরণ z = xy এ প্রতিস্থাপন করে আমাদের রয়েছে:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

স্কোয়ারের পার্থক্যের সমতুল্য পার্থক্যের উল্লেখযোগ্য পণ্যটি প্রয়োগ করে আমাদের কাছে:

z '= x' ² - y ' ²

যা স্পষ্টত হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েডের প্রাথমিকভাবে প্রদত্ত সংজ্ঞাটির সাথে মিলে যায়।

হাইপার্বোলিক প্যারাবোলয়েড z = xy এর সাথে এক্সওয়াই অক্ষের সমান্তরাল সমতল বিমানগুলির বাধা বিভাজন x = 0 এবং y = 0 সমষ্টি হিসাবে সমতুল্য হাইপারবোলা নির্ধারণ করে।

- উদাহরণ 2

A (0, 0, 0) পয়েন্টগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়া হাইপারবারিক প্যারাবোলয়েডের পরামিতিগুলি a এবং b নির্ধারণ করুন; বি (1, 1, 5/9); সি (-2, 1, 32/9) এবং ডি (2, -1, 32/9)

সমাধান

এর বৈশিষ্ট্য অনুসারে, ত্রি-মাত্রিক স্থানের চারটি পয়েন্ট একটি একক হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েড নির্ধারণ করে। সাধারণ সমীকরণটি হ'ল:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

আমরা প্রদত্ত মানগুলি প্রতিস্থাপন করি:

A বিন্দুর জন্য আমাদের 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ², একটি সমীকরণ যা a এবং b পরামিতিগুলির মান যাই হোক না কেন সন্তুষ্ট।

বি প্রতিস্থাপন পয়েন্ট, আমরা প্রাপ্ত:

5/9 = 1 / এ ² - 1 / বি ²

সি পয়েন্টের জন্য এটি রয়ে গেছে:

32/9 = 4 / এ ² - 1 / বি ²

পরিশেষে, পয়েন্ট ডি এর জন্য আমরা পেয়েছি:

32/9 = 4 / এ ² - 1 / বি ²

যা আগের সমীকরণের মতো ident শেষ পর্যন্ত সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করতে হবে:

5/9 = 1 / এ ² - 1 / বি ²

32/9 = 4 / এ ² - 1 / বি ²

প্রথমটি থেকে দ্বিতীয় সমীকরণ বিয়োগ:

27/9 = 3 / a ² যা বোঝায় যে একটি ² = 1।

একইভাবে, দ্বিতীয় সমীকরণটি প্রথমটির চতুর্ভুজ থেকে বিয়োগ করা হয়:

(32-20) / 9 = 4 / এ ² - 4 / এ ² -1 / বি ² + 4 / বি ²

যা সরলীকৃত:

12/9 = 3 / বি ² ⇒ বি ² = 9/4।

সংক্ষেপে, প্রদত্ত বিন্দু A, B, C এবং D এর মধ্য দিয়ে যাওয়া হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েডের কার্টেসিয়ান সমীকরণ দেওয়া আছে:

z = x ² - (4/9) y ²

- উদাহরণ 3

হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েডের বৈশিষ্ট্য অনুসারে, প্রতিটি বিন্দুতে দুটি লাইন চলে যা এটি সম্পূর্ণরূপে অন্তর্ভুক্ত থাকে। Z = x ^ 2 - y ^ 2 ক্ষেত্রে যে দুটি রেখার সমীকরণটি পয়েন্ট P (0, 1, -1) দিয়ে স্পষ্টভাবে হাইপারবারিক প্যারাবোলয়েডের অন্তর্গত তা সন্ধান করুন, যেমন এই রেখার সমস্ত বিন্দুও এর সাথে সম্পর্কিত একই

সমাধান

স্কোয়ারের পার্থক্যের লক্ষণীয় পণ্যটি ব্যবহার করে হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েডের সমীকরণটি এইভাবে লেখা যেতে পারে:

(x + y) (x - y) = সিজেড (1 / সি)

যেখানে সি একটি ননজারো ধ্রুবক।

X + y = cz সমীকরণ এবং x - y = 1 / c সমীকরণটি সাধারণ ভেক্টর এন = <1,1, -c> এবং এম = <1, -1,0> সহ দুটি প্লেনের সাথে সমান। ভেক্টর পণ্য এমএক্সএন = <- সি, -সি, -2> আমাদের দুটি প্লেনের ছেদ রেখার দিকনির্দেশ দেয়। তারপরে পি পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যাওয়া এবং হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েডের অন্তর্গত একটি রেখার একটি প্যারাম্যাট্রিক সমীকরণ রয়েছে:

= <0, 1, -1> + টি <-c, -c, -2>

গ নির্ধারণের জন্য আমরা x + y = cz সমীকরণে P পয়েন্টটি প্রতিস্থাপন করব:

সি = -1

একইভাবে, তবে সমীকরণগুলি বিবেচনা করে (x - y = kz) এবং (x + y = 1 / কে) আমাদের লাইনের প্যারামেট্রিক সমীকরণ রয়েছে:

= <0, 1, -1> + গুলি কে = 1 সহ

সংক্ষেপে, দুটি লাইন:

= <0, 1, -1> + টি <1, 1, -2> এবং = <0, 1, -1> + গুলি <1, -1, 2>

এগুলি সম্পূর্ণভাবে হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েড z = x ² - y ² বিন্দুতে (0, 1, -1) পেরিয়ে থাকে।

একটি চেক হিসাবে, ধরুন t = 1 যা আমাদের প্রথম লাইনে বিন্দু (1,2, -3) দেয়। এটি পরীক্ষা করতে হবে এটি প্যারাবোলয়েড z = x ² - y ² এও রয়েছে কিনা:

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

যা নিশ্চিত করে যে এটি আসলে হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েডের পৃষ্ঠের সাথে সম্পর্কিত।

আর্কিটেকচারে হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েড

চিত্র 6. ভ্যালেন্সিয়া (স্পেন) এর মহাসাগরীয় উত্স: উত্স: উইকিমিডিয়া কমন্স।

হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েড মহান আভান্ট-গার্ডি স্থপতিদের দ্বারা স্থাপত্যে ব্যবহৃত হয়েছে, যার মধ্যে স্প্যানিশ স্থপতি আন্টনি গাউডি (১৮৫২-১26২)) এবং খুব বিশেষত স্প্যানিশ ফ্যালিক্স ক্যান্ডেলা (১৯১০-১৯77) এর নামও উঠে এসেছে।

নীচে হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েডের উপর ভিত্তি করে কিছু কাজ করা হল:

-কারেনাভাচা (মেক্সিকো) শহরের চ্যাপেল স্থপতি ফেলিক্স ক্যান্ডেলার কাজ।

-ভ্যালেন্সিয়া (স্পেন) এর ওশানোগ্রাফিক, এছাড়াও ফ্যালিক্স ক্যান্ডেলা।

তথ্যসূত্র

1. গণিতের এনসাইক্লোপিডিয়া। শাসিত সারফেস। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: এনসাইক্লোপিডিয়াফমথ.অর্গ
2. ল্লেরা রুবন হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েড। পুনরুদ্ধার করা: রুবেল্লেরা.ওয়ার্ডপ্রেস.কম
3. ওয়েইস্টেইন, এরিক ডব্লিউ। "হাইপারবারিক প্যারাবোলয়েড।" ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে - একটি ওল্ফ্রাম ওয়েব রিসোর্স। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: mathworld.wolfram.com থেকে
4. উইকিপিডিয়া। প্যারাবোলয়েড। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: en.wikedia.com থেকে ipedia
5. উইকিপিডিয়া। প্যারাবোলয়েড। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: এস.ইউইকিভিডিয়া
6. উইকিপিডিয়া। শাসিত পৃষ্ঠ। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: en.wikedia.com থেকে ipedia