ননলাইনার প্রোগ্রামিং: পদ্ধতি এবং অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

অরৈখিক প্রোগ্রামিং একটি ফাংশন বিভিন্ন স্বাধীন ভেরিয়েবল, যেটা ঘুরে ফিরে সীমাবদ্ধতার শিকার হয় উপর নির্ভর করে নিখুঁত প্রক্রিয়া।

যদি এক বা একাধিক বিধিনিষেধ, বা যদি ফাংশনটি সর্বাধিক বা সংক্ষিপ্ত করা হয় (অবজেক্টিভ ফাংশন বলা হয়), ভেরিয়েবলের রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে প্রকাশ না করা হয়, তবে আপনার একটি ননলাইনার প্রোগ্রামিং সমস্যা রয়েছে।

চিত্র 1. ননলাইনার প্রোগ্রামিং সমস্যা (এনএলপি)। সীমাবদ্ধতা দ্বারা নির্ধারিত সবুজ অঞ্চলে অনুকূলকরণের জন্য যেখানে জি হ'ল (অ-রৈখিক) ফাংশন। সূত্র: এফ.জাপাটা।

এবং তাই লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ের পদ্ধতি এবং পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা যায় না।

উদাহরণস্বরূপ, সুপরিচিত সিম্প্লেক্স পদ্ধতিটি ব্যবহার করা যাবে না, যা কেবল তখনই প্রযোজ্য যখন সমস্যাটির ভেরিয়েবলগুলির সমস্ত লিনিয়ার সংমিশ্রণ হয় objective

লিনিয়ার প্রোগ্রামিং পদ্ধতি

অ-লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যার জন্য প্রধান পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা হ'ল:

1.- গ্রাফিক পদ্ধতি।

2.- দ্রষ্টব্য অঞ্চলের সীমানাটি সন্ধান করতে ল্যাঞ্জরেঞ্জ গুণক।

3.- উদ্দেশ্য ফাংশনের চূড়ান্ত অন্বেষণে গ্রেডিয়েন্টের গণনা।

৪- নাল গ্রেডিয়েন্ট পয়েন্টগুলি সন্ধান করার জন্য, অবতরণ পদক্ষেপগুলির পদ্ধতি।

৫.- লাগরঞ্জ মাল্টিপ্লায়ার্সের পরিবর্তিত পদ্ধতি (কারুশ-কুহান-টকার শর্ত সহ)।

গ্রাফিকাল পদ্ধতিতে সমাধানের উদাহরণ

গ্রাফিকাল পদ্ধতির সাথে সমাধানের উদাহরণ হ'ল চিত্র 2 এ দেখা যাবে:

চিত্র 2. অ-রৈখিক বিধিনিষেধ এবং এর গ্রাফিকাল সমাধান সহ অ-লিনিয়ার সমস্যার উদাহরণ। সূত্র: এফ.জাপাটা।

অনুশীলন

- অনুশীলন 1 (গ্রাফিক পদ্ধতি)

কোনও নির্দিষ্ট কোম্পানির লাভ জি পণ্য এক্সের বিক্রি হওয়া পরিমাণ এবং পণ্য ওয়াইয়ের পরিমাণের উপর নির্ভর করে, এছাড়াও, নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা লাভটি নির্ধারণ করা হয়:

জি = 2 (এক্স - 2) ² + 3 (ওয়াই - 3) ²

পরিমাণ এক্স এবং ওয়াইয়ের নিম্নলিখিত সীমাবদ্ধতা রয়েছে বলে জানা যায়:

X≥0; Y≥0 এবং X + Y ≤ 7

এক্স এবং ওয়াইয়ের মানগুলি নির্ধারণ করুন যা সর্বাধিক লাভ করে।

চিত্র 3. ননলাইনার প্রোগ্রামিং ব্যবহার করে সুনির্দিষ্ট লাভের জন্য কোনও সংস্থার লাভ গণিতের মডেলিং করা যায়। সূত্র: পিক্সাবে।

সমাধান

এই সমস্যায় উদ্দেশ্যমূলক কার্যটি অ-লিনিয়ার, যখন সীমাবদ্ধতাগুলি সংজ্ঞায়িত করে এমন অসমতা। এটি একটি ননলাইনার প্রোগ্রামিং সমস্যা।

এই সমস্যার সমাধানের জন্য, গ্রাফিকাল পদ্ধতিটি বেছে নেওয়া হবে।

প্রথমত, সমাধান অঞ্চলটি নির্ধারিত হবে, যা বিধিনিষেধ দ্বারা প্রদত্ত।

X≥0 হিসাবে; হ্যাঁ, সমাধানটি এক্সওয়াই বিমানের প্রথম কোয়াড্রেন্টে সন্ধান করতে হবে, তবে যেহেতু এটিও সত্য হতে হবে যে এক্স + ওয়াই ≤ 7, সমাধানটি এক্স + ওয়াই = 7 রেখার নীচের অর্ধেক সমতলে রয়েছে।

সমাধান অঞ্চলটি লাইনের নীচের অর্ধেক সমতলের সাথে প্রথম চতুর্ভুজটির ছেদ হয়, এটি সমাধান খুঁজে পাওয়া যায় এমন একটি ত্রিভুজাকার অঞ্চলে জন্ম দেয়। এটি চিত্র 1-এ নির্দেশিত একই।

অন্যদিকে, লাভ জিটি কার্টেসিয়ান বিমানটিতেও প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, কারণ এর সমীকরণটি কেন্দ্রের উপবৃত্তের সাথে (২,৩)।

উপবৃত্তিকে জি এর বিভিন্ন মানের জন্য চিত্র 1 এ দেখানো হয়েছে। জি এর মান যত বেশি হবে তত বেশি লাভ হবে।

অঞ্চলটির সাথে সম্পর্কিত এমন সমাধান রয়েছে তবে সর্বাধিক জি মান দেয় না, অন্যদিকে, যেমন জি = 92.4, সবুজ অঞ্চলের বাইরে, অর্থাত্ দ্রবণীয় অঞ্চলের বাইরে।

তারপরে, জি এর সর্বাধিক মান, যেমন X এবং Y সমাধান অঞ্চলের সাথে সম্পর্কিত belong

জি = 77 (সর্বোচ্চ লাভ), যা এক্স = 7 এবং ওয়াই = 0 এর জন্য দেওয়া হয়।

মজার বিষয় হল, পণ্য ওয়য়ের বিক্রির পরিমাণ শূন্য হলে সর্বাধিক মুনাফা হয়, যখন পণ্য এক্সের পরিমাণটি তার সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মানটিতে পৌঁছে যায়।

- অনুশীলন 2 (বিশ্লেষণ পদ্ধতি: ল্যাঞ্জারেজ গুণক)

অঞ্চল (x, y) = x ² + y ² - 1 = 0 অঞ্চলে f (x, y) = x ² + 2y ² সর্বাধিক কার্যকারিতা তৈরি করে এমন সমাধান (x, y) সন্ধান করুন ।

সমাধান

এটি স্পষ্টতই একটি অ-রৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যা, যেহেতু উভয় অবজেক্টিভ ফাংশন f (x, y) এবং সীমাবদ্ধতা g (x, y) = 0, এক্স এবং y এর ভেরিয়েবলের লিনিয়ার সংমিশ্রণ নয়।

ল্যাংরেঞ্জ মাল্টিপ্লায়ার্স পদ্ধতি ব্যবহার করা হবে, যার জন্য প্রথমে লাগরঞ্জ ফাংশন এল (x, y, λ) সংজ্ঞায়িত করা প্রয়োজন:

L (x, y, λ) = f (x, y) - λ g (x, y) = x ² + 2y ² - λ (x ² + y ² - 1)

যেখানে λ হ'ল ল্যাঞ্জরেঞ্জ গুণক হিসাবে পরিচিত একটি প্যারামিটার।

সীমাবদ্ধতা g (x, y) = 0 দ্বারা প্রদত্ত সমাধান অঞ্চলে অবজেক্টিভ ফাংশনের চরম মান নির্ধারণ করতে, এই পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করুন:

X, y, to এর সাথে ল্যাঞ্জারেজ ফাংশন L এর আংশিক ডেরাইভেটিভগুলি সন্ধান করুন λ

- প্রতিটি ডেরাইভেটিভকে শূন্যে পরিণত করুন।

এই ক্রিয়াকলাপগুলির ক্রম এখানে:

1. /L / ∂x = 2x - 2λx = 0
2. /L / ∂y = 4y - 2λy = 0
3. /L / ∂λ = - (x ² + y ² - 1) = 0

সম্ভাব্য সিস্টেম সমাধান

এই সিস্টেমের একটি সম্ভাব্য সমাধান হ'ল 1 = 1 যাতে প্রথম সমীকরণটি সন্তুষ্ট হয়, সেই ক্ষেত্রে y = 0 যাতে দ্বিতীয়টি সন্তুষ্ট থাকে।

এই সমাধানটি তৃতীয় সমীকরণের সন্তুষ্ট হওয়ার জন্য x = 1 বা x = -1 বোঝায়। এইভাবে, দুটি সমাধান এস 1 এবং এস 2 পাওয়া গেছে:

এস 1: (x = 1, y = 0)

এস 2: (x = -1, y = 0)

অন্য বিকল্পটি হ'ল λ = 2 যাতে দ্বিতীয় সমীকরণটি সন্তুষ্ট হয়, y মান নির্বিশেষে।

এই ক্ষেত্রে, প্রথম সমীকরণটি সন্তুষ্ট হওয়ার একমাত্র উপায় হ'ল x = 0। তৃতীয় সমীকরণ বিবেচনা করে, কেবলমাত্র দুটি সম্ভাব্য সমাধান রয়েছে, যা আমরা এস 3 এবং এস 4 কল করব:

এস 3: (x = 0, y = 1)

এস 4: (x = 0, y = -1)

এই সমাধানগুলির মধ্যে কোনটি উদ্দেশ্যমূলক কার্যকে সর্বাধিক করে তোলে তা জানতে, আমরা f (x, y) এর বিকল্পটিতে এগিয়ে চলেছি:

এস 1: এফ (1, 0) = 1 ² + 2.0 ² = 1

এস 2: এফ (-1, 0) = (-1) ² + 2.0 ² = 1

এস 3: এফ (0, 1) = 0 ² + 2.1 ² = 2

এস 4: এফ (0, -1) = 0 ² + 2 (-1) ² = 2

আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে সমাধানগুলি সর্বাধিক বৃদ্ধি করে, যখন x এবং y পরিধি জি (x, y) = 0 এর সাথে সম্পর্কিত হয় তবে এস 3 এবং এস 4 হয়।

সমাধানের অঞ্চলে g (x, y) = 0 এর মানগুলির (x = 0, y = 1) এবং (x = 0, y = -1) সর্বাধিক f (x, y) যোগ করুন।

- অনুশীলন 3 (নাল গ্রেডিয়েন্ট)

উদ্দেশ্যমূলক কার্যের জন্য সমাধান (x, y) সন্ধান করুন:

f (x, y) = x ² + 2 y ²

অঞ্চলে সর্বাধিক হওয়া যাক (x, y) = x ² + y ² - 1 ≤ 0।

সমাধান

এই অনুশীলনটি 2 অনুশীলনের সাথে সমান, তবে দ্রবণটি (বা সীমাবদ্ধতা) অঞ্চলটি পরিধি g (x, y) = 0 এর অভ্যন্তরীণ অঞ্চলে প্রসারিত, এটি জি (x, y) circle 0 বৃত্তকে বলতে হবে যার মধ্যে রয়েছে পরিধি এবং এর অভ্যন্তরীণ অঞ্চলে।

সীমান্তের সমাধানটি ইতিমধ্যে 2 অনুশীলনে নির্ধারণ করা হয়েছে, তবে অভ্যন্তরীণ অঞ্চলটি অন্বেষণ করা এখনও বাকি রয়েছে।

এটি করার জন্য, সমাধান অঞ্চলে চূড়ান্ত মানগুলি খুঁজে পেতে, ফ (x, y) ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট গণনা করতে হবে এবং শূন্যের সমান সেট করতে হবে। এটি যথাক্রমে x এবং y এর সাথে সম্মানের সাথে f এর আংশিক ডেরাইভেটিভগুলি গণনা এবং এটি শূন্যের সমান নির্ধারণের সমতুল্য:

/F / ∂x = 2 x = 0

/F / ∂y = 4 y = 0

এই সমীকরণের সিস্টেমে একমাত্র সমাধান (x = 0, y = 0) রয়েছে যা g (x, y) circle 0 বৃত্তের অন্তর্গত।

ফাংশন এ ফলাফলের মধ্যে এই মান প্রতিস্থাপন:

f (0, 0) = 0

উপসংহারে, সমাধান অঞ্চলে ফাংশনটি সর্বাধিক মান নেয় এবং মান (x = 0, y = 1) এবং (x = 0, y = -1) এর জন্য সমাধান অঞ্চলের সীমানায় ঘটে maximum ।

তথ্যসূত্র

1. অ্যাভ্রিয়েল, এম। 2003. ননলাইনার প্রোগ্রামিং। ডোভার পাবলিশিং।
2. বজারা। 1979. ননলাইনার প্রোগ্রামিং। জন উইলি অ্যান্ড সন্স
3. বার্টসেকাস, ডি 1999. ননলাইনার প্রোগ্রামিং: 2 য় সংস্করণ। এথেনা বৈজ্ঞানিক।
4. নোসেডাল, জে। 1999. সংখ্যাগত অপ্টিমাইজেশন। স্প্রঞ্জার-ভার্লাগ।
5. উইকিপিডিয়া। ননলাইনার প্রোগ্রামিং। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: এস.ইউইকিভিডিয়া