- উল্লেখযোগ্য পণ্য এবং উদাহরণ
- দ্বিপদী স্কোয়ার
- সংমিশ্রিত দ্বিপদীগুলির পণ্য
- একটি সাধারণ পদ সহ দুটি দ্বিপদীের পণ্য
- বর্গাকার বহুপদী
- দ্বিপদী কিউব
- ত্রৈমাসিকের ঘনক্ষেত্র
- উল্লেখযোগ্য পণ্যগুলির সমাধান ব্যায়াম
- অনুশীলনী 1
- সমাধান
- অনুশীলন 2
- সমাধান
- তথ্যসূত্র
অসাধারণ পণ্য বীজগাণিতিক অপারেশনের, যেখানে polynomials এর multiplications প্রকাশ করা হয়, যা ঐতিহ্যগতভাবে সমাধান করা যেতে প্রয়োজন হবে না, কিন্তু নির্দিষ্ট নিয়ম সাহায্যে একই ফলাফল পাওয়া যাবে।
পলিনোমিয়ালগুলি হ্যাঁ দ্বারা গুণিত হয়, সুতরাং এটি সম্ভব যে তাদের প্রচুর পরিমাণে পদ এবং ভেরিয়েবল রয়েছে। প্রক্রিয়াটিকে আরও সংক্ষিপ্ত করতে, উল্লেখযোগ্য পণ্য বিধি ব্যবহার করা হয়, যা মেয়াদে পদ ছাড়াই গুণকে মঞ্জুরি দেয়।
উল্লেখযোগ্য পণ্য এবং উদাহরণ
প্রতিটি উল্লেখযোগ্য পণ্য হ'ল এমন একটি সূত্র যা দ্বি-দ্বিবিশেষ বা ত্রিকোণাস্ত্রগুলির মতো বিভিন্ন পদগুলির বহুবচন দ্বারা গঠিত একটি ফ্যাক্টরিয়েশন থেকে প্রাপ্ত হয়।
উপাদানগুলি একটি শক্তির ভিত্তি এবং একটি ঘনিষ্ঠ থাকে। যখন উপাদানগুলি গুণিত হয়, তখন অবশ্যই এক্সটেনশন যুক্ত করা উচিত।
বহুগুলি উল্লেখযোগ্য পণ্যের সূত্র রয়েছে, কিছুগুলি বহুবর্ষের উপর নির্ভর করে অন্যের চেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয় এবং সেগুলি নিম্নলিখিত:
দ্বিপদী স্কোয়ার
এটি নিজেই দ্বি-দ্বিফলের গুণ, এটি একটি শক্তি হিসাবে প্রকাশ করা হয়, যেখানে পদগুলি যুক্ত বা বিয়োগ করা হয়:
প্রতি. বর্গাকার যোগফল দ্বিপদী: এটি প্রথম পদটির বর্গক্ষেত্রের সমতুল্য, পাশাপাশি শর্তাবলীর দ্বিগুণ, এবং দ্বিতীয় শর্তের বর্গাকার। এটি নিম্নলিখিত হিসাবে প্রকাশ করা হয়:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b)।
নিম্নলিখিত চিত্রটিতে আপনি দেখতে পাবেন যে কীভাবে পণ্যটি পূর্বোক্ত বিধি অনুসারে বিকাশ করে। ফলাফলটিকে একটি নিখুঁত বর্গক্ষেত্রের ত্রিকোণীয় বলা হয়।
উদাহরণ 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5² ²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25।
উদাহরণ 2
(4 এ + 2 বি) = (4 এ) 2 + 2 (4 এ * 2 বি) + (2 বি) 2
(4 এ + 2 বি) = 8 এ 2 + 2 (8 এবি) + 4 বি 2
(4 এ + 2 বি) = 8 এ 2 + 16 আব + 4 বি 2 ।
খ। বর্গক্ষেত্রে বিয়োগের দ্বিপদী: একটি যোগফলের দ্বিপাক্ষের একই নিয়ম প্রযোজ্য, কেবলমাত্র এই ক্ষেত্রে দ্বিতীয় পদটি নেতিবাচক। এর সূত্রটি নিম্নলিখিত:
(a - b) 2 = 2
(a - b) 2 = a 2 + 2a * (-বি) + (-বি) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 ।
উদাহরণ 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36।
সংমিশ্রিত দ্বিপদীগুলির পণ্য
দুটি দ্বি-দ্বিপদী সংহত হয় যখন প্রত্যেকের দ্বিতীয় পদে পৃথক চিহ্ন থাকে, অর্থাৎ প্রথমটি ইতিবাচক এবং দ্বিতীয়টি নেতিবাচক বা বিপরীত হয়। এটি প্রতিটি মনমোয়েল স্কয়ার করে এবং বিয়োগ করে সমাধান করা হয়। এর সূত্রটি নিম্নলিখিত:
(a + b) * (ক - খ)
নিম্নলিখিত চিত্রটিতে দুটি সংমিশ্রিত দ্বিপদীগুলির পণ্য বিকাশ করা হয়েছে, যেখানে দেখা যায় যে ফলাফলটি স্কোয়ারের পার্থক্য।
উদাহরণ 1
(2 এ + 3 বি) (2 এ - 3 বি) = 4 এ 2 + (-6 বি) + (6 আব) + (-9 বি 2)
(2 এ + 3 বি) (2 এ - 3 বি) = 4 এ 2 - 9 বি 2 ।
একটি সাধারণ পদ সহ দুটি দ্বিপদীের পণ্য
এটি একটি অত্যন্ত জটিল এবং খুব কমই ব্যবহৃত লক্ষণীয় পণ্য, কারণ এটি দুটি দ্বি-দ্বিফলের একটি গুণ যা একটি সাধারণ শব্দ। নিয়মটি নিম্নলিখিতটি বলে:
- সাধারণ শব্দটির বর্গ।
- যোগ শর্তাদি যেগুলি সাধারণ নয় এবং তারপরে সাধারণ শব্দটি দিয়ে তাদের গুণ করুন।
- যে শর্তগুলি সাধারণ নয় তার গুণফলের যোগফল।
এটি সূত্রে প্রতিনিধিত্ব করা হয়: (x + a) * (x + b) এবং চিত্রটিতে প্রদর্শিত হিসাবে এটি বিকাশ করা হয়েছে। ফলাফলটি একটি নিখুঁত বর্গক্ষেত্রের ত্রৈমাসিক।
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * এক্স + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54।
দ্বিতীয় শব্দটি (পৃথক শব্দ) নেতিবাচক হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে এবং এর সূত্রটি নিম্নরূপ: (x + a) * (x - b)।
উদাহরণ 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8।
এটি উভয় ভিন্ন পদ নেতিবাচক যে ক্ষেত্রে হতে পারে। এর সূত্রটি হ'ল: (এক্স - এ) * (এক্স - বি)।
উদাহরণ 3
(3 বি - 6) * (3 বি - 5) = (3 বি * 3 বি) + (-6 - 5) * (3 বি) + (-6 * -5)
(3 বি - 6) * (3 বি - 5) = 9 বি 2 + (-11) * (3 বি) + (30)
(3 বি - 6) * (3 বি - 5) = 9 বি 2 - 33 বি + 30।
বর্গাকার বহুপদী
এক্ষেত্রে দুটিরও বেশি পদ রয়েছে এবং এটি বিকাশ করতে প্রতিটি এককে স্কোয়ার করা হয় এবং এক সাথে অন্য পদটির দ্বিগুণ গুণ করা হয়; এর সূত্রটি হ'ল: (a + b + c) 2 এবং অপারেশনের ফলাফলটি একটি বর্গক্ষেত্রের ত্রৈমাসিক।
উদাহরণ 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + + 2 বর্ষ + + 4z) 2 = 9x 2 + + 4y 2 + + 16z 2 + + 12xy + + 24xz + + 16yz।
দ্বিপদী কিউব
এটি একটি উল্লেখযোগ্য জটিল পণ্য। এটি বিকাশের জন্য, দ্বিপদীটি তার বর্গ দ্বারা নিম্নরূপ:
প্রতি. এক যোগফলের দ্বি-দ্বি কিউবডের জন্য:
- প্রথম পদটির ঘনক্ষেত্র, দ্বিতীয় বারের প্রথম বারের বর্গাকার ত্রিগুণ।
- প্রথম টার্মের ট্রিপল, দ্বিতীয় স্কোয়ারের বার times
- দ্বিতীয় মেয়াদে কিউব প্লাস করুন।
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2)
(এ + বি) 3 = এ 3 + 2 এ 2 বি + আব 2 + বা 2 + 2 এবি 2 + বি 3
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 খ + 3ab 2 + বি 3 ।
উদাহরণ 1
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (ক) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (ক) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27।
খ। বিয়োগের দ্বিপদী কিউবের জন্য:
- প্রথম পদটির ঘনক্ষন, দ্বিতীয় বারের প্রথম বারের বর্গক্ষেত্রের তিনগুণ বেশি।
- প্রথম টার্মের ট্রিপল, দ্বিতীয় স্কোয়ারের বার times
- দ্বিতীয় শব্দটির ঘনক বিয়োগ।
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2)
(ক - খ) 3 = এ 3 - 2 এ 2 বি + আব 2 - বা 2 + 2 এবি 2 - বি 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 খ + 3ab 2 - খ 3 ।
উদাহরণ 2
(খ - ৫) 3 = বি 3 + 3 (খ) 2 * (-5) + 3 (খ) * (-5) 2 + (-5) 3
(খ - ৫) 3 = বি 3 + 3 (খ) 2 * (-5) + 3 (খ) * (25) -125
(খ - 5) 3 = বি 3 - 15 বি 2 + 75 বি - 125।
ত্রৈমাসিকের ঘনক্ষেত্র
এটি এর বর্গ দ্বারা গুণ করে এটি বিকশিত হয়। এটি একটি খুব বড় উল্লেখযোগ্য পণ্য কারণ আপনার 3 টি শব্দের ঘনক্ষেত্র রয়েছে, প্রতিটি শর্তের তিনটি গুণ প্রতিটি শর্ত দ্বারা গুণিত হয় এবং তিনটি শর্তাবলীর ছয়গুণ হয়। আরও ভাল উপায়ে দেখা:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(একটি + B + গ) 3 = একটি 3 + খ 3 + C 3 + + 3a 2 B + 3ab 2 + + 3a 2 C + 3ac 2 + + 3b 2 C + 3bc 2 + + 6abc।
উদাহরণ 1
উল্লেখযোগ্য পণ্যগুলির সমাধান ব্যায়াম
অনুশীলনী 1
নিম্নলিখিত দ্বিপদী কিউব প্রসারিত করুন: (4x - 6) 3 ।
সমাধান
মনে রাখবেন যে দ্বিপদী ঘনক্ষেত্র প্রথম শব্দ ঘনক্ষেত্রের সমান, দ্বিতীয় বারের প্রথম বারের বর্গাকার বিয়োগফলের দ্বিগুণ; প্রথম শর্তের ট্রিপল, দ্বিতীয় স্কোয়ারের দ্বিগুণ, দ্বিতীয় পদটির কিউব বিয়োগ করে।
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36।
অনুশীলন 2
নিম্নলিখিত দ্বিপদীটি বিকাশ করুন: (x + 3) (x + 8)।
সমাধান
একটি দ্বিপদী রয়েছে যেখানে একটি সাধারণ শব্দ রয়েছে, যা এক্স এবং দ্বিতীয় শব্দটি ইতিবাচক। এটি বিকাশের জন্য আপনাকে কেবলমাত্র সাধারণ শব্দটি বর্গাকার করতে হবে, পাশাপাশি যে শর্তগুলি সাধারণ নয় (3 এবং 8) এবং তার পরে সাধারণ পদটি দ্বারা এটিগুলি গুণ করে, পাশাপাশি শর্তগুলিও গুণফলকে যোগ করে না।
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24।
তথ্যসূত্র
- অ্যাঞ্জেল, এআর (2007) প্রাথমিক বীজগণিত। পিয়ারসন শিক্ষা,.
- আর্থার গুডম্যান, এলএইচ (1996)। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সাথে বীজগণিত এবং ত্রিকোণমিতি। পিয়ারসন শিক্ষা.
- দাস, এস। (এনডি) গণিত প্লাস 8. যুক্তরাজ্য: রত্না সাগর।
- জেরোম ই কাউফম্যান, কেএল (২০১১)। প্রাথমিক ও মধ্যবর্তী বীজগণিত: একটি সম্মিলিত পদ্ধতি। ফ্লোরিডা: সেনেজ লার্নিং।
- পেরেজ, সিডি (২০১০)। পিয়ারসন শিক্ষা.