কোপলনার পয়েন্ট: সমীকরণ, উদাহরণ এবং সমাধান অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

একতলীয় পয়েন্ট সব একই প্লেনে অন্তর্গত। দুটি পয়েন্ট সর্বদা কোপলনার থাকে কারণ এই পয়েন্টগুলি এমন একটি রেখা সংজ্ঞায়িত করে যার মধ্য দিয়ে অসীম বিমানগুলি পাস করে। তারপরে, উভয় বিন্দু লাইন দিয়ে যে প্রতিটি প্লেনের সাথে সম্পর্কিত এবং তাই, তারা সর্বদা কোপলানারে থাকবে।

অন্যদিকে, তিনটি পয়েন্ট একটি একক বিমানকে সংজ্ঞায়িত করে, যেখান থেকে এটি অনুসরণ করে যে তিনটি পয়েন্ট সর্বদা তারা নির্ধারিত বিমানটিতে কোপলনার থাকবে।

চিত্র 1. এ, বি, সি এবং ডি হ'ল (Ω) বিমানে কপ্লানার। E, F এবং G (Ω) এর কোপলনার নয় তবে তারা যে বিমানটিকে সংজ্ঞায়িত করেছে তার কোপলনার। সূত্র: এফ.জাপাটা।

তিনটি পয়েন্টের বেশি কোপলনার হতে পারে বা নাও হতে পারে। চিত্র 1-এ উদাহরণস্বরূপ, বিন্দু A, B, C এবং D সমতলের (Ω) কোপ্লানার হয়। তবে ই, এফ এবং জি কোপলনার (lan) নয়, যদিও তারা যে বিমানটিকে সংজ্ঞায়িত করেছেন তার কোপ্লানার।

তিনটি পয়েন্ট দেওয়া বিমানের সমীকরণ

এ, বি, সি তিনটি পরিচিত পয়েন্ট দ্বারা নির্ধারিত একটি সমতলের সমীকরণ একটি গাণিতিক সম্পর্ক যা গ্যারান্টি দেয় যে জেনেরিক স্থানাঙ্কের সাথে কোনও বিন্দু পি (x, y, z) যে সমীকরণটি পূর্ণ করে তা উক্ত বিমানের অন্তর্গত।

পূর্ববর্তী বক্তব্যটি সমান বলে যে সমীকরণের পি (x, y, z) সমতল সমীকরণটি পূরণ করে, তখন বলা হয়েছে যে বিন্দুটি এ, বি, সি এই তিনটি পয়েন্টের সাথে কোপলনার হবে যা বিমানটি নির্ধারণ করেছিল।

এই বিমানের সমীকরণ সন্ধান করতে, আসুন ভ্যাক্টরদের AB এবং AC আবিষ্কার করে শুরু করুন:

এবি =

এসি =

ভেক্টর পণ্য এবি এক্স এসি পয়েন্ট এ, বি, সি দ্বারা নির্ধারিত সমতলের জন্য একটি ভেক্টর লম্ব বা স্বাভাবিক ফলাফল করে

স্থানাঙ্কগুলির কোনও বিন্দু (এক্স, ওয়াই, জেড) বিমানের অন্তর্ভুক্ত থাকে যদি ভেক্টর এপি ভেক্টর এবি এক্স এসি-এর লম্ব হয়, যা নিশ্চিত:

এপি • (এবি এক্স এসি) = 0

এটি এপি, এবি এবং এসির ট্রিপল পণ্যটি শূন্য বলে সমান । উপরের সমীকরণটি ম্যাট্রিক্স আকারে লেখা যেতে পারে:

উদাহরণ

পয়েন্ট এ (0, 1, 2) যাক; বি (1, 2, 3); সি (7, 2, 1) এবং ডি (এ, 0, 1) চারটি পয়েন্টের কোপলানারের জন্য কোন মান থাকতে হবে?

সমাধান

A এর মান সন্ধান করার জন্য, বিন্দু D অবশ্যই A, B এবং C দ্বারা নির্ধারিত বিমানের অংশ হতে হবে, যদি এটি বিমানের সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে তবে গ্যারান্টিযুক্ত।

আমাদের যে নির্ধারক রয়েছে তা বিকাশ করছে:

পূর্ববর্তী সমীকরণটি আমাদের বলে যে সমতাটি পূর্ণ হওয়ার জন্য একটি = -1। অন্য কথায়, একমাত্র পয়েন্ট D (a, 0,1) এ A, B এবং C বিন্দু সহ কোপলনার হয় -1 হওয়ার জন্য। অন্যথায় এটি কোপলনার হবে না।

সমাধান ব্যায়াম

- অনুশীলনী 1

একটি বিমান কার্টেসিয়ান অক্ষকে X, Y, Z যথাক্রমে 1, 2 এবং 3 এ ছেদ করে। অক্ষ সহ এই সমতলটির ছেদটি বিন্দু A, B এবং C. নির্ধারণ করে একটি বিন্দু D এর উপাদান ডিজেটি আবিষ্কার করুন, যার কার্তেসিয়ান উপাদানগুলি:

প্রদত্ত হয় যে ডি, এ, বি এবং সি পয়েন্ট সহ কোপলনার হয় ided

সমাধান

কার্টেসিয়ান অক্ষ সহ একটি বিমানের বাধা যখন জানা যায়, তখন বিমানের সমীকরণের বিভাগীয় রূপটি ব্যবহার করা যেতে পারে:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

যেহেতু পয়েন্ট ডি অবশ্যই পূর্বের বিমানের অন্তর্গত, তাই এটিতে:

-ডিজ / 1 + (ডিজে + 1) / 2 + ডিজে / 3 = 1

ঐটাই বলতে হবে:

-ডিজ + ডিজে / 2 + ½ + ডিজে / 3 = 1

ডিজেড (-1 + ½ + ⅓) = ½

ডিজেড (-1 / 6⅙) = ½

ডিজেড = -3

উপরের দিক থেকে এটি অনুসরণ করে যে বিন্দু ডি (3, -2, -3) পয়েন্ট এ (1, 0, 0) সহ কোপলনার; বি (0, 2, 0) এবং সি (0, 0, 3)

- অনুশীলন 2

A (0, 5, 3) পয়েন্টগুলি নির্ধারণ করুন; বি (0, 6, 4); সি (2, 4, 2) এবং ডি (2, 3, 1) কোপলনার।

সমাধান

আমরা ম্যাট্রিক্স গঠন করি যার সারিগুলি ডিএ, বিএ এবং সিএর স্থানাঙ্ক হয়। তারপরে নির্ধারকটি গণনা করা হয় এবং এটি শূন্য কিনা তা যাচাই করা হয়।

সমস্ত গণনা সম্পাদন করার পরে, সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছে যে তারা কোপলনার ar

- অনুশীলন 3

স্থান দুটি লাইন আছে। এর মধ্যে একটি হ'ল লাইন (আর) যার প্যারামেট্রিক সমীকরণ:

এবং অন্যটি হল লাইন (এস) যার সমীকরণ:

দেখান যে (আর) এবং (এস) কোপলনার লাইন, অর্থাৎ, তারা একই বিমানে শুয়ে আছে।

সমাধান

আসুন নির্বিচারে রেখায় দুটি বিন্দু (আর) এবং লাইনে দুটি (এস) নিয়ে শুরু করুন:

লাইন (আর): λ = 0; এ (1, 1, 1) এবং λ = 1; বি (3, 0, 1)

X (0) লাইনে (এস) => y = ½; সি (0, ½, -1) এবং অন্যদিকে, আমরা যদি y = 0 => x = 1 করি; ডি (1, 0, -1)

এটি হ'ল, আমরা রেখা (আর) এর সাথে সংযুক্ত A এবং B পয়েন্ট এবং রেখা (S) এর সাথে সম্পর্কিত বিন্দু সি এবং ডি নিয়েছি। যদি এই পয়েন্টগুলি কোপলনার হয় তবে দুটি লাইনও খুব বেশি হবে।

এখন আমরা পাইভট হিসাবে পয়েন্ট এটিকে বেছে নিই এবং তারপরে আমরা ভেক্টর এ বি, এসি এবং এডি এর স্থানাঙ্কগুলি পাই । এইভাবে আপনি পাবেন:

বি - এ: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => এবি = (2, -1, 0)

সি - এ: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => এসি = (-1, -1/2, -2)

ডি - এ: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => এডি = (0, -1, -2)

পরবর্তী পদক্ষেপটি নির্ধারণকারী নির্ধারণ এবং গণনা করা যার প্রথম সারিটি ভেক্টর এবি এর সহগ হয়, দ্বিতীয় সারিটি এসি এবং তৃতীয় সারিতে ভেক্টর এডি এর ত্রি সারিতে হয়:

যেহেতু নির্ধারকটি নাল হয়ে যায়, তারপরে আমরা উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে চারটি পয়েন্ট হ'ল কোপলনার। অতিরিক্তভাবে, এটি উল্লেখ করা যেতে পারে যে লাইনগুলি (আর) এবং (এস) এছাড়াও কোপলনার রয়েছে ar

- অনুশীলন 4

অনুশীলন ৩-তে দেখানো হয়েছে যে রেখাগুলি (আর) এবং (এস) কোপল্যানার them

সমাধান

পয়েন্ট এ, বি, সি সম্পূর্ণরূপে সেই বিমানটিকে সংজ্ঞায়িত করে তবে আমরা চাপিয়ে দিতে চাই যে স্থানাঙ্কের কোনও বিন্দু এক্স (x, y, z) এর সাথে সম্পর্কিত।

এক্স সমতল এ, বি, সি এবং যা সংজ্ঞায়িত লাইন (রাঃ) ও (এস) অন্তর্ভুক্ত করা হয় অন্তর্গত করার জন্য, এটা প্রয়োজনীয় যে নির্ধারক উপাদান দ্বারা তার প্রথম সারিতে সালে গঠিত এ এক্স, দ্বিতীয় সারি তাদের দ্বারা এবি এবং তাদের দ্বারা তৃতীয় এসি:

এই ফলাফল অনুসরণ করে, আমরা এইভাবে গ্রুপ:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (জেড -1) = 0

এবং তাত্ক্ষণিকভাবে আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে এটি আবার এভাবে লেখা যেতে পারে:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

সুতরাং x + 2y - z = 2 হল সমতলের সমীকরণ যা রেখাগুলি (আর) এবং (এস) ধারণ করে।

তথ্যসূত্র

1. ফ্লেমিং, ডব্লিউ। 1989. প্রিক্যালকুলাস গণিত। প্রেন্টাইস হল পিটিআর।
2. কোলম্যান, বি। 2006. লিনিয়ার বীজগণিত। পিয়ারসন শিক্ষা.
3. লিয়াল, জেএম 2005. ফ্ল্যাট বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি। মেরিদা - ভেনিজুয়েলা: সম্পাদকীয় ভেনিজোলানা সিএ
4. নাভারো, রসিও ভেক্টর। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: books.google.co.ve থেকে।
5. পেরেজ, সিডি 2006 Pre প্রাক-গণনা। পিয়ারসন শিক্ষা.
6. প্রেনোভিটস, ডব্লিউ। 2012. জ্যামিতির প্রাথমিক ধারণা। রোম্যান এবং লিটলফিল্ড।
7. সুলিভান, এম। 1997. প্রিক্যালকুলাস। পিয়ারসন শিক্ষা.