সমান্তরাল: বৈশিষ্ট্য, প্রকার, ক্ষেত্রফল, আয়তন - গণিতশাস্ত্র - 2025

একটি সমান্তরাল হ'ল একটি জ্যামিতিক শরীর যা ছয়টি মুখের সমন্বয়ে গঠিত, যার প্রধান বৈশিষ্ট্যটি হ'ল এর সমস্ত মুখ সমান্তরালগ্রাম এবং এটির বিপরীত মুখগুলি একে অপরের সাথে সমান্তরাল। এটি আমাদের দৈনন্দিন জীবনে একটি সাধারণ পলিহেড্রন, যেহেতু আমরা এটি জুতার বাক্সগুলিতে, একটি ইটের আকৃতি, মাইক্রোওয়েভের আকার ইত্যাদিতে খুঁজে পেতে পারি

পলিহেড্রন হওয়ায় সমান্তরালভাবে একটি সীমাবদ্ধ পরিমাণ রয়েছে এবং এর সমস্ত মুখ সমতল। এটি প্রিজমের গোষ্ঠীর অংশ, যা সেই সমস্ত পলিহেড্রা যেখানে এর সমস্ত উল্লম্ব দুটি সমান্তরাল প্লেনগুলিতে থাকে।

সমান্তরালিত উপাদানসমূহ

মুখগুলি

তারা সমান্তরালুকাগুলি দ্বারা গঠিত অঞ্চলগুলির প্রতিটি যা সমান্তরাল সীমাবদ্ধ করে। একটি সমান্তরাল ছয়টি মুখ রয়েছে, যেখানে প্রতিটি মুখের চারটি সংলগ্ন মুখ এবং একটি বিপরীত রয়েছে। এছাড়াও, প্রতিটি মুখ তার বিপরীতে সমান্তরাল হয়।

প্রান্তগুলি

তারা দুটি মুখের সাধারণ দিক। সামগ্রিকভাবে, একটি সমান্তরালীর বারো প্রান্ত রয়েছে।

ভার্টেক্স

এটি একে অপরের সাথে দু'একটি সংলগ্ন তিনটি মুখের সাধারণ পয়েন্ট। একটি সমান্তরাল আটটি শীর্ষে রয়েছে।

তির্যক

একে অপরের বিপরীতে সমান্তরাল দুটি মুখ দেওয়া, আমরা একটি রেখার খণ্ডটি আঁকতে পারি যা এক মুখের প্রান্ত থেকে অন্য মুখের বিপরীত শীর্ষে যায়।

এই বিভাগটি সমান্তরাল পাঠগুলির তির্যক হিসাবে পরিচিত। প্রতিটি সমান্তরাল চারটি কর্ণ রয়েছে।

কেন্দ্র

এটি সেই বিন্দুতে যেখানে সমস্ত ত্রিভুজ ছেদ করে।

সমান্তরাল বৈশিষ্ট্যের বৈশিষ্ট্য

যেমনটি আমরা ইতিমধ্যে উল্লেখ করেছি, এই জ্যামিতিক শরীরে বারোটি কিনারা, ছয়টি মুখ এবং আটটি শীর্ষে রয়েছে।

সমান্তরালভাবে, চারটি প্রান্ত দ্বারা গঠিত তিনটি সেট চিহ্নিত করা যায়, যা একে অপরের সমান্তরাল। তদতিরিক্ত, উল্লিখিত সেটগুলির প্রান্তগুলিতেও একই দৈর্ঘ্য থাকার সম্পত্তি রয়েছে।

সমান্তরালক্ষেত্রের অধিষ্ঠিত অন্য একটি সম্পত্তি হ'ল তারা উত্তল, অর্থাৎ আমরা যদি সমান্তরাল অভ্যন্তরের অন্তর্গত যে কোনও পয়েন্টের অংশ গ্রহণ করি, তবে পয়েন্টগুলির জোড় দ্বারা নির্ধারিত বিভাগটিও সমান্তরালদ্বয়ের মধ্যে থাকবে।

তদ্ব্যতীত, সমান্তরাল পাইপিডা হ'ল উত্তেজক পলিহেড্রা পলিহেডারের জন্য ইউলারের উপপাদ্যকে মেনে চলে যা আমাদের মুখ সংখ্যা, প্রান্ত সংখ্যা এবং শীর্ষে সংখ্যাগুলির মধ্যে সম্পর্ক দেয় gives এই সম্পর্কটি নীচের সমীকরণ আকারে দেওয়া হয়:

সি + ভি = এ + 2

এই বৈশিষ্ট্যটি ইউলারের বৈশিষ্ট্য হিসাবে পরিচিত।

যেখানে সি হ'ল মুখের সংখ্যা, ভেরিেক্টসের সংখ্যা এবং ক এর সংখ্যা is

প্রকারভেদ

আমরা তাদের মুখের উপর ভিত্তি করে সমান্তরালপত্রগুলি নিম্নলিখিত ধরণের মধ্যে শ্রেণিবদ্ধ করতে পারি:

আর্থোহেড্রন

এগুলি সমান্তরালক্ষেত্র যেখানে তাদের মুখগুলি ছয়টি আয়তক্ষেত্র দ্বারা গঠিত হয়। প্রতিটি আয়তক্ষেত্রটি একটি প্রান্ত ভাগ করে তাদের জন্য লম্ব হয়। এগুলি আমাদের দৈনন্দিন জীবনে সর্বাধিক সাধারণ, এটি জুতার বাক্স এবং ইটের সাধারণ রূপ।

নিয়মিত কিউব বা হেক্সাহেড্রন

এটি পূর্বের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, যেখানে প্রতিটি মুখ একটি বর্গক্ষেত্র।

কিউবটি জ্যামিতিক দেহের একটি অংশ যা প্লাটোনিক সলিডস বলে। প্লাটোনিক সলিড একটি উত্তল পলিহেড্রন, যাতে এর মুখ এবং এর অভ্যন্তরীণ উভয় কোণ একে অপরের সমান হয়।

রোমবোহেড্রন

এটি তার মুখের জন্য রম্বসগুলি সমান্তরালভাবে তৈরি। এই রম্বসগুলি একে অপরের সমান, যেহেতু তারা কিনারা ভাগ করে দেয়।

রোমবোহেড্রন

এর ছয়টি মুখ রমবয়েড। স্মরণ করুন যে একটি রোমবয়েড একটি বহুভুজ যা চার দিক এবং চারটি কোণ যা দুটি থেকে দু'জনের সমান। রোমবয়েড সমান্তরাল যেগুলি স্কোয়ার নয়, আয়তক্ষেত্র বা রম্বস নয়।

অন্যদিকে, ওল্লিক প্যারালালিপিপেডগুলি হ'ল অন্তত একটি উচ্চতা তাদের প্রান্তের সাথে একমত নয়। এই শ্রেণিবিন্যাসে আমরা rhombohedra এবং rhombohedra অন্তর্ভুক্ত করতে পারেন।

ডায়াগোনাল গণনা

অর্থোহেড্রনের ত্রিভুজ গণনা করতে আমরা আর ^{3 এর} জন্য পাইথাগোরিয়ান উপপাদ ব্যবহার করতে পারি ।

মনে রাখবেন যে একটি অর্টেহেড্রনের বৈশিষ্ট্যটি রয়েছে যে প্রতিটি দিকটি একটি প্রান্ত ভাগ করে নেওয়ার জন্য লম্ব হয়। এই বাস্তবতা থেকে আমরা অনুমান করতে পারি যে প্রতিটি প্রান্তটি একটি অংশকে ভাগ করে যারা তাদের জন্য লম্ব হয়।

অর্থোহেড্রনের ত্রিভুজের দৈর্ঘ্য গণনা করতে আমরা নীচে এগিয়ে যাচ্ছি:

1. আমরা একটি মুখের তির্যকটি গণনা করি, যা আমরা বেস হিসাবে রাখব। এর জন্য আমরা পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি ব্যবহার করি। আসুন এই ত্রিভুজের নাম দিন _খ ।

2. তারপর ঘ সঙ্গে _খ আমরা একটি নতুন সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করতে পারেন, এই ধরনের যে বলেন ত্রিভুজ অতিভুজ তির্যক ডি আমরা খুঁজছেন হয়।

৩. আমরা পাইথাগোরিয়ান উপপাদ আবার ব্যবহার করি এবং আমাদের কাছে আছে যে এই তর্কের দৈর্ঘ্য:

আরও গ্রাফিক উপায়ে কর্ণগুলি গণনা করার আর একটি উপায় হ'ল ফ্রি ভেক্টর যুক্ত করা।

স্মরণ করুন যে দুটি বিনামূল্যে ভেক্টর এ এবং বি ভেক্টর এ এর ​​টিপ সঙ্গে ভেক্টর বি এর লেজ স্থাপন করে যুক্ত করা হয়।

ভেক্টর (এ + বি) হ'ল এটি যা এ এর ​​লেজ থেকে শুরু হয়ে বি এর ডগায় শেষ হয়

আসুন আমরা এমন একটি সমান্তরাল কথা বিবেচনা করি যার জন্য আমরা একটি তির্যক গণনা করতে চাই।

আমরা সুবিধামত ভেক্টর সহ প্রান্তগুলি সনাক্ত করি identify

তারপরে আমরা এই ভেক্টরগুলিকে যুক্ত করব এবং ফলস্বরূপ ভেক্টরটি সমান্তরাল পাঠগুলির কর্ণ হবে।

ফোন

সমান্তরাল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এর প্রতিটি মুখের ক্ষেত্রগুলির সমষ্টি দ্বারা দেওয়া হয়।

যদি আমরা উভয় পক্ষের একটিকে বেস হিসাবে নির্ধারণ করি, একটি _এল + 2 এ _বি = মোট ক্ষেত্র

যেখানে A _এল বেসের সাথে সংলগ্ন সমস্ত পক্ষের ক্ষেত্রগুলির সমানের সমান, যেখানে পার্শ্বীয় অঞ্চল বলা হয় এবং A _B হ'ল ক্ষেত্রফল।

আমরা যে ধরণের সমান্তরালিত কাজ করে তার উপর নির্ভর করে আমরা এই সূত্রটি আবার লিখতে পারি।

একটি অরথোড্রনের ক্ষেত্রফল

এটি সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়

এ = 2 (অ্যাব + বিসি + সিএ)।

উদাহরণ 1

নীচে অর্থোহেড্রন দেওয়া হয়েছে, পাশাপাশি a = 6 সেমি, বি = 8 সেমি এবং সি = 10 সেমি, সমান্তরিত ক্ষেত্রফলের ক্ষেত্রফল এবং এর তির দৈর্ঘ্য গণনা করুন।

একটি অরথোড্রন অঞ্চলের সূত্র ব্যবহার করে আমাদের তা আছে

এ = 2 = 2 = 2 = 376 সেমি ² ।

লক্ষ্য করুন যেহেতু এটি একটি অর্থোহেড্রন তাই এর চারটি ত্রিভুজের যেকোনটির দৈর্ঘ্য একই।

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি জায়গার জন্য ব্যবহার করে আমাদের কাছে তা রয়েছে

ডি = (6 ² + 8 ² + 10 ²) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

ঘনক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

যেহেতু প্রতিটি প্রান্তের দৈর্ঘ্য একই, সুতরাং আমাদের কাছে a = b এবং a = c রয়েছে। পূর্ববর্তী সূত্রটি প্রতিস্থাপন করছি

এ = 2 (এএ + এএ + এএ) = 2 (3 এ ²) = 6 এ ²

এ = 6 এ ²

উদাহরণ 2

গেম কনসোলের বাক্সটি কিউবের মতো আকারযুক্ত। যদি আমরা উপহারের মোড়ক দিয়ে এই বাক্সটি মোড়তে চাই তবে কিউবটির প্রান্তগুলির দৈর্ঘ্য 45 সেন্টিমিটার হয় তা জেনে আমরা কত কাগজ ব্যয় করব?

কিউবের ক্ষেত্রের সূত্র ব্যবহার করে আমরা এটি পাই that

এ = 6 (45 সেমি) ² = 6 (2025 সেমি ²) = 12150 সেমি ²

একটি rhombohedron এর ক্ষেত্র

যেহেতু তাদের সমস্ত মুখ একই, কেবল তাদের একটির ক্ষেত্রফল গণনা করুন এবং এটিকে ছয় দিয়ে গুণ করুন।

আমাদের রয়েছে যে একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলটি নিম্নলিখিত সূত্রের সাহায্যে তার ত্রিভুজগুলির মাধ্যমে গণনা করা যেতে পারে

এ _আর = (ডিডি) / 2

এই সূত্রটি ব্যবহার করে এটি অনুসরণ করে যে রমবোহেড্রনের মোট অঞ্চল

একটি _টি = 6 (ডিডি) / 2 = 3 ডি।

উদাহরণ 3

নিম্নলিখিত রোম্বোহেড্রনের মুখগুলি একটি রম্বস দ্বারা গঠিত হয় যার তির্যক D = 7 সেমি এবং ডি = 4 সেমি। আপনার অঞ্চল হবে

এ = 3 (7 সেমি) (4 সেমি) = 84 সেমি ² ।

একটি rhombohedron এর ক্ষেত্র

একটি রোম্বোহেড্রনের ক্ষেত্রফল গণনা করতে আমাদের অবশ্যই রমবয়েডগুলির রচনাটি রচনা করতে হবে। যেহেতু সমান্তরাল পিপেডগুলি বিপরীত পক্ষগুলির একই ক্ষেত্রের সম্পত্তিটি পরিপূর্ণ করে, আমরা তিনটি জোড়ায় পক্ষগুলিকে সংযুক্ত করতে পারি।

এইভাবে আমাদের অঞ্চলটি আপনার হবে

এ _টি = 2 বি ₁ জ ₁ + ₂ বি ₂ এইচ ₂ + ₂ বি ₃ এইচ ₃

কোথায় খ _আমি পক্ষের সঙ্গে যুক্ত ঘাঁটি এবং জ _আমি এই ঘাঁটি সংশ্লিষ্ট তাদের আত্মীয় উচ্চতা।

উদাহরণ 4

নিম্নলিখিত সমান্তরালভাবে বিবেচনা করুন,

যেখানে A এবং পাশের A '(এর বিপরীত দিকের) বেস b = 10 এবং উচ্চতা h = 6 রয়েছে চিহ্নিত স্থানটির মান হবে

এ ₁ = 2 (10) (6) = 120

বি এবং বি এর বি = 4 এবং এইচ = 6 রয়েছে তাই

এ ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC এবং C এর বি = 10 এবং এইচ = 5 রয়েছে

এ ₃ = 2 (10) (5) = 100

অবশেষে রোমবোহেড্রনের ক্ষেত্রফল

এ = 120 + 48 + 100 = 268।

সমান্তরালিত আয়তনের আয়তন

সূত্র যা আমাদেরকে একটি সমান্তরালিত খণ্ডের পরিমাণ দেয় তা হল তার মুখের সাথে সম্পর্কিত উচ্চতার দ্বারা এর একটির মুখের ক্ষেত্রফল।

ভি = এ _সি এইচ _সি

সমান্তরাল ধরণের ধরণের উপর নির্ভর করে এই সূত্রটি সরল করা যায়।

সুতরাং আমরা উদাহরণস্বরূপ আছে যে একটি অর্থোহেড্রন ভলিউম দ্বারা দেওয়া হবে

ভি = অ্যাবসি।

যেখানে a, b এবং c ortohedron এর প্রান্তগুলির দৈর্ঘ্যকে উপস্থাপন করে।

এবং কিউব বিশেষ ক্ষেত্রে হয়

ভি = এ ³

উদাহরণ 1

কুকি বাক্সের জন্য তিনটি পৃথক মডেল রয়েছে এবং আপনি জানতে চান যে এই মডেলগুলির মধ্যে আপনি আরও কুকি সঞ্চয় করতে পারবেন, অর্থাৎ বাক্সগুলির মধ্যে কোনটির পরিমাণ সবচেয়ে বেশি।

প্রথমটি একটি ঘনক্ষেত্র যার প্রান্তটির দৈর্ঘ্য = = 10 সেমি

এর আয়তন ভি = 1000 সেমি ^{3 হবে}

দ্বিতীয়টির প্রান্তগুলি b = 17 সেমি, সি = 5 সেমি, ডি = 9 সেমি

এবং অতএব এর ভলিউম V = 765 সেমি ³

এবং তৃতীয়টির ই = 9 সেমি, চ = 9 সেমি এবং জি = 13 সেমি রয়েছে

এবং এর আয়তন ভি = 1053 সেমি ³

সুতরাং, বৃহত্তম ভলিউম সহ বাক্সটি তৃতীয়।

সমান্তরালিতের ভলিউম প্রাপ্ত করার জন্য আরেকটি পদ্ধতি হ'ল ভেক্টর বীজগণিত ব্যবহার করা। বিশেষত, ট্রিপল ডট পণ্য।

ট্রিপল স্কেলারের পণ্যটির একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যার মধ্যে রয়েছে সমান্তরালিত খণ্ডের ভলিউম, যার প্রান্তগুলি তিনটি ভেক্টর যা একটি সূচনা বিন্দুর মতো একই শীর্ষটি ভাগ করে share

এই ভাবে, যদি আমরা একটি parallelepiped আছে এবং আমরা কি তার ভলিউম চাই, এটা কি যথেষ্ট আর একটি তুল্য সিস্টেম এটা উপস্থাপিত করার ^{দ্বারা 3} উপার্জন তার ছেদচিহ্ন এক উৎপত্তি সঙ্গে কাকতালীয়ভাবে।

তারপরে আমরা চিত্রগুলিতে দেখানো হিসাবে ভেক্টরগুলির সাথে উত্সের সাথে মিলিত প্রান্তগুলি উপস্থাপন করি।

এবং এইভাবে আমাদের কাছে বলেছে যে সমান্তরিত পাইপযুক্ত ভলিউমটি দিয়েছে

V = - AxB ∙ C-

বা সমতুল্যভাবে, ভলিউমটি 3 × 3 ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক, প্রান্ত ভেক্টরগুলির উপাদানগুলির দ্বারা গঠিত।

উদাহরণ 2

আর ³ এ নিম্নলিখিত সমান্তরাল প্রতিনিধিত্ব করার সময় আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এটির নির্ধারক ভেক্টরগুলি নীচে রয়েছে

u = (-1, -3,0), ভি = (5, 0, 0) এবং ডাব্লু = (-0.25, -4, 4)

আমাদের কাছে ট্রিপল স্কেলার পণ্য ব্যবহার করে

ভি = - (ইউএক্সভি) ∙ ডাব্লু-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0.25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

এটি থেকে আমরা ভি = 60 উপসংহারে পৌঁছেছি

আসুন এখন আর 3 এর নীচে সমান্তরালভাবে বিবেচনা করুন যার প্রান্তগুলি ভেক্টর দ্বারা নির্ধারিত হয়

এ = (2, 5, 0), বি = (6, 1, 0) এবং সি = (3, 4, 4)

নির্ধারক ব্যবহার করে তা আমাদের দেয়

সুতরাং আমরা আছে যে সমান্তরাল পাঠিত ভলিউম 112 হয়।

উভয়ই ভলিউম গণনার সমতুল্য উপায়।

নিখুঁত সমান্তরাল

একটি অর্থোহেড্রন এলিউর ইট (বা ইউলারের ব্লক) হিসাবে পরিচিত যা সম্পত্তিটি পূরণ করে যে এর প্রান্তগুলির দৈর্ঘ্য এবং এর প্রতিটি মুখের ত্রিভুজ উভয়ই পুরো সংখ্যা।

যদিও এই সম্পত্তি অর্থমূল্য অধ্যায়ের অধ্যয়নকারী অলারের প্রথম বিজ্ঞানী নন, তিনি তাদের সম্পর্কে আকর্ষণীয় ফলাফল পেয়েছিলেন।

সবচেয়ে ছোট ইউরার ইটটি পল হালেক আবিষ্কার করেছিলেন এবং এর প্রান্তগুলির দৈর্ঘ্য a = 44, b = 117 এবং c = 240।

সংখ্যা তত্ত্বের একটি ওপেন সমস্যা নিম্নরূপ

নিখুঁত অর্থেহেডা আছে?

বর্তমানে, এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়া হয়নি, যেহেতু প্রমাণ করা সম্ভব হয়নি যে এই জাতীয় দেহের অস্তিত্ব নেই, তবে কোনওটিও পাওয়া যায়নি।

এখন পর্যন্ত যা দেখানো হয়েছে তা হ'ল নিখুঁত প্যারাল্লেইলপিপস বিদ্যমান। সন্ধান করা প্রথমটিতে এর প্রান্তগুলির দৈর্ঘ্য 103, 106 এবং 271 রয়েছে।

গ্রন্থাগার

1. গাই, আর। (1981) সংখ্যা তত্ত্বে সমাধান না হওয়া সমস্যা। স্প্রিঙ্গের।
2. ল্যান্ডাভার্ডে, এফ। ডি। (1997)। জ্যামিতি. অগ্রগতি।
3. লেথোল্ড, এল। (1992)। বিশ্লেষণী জ্যামিতির সাথে গণনা। হারলা, এসএ
4. রেনডন, এ। (2004)। প্রযুক্তিগত অঙ্কন: ক্রিয়াকলাপ বই 3 য় 2 য় বাচিলিরতো। তেবর।
5. রেজনিক, আর।, হলিডেড, ডি।, এবং ক্রেন, কে। (2001)। পদার্থবিজ্ঞানের খণ্ড ১. মেক্সিকো: মহাদেশীয়।