- সমতার বৈশিষ্ট্যগুলি কী কী?
- প্রতিফলিত সম্পত্তি
- প্রতিসম সম্পত্তি
- ট্রানজিটিভ সম্পত্তি
- ইউনিফর্ম সম্পত্তি
- বাতিল সম্পত্তি
- প্রতিস্থাপন সম্পত্তি
- সমতাতে পাওয়ার সম্পত্তি
- সমতা মধ্যে রুট সম্পত্তি
- তথ্যসূত্র
সমতা বৈশিষ্ট্য, দুই গাণিতিক বস্তুর মধ্যে সম্পর্ক পড়ুন কিনা তারা সংখ্যা বা ভেরিয়েবল। এটি "=" চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যা সর্বদা এই দুটি বস্তুর মধ্যে যায়। এই অভিব্যক্তি দুটি গাণিতিক বস্তু একই বস্তুর প্রতিনিধিত্ব করে তা প্রতিষ্ঠিত করতে ব্যবহৃত হয়; অন্য কথায়, যে দুটি বস্তু একই জিনিস।
সাম্য ব্যবহারের ক্ষেত্রে তুচ্ছ ঘটনা রয়েছে cases উদাহরণস্বরূপ, এটি পরিষ্কার যে 2 = 2। তবে, ভেরিয়েবলগুলির ক্ষেত্রে এটি আর তুচ্ছ নয় এবং এর নির্দিষ্ট ব্যবহার রয়েছে specific উদাহরণস্বরূপ, আমাদের কাছে যদি y = x এবং অন্যদিকে x = 7 থাকে তবে আমরা y = 7ও শেষ করতে পারি।
উপরের উদাহরণটি সাম্যের একটি বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে তৈরি হয়েছে, আপনি শীঘ্রই দেখতে পাবেন। এই বৈশিষ্ট্যগুলি সমীকরণগুলি (ভেরিয়েবলগুলির সাথে জড়িত সমতা) সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয়, যা গণিতের একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ অংশ গঠন করে।
সমতার বৈশিষ্ট্যগুলি কী কী?
প্রতিফলিত সম্পত্তি
প্রতিচ্ছবি সম্পত্তি, সমতার ক্ষেত্রে, প্রতিটি সংখ্যার নিজের সমান এবং যে কোনও বাস্তব সংখ্যার জন্য b = b হিসাবে প্রকাশিত হয় বি।
সাম্যতার বিশেষ ক্ষেত্রে এই সম্পত্তিটি সুস্পষ্ট বলে মনে হয়, তবে সংখ্যার মধ্যে অন্য ধরণের সম্পর্ক এটি নয়। অন্য কথায়, প্রতিটি আসল সংখ্যার এই সম্পত্তিটি পূরণ করে না। উদাহরণস্বরূপ, সম্পর্কের ক্ষেত্রে "এর চেয়ে কম" (<); কোনও সংখ্যা নিজের থেকে কম নয়।
প্রতিসম সম্পত্তি
সমতার জন্য প্রতিসম সম্পত্তি বলছে যে যদি a = b হয়, তবে খ = ক। ভেরিয়েবলগুলিতে কী অর্ডার ব্যবহৃত হয় তা বিবেচনা না করেই এটি সাম্যের সম্পর্ক দ্বারা সংরক্ষণ করা হবে।
পরিবহনের সম্পত্তি সহ এই সম্পত্তিটির একটি নির্দিষ্ট উপমা সংযোজনের ক্ষেত্রে লক্ষ্য করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, এই সম্পত্তির কারণে এটি y = 4 বা 4 = y লেখার সমতুল্য।
ট্রানজিটিভ সম্পত্তি
সমতার উপর ট্রানজিটিভ সম্পত্তি উল্লেখ করে যে যদি a = b এবং b = c হয় তবে a = c। উদাহরণস্বরূপ, 2 + 7 = 9 এবং 9 = 6 + 3; সুতরাং, ট্রানজিটিভ সম্পত্তি দ্বারা আমাদের কাছে এটি 2 + 7 = 6 + 3 রয়েছে।
একটি সহজ অ্যাপ্লিকেশনটি নিম্নরূপ: ধরুন যে জুলিয়ান 14 বছর বয়সী এবং মারিওর সমান বয়স রোজার মতো। জুলাইনের মতো রোজার বয়স যদি হয় তবে মারিওর বয়স কত?
এই দৃশ্যের পিছনে ট্রানজিটিভ সম্পত্তি দুটিবার ব্যবহৃত হয়। গাণিতিকভাবে এটি নিম্নলিখিত হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়: "একটি" মারিওর বয়স হতে হবে, "খ" রোজার যুগ এবং "গ" জুলিয়ান যুগ হতে দিন। এটি পরিচিত যে বি = সি এবং সে সি = 14।
ট্রানজিটিভ প্রোপার্টি দিয়ে আমাদের কাছে সেই খ = 14; অর্থাৎ, রোজার বয়স 14 বছর। যেহেতু a = b এবং b = 14, আবার ট্রানজিটিভ সম্পত্তি ব্যবহার করে আমাদের কাছে a = 14; অর্থাৎ মারিওর বয়সও 14 বছর।
ইউনিফর্ম সম্পত্তি
অভিন্ন সম্পত্তি হ'ল সমতার উভয় পক্ষ যদি একই পরিমাণে যুক্ত বা গুণিত হয় তবে সাম্যতা রক্ষা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি 2 = 2 হয়, তবে 2 + 3 = 2 + 3, যা পরিষ্কার, 5 = 5 থেকে। কোনও সমীকরণ সমাধান করার চেষ্টা করার সময় এই সম্পত্তিটি সবচেয়ে কার্যকর।
উদাহরণস্বরূপ, ধরুন আপনাকে x-2 = 1 সমীকরণটি সমাধান করতে বলা হয়েছে। এটি মনে রাখা সুবিধাজনক যে কোনও সমীকরণের সমাধানের মধ্যে একটি নির্দিষ্ট নম্বর বা পূর্বে নির্দিষ্ট ভেরিয়েবলের ভিত্তিতে স্পষ্টভাবে জড়িত পরিবর্তনশীল (বা ভেরিয়েবল) নির্ধারণ করা থাকে consists
X-2 = 1 সমীকরণে ফিরে যাওয়া, আপনাকে কী করতে হবে তা স্পষ্টভাবে পাওয়া যাবে যে এক্স কতটা মূল্যবান। এটি করার জন্য, ভেরিয়েবলটি সাফ করতে হবে।
এটি ভ্রান্তভাবে শিখিয়ে দেওয়া হয়েছে যে এই ক্ষেত্রে, 2 নম্বরটি নেতিবাচক হওয়ায় এটি ইতিবাচক চিহ্ন সহ সমতার অন্য দিকে চলে যায়। তবে সেভাবে বলা ঠিক হবে না।
মূলত, আপনি যা করছেন তা হচ্ছে ইউনিফর্ম সম্পত্তি প্রয়োগ করা, আমরা নীচে দেখব। ধারণাটি "এক্স" সাফ করার জন্য; অর্থাত সমীকরণের একদিকে রেখে দিন leave কনভেনশন দ্বারা এটি সাধারণত বাম দিকে রেখে দেওয়া হয়।
এই উদ্দেশ্যে, "অপসারণ" করার সংখ্যাটি -২ হয়। এটি করার উপায় হ'ল 2 যুক্ত করে, -2 + 2 = 0 এবং x + 0 = 0। সাম্য পরিবর্তন না করে এটি করতে, একই অপারেশনটি অন্য দিকে প্রয়োগ করতে হবে।
এটি এটি অভিন্ন সম্পত্তি উপলব্ধি করতে অনুমতি দেয়: যেহেতু x-2 = 1, সমানতার উভয় পাশে যদি 2 নম্বর যুক্ত করা হয়, তবে অভিন্ন সম্পত্তি বলে যে এটি পরিবর্তন করা হয়নি। তারপরে আমাদের কাছে সেই x-2 + 2 = 1 + 2 রয়েছে, যা x = 3 বলার সমান। এই সঙ্গে সমীকরণ সমাধান করা হবে।
একইভাবে, আপনি যদি সমীকরণটি (1/5) y-1 = 9 সমাধান করতে চান তবে আপনি অভিন্ন সম্পত্তিটি নীচে ব্যবহার করে এগিয়ে যেতে পারেন:
আরও সাধারণভাবে নিম্নলিখিত বিবৃতি দেওয়া যেতে পারে:
- যদি ab = সিবি হয়, তবে a = গ।
- যদি xb = y হয়, তবে এক্স = y + বি।
- যদি (1 / a) z = b হয়, তবে z = a × ×
- যদি (1 / c) a = (1 / c) বি হয়, তবে a = খ।
বাতিল সম্পত্তি
বাতিল সম্পত্তি হ'ল অভিন্ন সম্পত্তির একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, বিশেষত বিয়োগ এবং বিভাগের ক্ষেত্রে বিবেচনা করে (যা মূলত, সংযোজন এবং গুণটির সাথেও মিল রয়েছে)। এই সম্পত্তি এই ক্ষেত্রে পৃথকভাবে আচরণ করে।
উদাহরণস্বরূপ, যদি 7 + 2 = 9 হয় তবে 7 = 9-2। অথবা যদি 2y = 6 হয় তবে y = 3 (উভয় পক্ষের দ্বারা দুটি দ্বারা বিভাজন)।
পূর্ববর্তী কেস হিসাবে একই সঙ্গে, নিম্নলিখিত বিবৃতি বাতিল সম্পত্তি মাধ্যমে প্রতিষ্ঠিত করা যেতে পারে:
- যদি a + b = c + b হয় তবে a = c
- যদি x + b = y হয় তবে x = yb।
- যদি অ্যাজ = বি হয়, তবে z = বি / এ।
- যদি সিএ = সিবি হয় তবে a = খ।
প্রতিস্থাপন সম্পত্তি
আমরা যদি কোন গাণিতিক বস্তুর মান জানি তবে প্রতিস্থাপনের সম্পত্তিটি বলে যে এই মানটি কোনও সমীকরণ বা অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপিত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি b = 5 এবং a = bx হয়, তবে দ্বিতীয় সমতার মধ্যে "b" এর মান প্রতিস্থাপন করে আমাদের কাছে a = 5x থাকে।
আর একটি উদাহরণ নিম্নরূপ: যদি "এম" বিভাজক "এন" এবং এছাড়াও "এন" বিভাজক "এম" থাকে তবে আমাদের অবশ্যই সেই মি = এন থাকতে হবে।
প্রকৃতপক্ষে, "এম" বিভাজক "এন" (বা সমতুল্য, "মি" "এন" এর বিভাজক) এর অর্থ এম বিভাজনটি হ'ল; অর্থাৎ, "মি" কে "এন" দ্বারা ভাগ করা দশমিক নয়, পুরো সংখ্যা দেয়। এটি এই বলে প্রকাশ করা যেতে পারে যে এম = কে × n এর মতো একটি পূর্ণসংখ্যা "কে" রয়েছে exists
যেহেতু "এন" "মি" কেও বিভক্ত করে, তারপরে এমন একটি পূর্ণসংখ্যার "পি" উপস্থিত থাকে যেমন এন = পি। এম। প্রতিস্থাপনের সম্পত্তি হিসাবে, আমাদের সেই এন = পি × কে × এন রয়েছে এবং এটি হওয়ার জন্য দুটি সম্ভাবনা রয়েছে: এন = 0, এক্ষেত্রে আমাদের পরিচয় 0 = 0 হবে; op × k = 1, সুতরাং পরিচয় n = n।
ধরুন "এন" ননজারো zer তারপরে অগত্যা পি × কে = 1; সুতরাং, পি = 1 এবং কে = 1। প্রতিস্থাপনের সম্পত্তিটি আবার ব্যবহার করে, সমতা m = k × n (বা সমতুল্যভাবে, পি = 1 কে এন = পি × এম) তে স্থির করে, আমরা শেষ পর্যন্ত সেই এম = এন পাই যা আমরা প্রমাণ করতে চেয়েছিলাম।
সমতাতে পাওয়ার সম্পত্তি
পূর্বে যেমন দেখা গিয়েছিল যে সংযোজন, গুণ, বিয়োগ বা বিভাগের মতো কোনও অপারেশন যদি একটি সাম্যের উভয় পদেই করা হয় তবে এটি সংরক্ষণ করা হয়, একইভাবে অন্যান্য অপারেশনগুলিও যে সাম্যকে পরিবর্তন করে না সেগুলি প্রয়োগ করা যেতে পারে।
মূলটি হ'ল সর্বদা এটি সমতার উভয় পক্ষে সম্পাদন করা এবং অপারেশন সম্পাদন করা যেতে পারে তা আগেই নিশ্চিত করে। ক্ষমতায়নের ক্ষেত্রে এ জাতীয় ঘটনা; এটি হল, যদি কোনও সমীকরণের উভয় পক্ষই একই শক্তিতে উত্থাপিত হয় তবে আমাদের এখনও একটি সমতা রয়েছে।
উদাহরণস্বরূপ, 3 = 3 থেকে, তাই 3 2 = 3 2 (9 = 9)। সাধারণভাবে, একটি পূর্ণসংখ্যা দেওয়া হয় "n", যদি x = y হয়, তবে x n = y n হয় ।
সমতা মধ্যে রুট সম্পত্তি
এটি ক্ষমতায়নের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে এবং যখন প্রয়োগ করা হয় যখন শক্তিটি একটি পূর্ণসংখ্যার যুক্তিযুক্ত সংখ্যা হয় যেমন ½, যা বর্গমূলকে উপস্থাপন করে। এই বৈশিষ্ট্যটিতে বলা হয়েছে যে যদি একই মূলটি সমতার উভয় পক্ষে প্রয়োগ করা হয় (যখনই সম্ভব) সাম্যতা সংরক্ষণ করা হয়।
পূর্ববর্তী কেসগুলির বিপরীতে, এখানে অবশ্যই আপনাকে অবশ্যই ব্যবহারের মূলের সমতাটি সম্পর্কে সতর্কতা অবলম্বন করতে হবে, কারণ এটি সুপরিচিত যে aণাত্মক সংখ্যার এমনকি মূলটিও সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত হয়নি।
যে ক্ষেত্রে র্যাডিকালটি সমান, কোনও সমস্যা নেই। উদাহরণস্বরূপ, x 3 = -8, এটি সমতা হলেও, আপনি উভয় পক্ষের বর্গমূল প্রয়োগ করতে পারবেন না, উদাহরণস্বরূপ। তবে, আপনি যদি ঘনক্ষেত্রটি প্রয়োগ করতে পারেন (তবে আপনি x এর মান স্পষ্টভাবে জানতে চান তবে এটি আরও বেশি সুবিধাজনক), যাতে এই x = -2 পাওয়া যায়।
তথ্যসূত্র
- আইলউইন, সিইউ (২০১১)। যুক্তি, সেট এবং নম্বর। মেরিদা - ভেনিজুয়েলা: পাবলিকেশন কাউন্সিল, ইউনিভার্সিডেড ডি লস অ্যান্ডেস।
- জিমনেজ, জে।, রোফ্র্যাগজ, এম।, এবং এস্ট্রাদা, আর। (2005) গণিত 1 এসইপি। থ্রেশহোল্ড
- লিরা, এমএল (1994)। সাইমন ও গণিত: দ্বিতীয় শ্রেণির জন্য গণিতের পাঠ: শিক্ষার্থীর বই। আন্দ্রেস বেলো।
- প্রিকিয়াডো, সিটি (2005)। গণিত কোর্স তৃতীয়। সম্পাদকীয় প্রগ্রেসো।
- সেগোভিয়া, বিআর (২০১২)। মিগুয়েল এবং লুসিয়ার সাথে গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ এবং গেমস। বালডোমেরো রুবিও সেগোভিয়া।
- টোরাল, সি।, এবং প্রিসিয়াডো, এম (1985)। ২ য় গণিত কোর্স। সম্পাদকীয় প্রগ্রেসো।