মত শর্ত হ্রাস (অনুশীলন সমাধান সহ) - গণিতশাস্ত্র - 2025

এই জাতীয় শর্ত হ্রাস হ'ল বীজগণিতীয় ভাবগুলি সহজ করার জন্য ব্যবহৃত একটি পদ্ধতি। একটি বীজগণিতিক অভিব্যক্তিতে, পদগুলি একই রকম হয় যা ভেরিয়েবল হয়; এটি হ'ল, চিঠির দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা একই অজানা তাদের রয়েছে এবং এদের একই ব্যাক্তি রয়েছে।

কিছু ক্ষেত্রে বহুভুজ ব্যাপক, এবং একটি সমাধানে পৌঁছানোর জন্য অবশ্যই প্রকাশকে হ্রাস করার চেষ্টা করতে হবে; এটি সম্ভব যখন শর্তাবলী সমান হয়, যা সংযোজন, বিয়োগ, গুণ এবং বিভাগের মতো অপারেশন এবং বীজগণিতের বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করে একত্রিত করা যেতে পারে।

ব্যাখ্যা

শর্তগুলি একই ভোজ্যর সাথে একই ভেরিয়েবল দ্বারা গঠিত হয় এবং কিছু ক্ষেত্রে এগুলি কেবল তাদের সংখ্যাগত সহগ দ্বারা পৃথক হয়।

অনুরূপ পদগুলি এমনও বিবেচনা করা হয় যেগুলির ভেরিয়েবল নেই; এটি হল, সেই পদগুলির কেবলমাত্র ধ্রুবক রয়েছে। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত শর্তগুলির মতো:

- 6x ² - 3x ² । উভয় পদেই একই ভেরিয়েবল x ^{2 রয়েছে} ।

- 4 এ ² বি ³ + 2 এ ² বি ³ । উভয় পদেই একই ভেরিয়েবল রয়েছে ² বি ³ ।

- 7 - 6. পদগুলি ধ্রুবক।

যে পদগুলিতে একই ভেরিয়েবল রয়েছে তবে বিভিন্ন এক্সপোশন যুক্ত রয়েছে তাদের বিবিধ পদ বলা হয় যেমন:

- 9 এ ² বি + 5 এবি। ভেরিয়েবলের আলাদা আলাদা এক্সপোজার থাকে।

- 5x + y ভেরিয়েবলগুলি আলাদা।

- বি - ৮. একটি শব্দটির একটি পরিবর্তনশীল রয়েছে, অন্যটি একটি ধ্রুবক।

বহুবর্ষ গঠনের মতো শর্তাদি চিহ্নিত করে এগুলিকে হ্রাস করা যেতে পারে এবং একই ভেরিয়েবলগুলির সাথে একই ভেরিয়েবলগুলির সাথে সমস্ত মিলিয়ে। এইভাবে, অভিব্যক্তিটি এটি রচনা করে এমন পদগুলির সংখ্যা হ্রাস করে এর সমাধানের গণনাটি সহজতর করা হয়।

কীভাবে পদগুলিকে হ্রাস করতে হয়?

সংযোজন সহকারী সম্পত্তি এবং পণ্যের বিতরণযোগ্য সম্পত্তি প্রয়োগ করে লাইক শর্তগুলির হ্রাস করা হয়। নিম্নলিখিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করে একটি শব্দ হ্রাস করা যেতে পারে:

- প্রথমত, শর্তাদি গোষ্ঠীভুক্ত হয়।

- এই জাতীয় পদগুলির সহগ (সংখ্যাগুলির সাথে ভেরিয়েবলগুলি) যুক্ত বা বিয়োগ করা হয় এবং সংঘবদ্ধ, পরিবর্তনমূলক বা বিতরণযোগ্য বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করা হয়, যেমনটি হতে পারে।

- তারপরে প্রাপ্ত নতুন পদগুলি লিখিত হয় এবং তাদের সামনে ক্রিয়াকলাপের ফলস্বরূপ চিহ্নটি রেখে দেয়।

উদাহরণ

নিম্নলিখিত এক্সপ্রেশনটির শর্তগুলি হ্রাস করুন: 10x + 3y + 4x + 5y।

সমাধান

প্রথমে শর্তাদি পরিবর্তিত সম্পত্তি প্রয়োগ করে একই জাতীয় গোষ্ঠীগুলির জন্য আদেশ দেওয়া হয়:

10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y + 5y।

তারপরে বিতরণযোগ্য সম্পত্তি প্রয়োগ করা হয় এবং ভেরিয়েবলগুলির সাথে সহগের যোগফলগুলি শর্তাবলী হ্রাস পেতে যোগ করা হয়:

10x + 4x + 3y + 5y

= (10 + 4) এক্স + (3 + 5) y

= 14x + 8y

মত শর্তগুলি হ্রাস করতে, চলকটির সহগ সহগের লক্ষণগুলি বিবেচনা করা গুরুত্বপূর্ণ। সম্ভাব্য তিনটি মামলা রয়েছে:

সমান চিহ্ন সহ মত পদ হ্রাস

এই ক্ষেত্রে সহগ যোগ করা হয় এবং শর্তাদির চিহ্নটি ফলাফলের সামনে স্থাপন করা হয়। অতএব, তারা যদি ইতিবাচক হয় তবে ফলস্বরূপ পদগুলি ইতিবাচক হবে; শর্তাবলী নেতিবাচক ক্ষেত্রে ক্ষেত্রে, ফলাফলের সাথে ভেরিয়েবলের সাথে (-) চিহ্ন থাকবে। উদাহরণ স্বরূপ:

a) 22ab ² + 12ab ² = 34 আব ² ।

খ) -18x ³ - 9x ³ - 6 = -27x ³ - 6।

মত পদ হ্রাস গ

এই ক্ষেত্রে, গুণফলগুলি বিয়োগ করা হয় এবং ফলাফলের সামনে বৃহত্তম সহগের চিহ্নটি স্থাপন করা হয়। উদাহরণ স্বরূপ:

a) 15x ² y - 4x ² y + 6x ² y - 11x ² y

= (15x ² y + 6x ² y) + (- 4x ² y - 11x ² y)

= 21 গুন বেড়ে গিয়েছিল ² Y + + (-15x ² Y)

= 21x ² y - 15x ² y

= 6x ² এবং।

খ) -5 এ ³ বি + 3 এ ³ বি - 4 এ ³ বি + এ ³ বি

= (3 এ ³ বি + এ ³ বি) + (-5 এ ³ বি - 4 এ ³ বি)

= 4 এ ³ খ - 9 এ ³ খ

= -5 থেকে ³ খ।

সুতরাং, একই লক্ষণগুলি হ্রাস করতে যেগুলিতে বিভিন্ন চিহ্ন রয়েছে, তাদের সাথে একটি একক সংযোজক শব্দটি গঠিত হয় যার ইতিবাচক চিহ্ন (+) থাকে, সহগ যোগ হয় এবং ফলটি ভেরিয়েবলের সাথে আসে।

একইভাবে, একটি বিয়োগফল শব্দটি গঠিত হয়, সেই সমস্ত পদগুলির সাথে একটি নেতিবাচক চিহ্ন রয়েছে (-), সহগ যোগ করা হয় এবং ফলটি ভেরিয়েবলের সাথে আসে।

অবশেষে গঠিত দুটি পদগুলির যোগফলগুলি বিয়োগ করা হয় এবং ফলাফলটির উপর বৃহত্তর চিহ্নটি স্থাপন করা হয়।

ক্রিয়াকলাপে মত পদ হ্রাস

মত শর্ত হ্রাস বীজগণিত একটি অপারেশন, যা যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং বীজগণিত বিভাগ প্রয়োগ করা যেতে পারে।

পরিমাণে

যখন আপনার কয়েকটি পলিনোমিয়াল রয়েছে যেমন শর্তাবলী সহ, তাদের হ্রাস করার জন্য, প্রতিটি বহুপদী শর্তাবলী তাদের লক্ষণগুলি রাখার জন্য আদেশ করা হয়, তারপরে সেগুলি একের পর এক লেখা হয় এবং অনুরূপ পদগুলি হ্রাস হয়। উদাহরণস্বরূপ, আমাদের নিম্নোক্ত বহুবচন রয়েছে:

3x - 4xy + 7x ² এবং + 5xy ² ।

- 6x ² y - 2xy + 9 xy ² - 8x।

বিয়োগে

অন্যের কাছ থেকে একটি বহুত্বের বিয়োগ করতে, মিনুয়েণ্ডটি লেখা হয় এবং তার লক্ষণগুলি সহ সাবট্রেন্ডটি পরিবর্তিত হয় এবং তারপরে এই জাতীয় শর্তগুলি হ্রাস করা হয়। উদাহরণ স্বরূপ:

5 এ ³ - ³ এবি ² + 3 বি ² সি

6ab ² + 2 এ ³ - 8 বি ² সি

সুতরাং, বহুভুজগুলি 3a ³ - 9ab ² + 11b ² সি তে সংক্ষিপ্তসারিত হয়।

গুণে

বহুবর্ষের পণ্যগুলিতে, গুণগুলি তৈরি করে এমন পদগুলি প্রতিটি পদ দ্বারা গুণিত হয় যা গুণক তৈরি করে, বিবেচনা করে যে গুণগুলি চিহ্নগুলি ইতিবাচক থাকলে একই থাকে।

এগুলি কেবল তখনই পরিবর্তিত হবে যখন কোনও পদটি নেতিবাচক হয় by অর্থাৎ একই চিহ্নের দুটি পদ যখন গুণিত হয় ফলাফল ইতিবাচক (+) হবে এবং যখন তাদের আলাদা চিহ্ন রয়েছে তখন ফলাফলটি নেতিবাচক (-) হবে।

উদাহরণ স্বরূপ:

ক) (এ + বি) _* (এ + বি)

= a ² + ab + ab + b ²

= একটি ² + 2ab + বি ² ।

খ) (এ + বি) _* (ক - খ)

= a ² - ab + ab - খ ²

= এ ² - বি ² ।

গ) (ক - খ) _* (ক - খ)

= a ² - ab - ab + b ²

= একটি ² - 2ab + খ ² ।

বিভাগে

আপনি যখন একটি বিভাগের মাধ্যমে দুটি বহুত্ববৃত্তিকে হ্রাস করতে চান, আপনাকে অবশ্যই একটি তৃতীয় বহুবচন খুঁজে পেতে হবে যা দ্বিতীয় (বিভাজক) দ্বারা গুণিত হলে প্রথম বহুপদী (লভ্যাংশ) ফলাফল করে।

তার জন্য, লভ্যাংশ এবং বিভাজকের পদগুলি বাম থেকে ডানে অর্ডার করতে হবে, যাতে উভয়ের ভেরিয়েবল একই ক্রমে থাকে।

তারপরে বিভাজনটি সঞ্চালিত হয়, লভ্যাংশের বাম দিকে প্রথম পদটি দ্বারা বিভাজকের বামে প্রথম শব্দটি দ্বারা শুরু করে সর্বদা প্রতিটি পদটির লক্ষণগুলি বিবেচনা করে।

উদাহরণস্বরূপ, বহুপদী কমাতে: 10x ⁴ - 48x ³ Y + + 51x ² এবং ² + + 4xy ³ - 15y ^{4 দ্বারা} বহুপদী দ্বারা এটি বিভাজক: -5x ² + + 4xy + + 3 বর্ষ ² ।

ফলস্বরূপ বহুবর্ষটি হ'ল -2x ² + 8xy - 5y ² ।

সমাধান ব্যায়াম

প্রথম অনুশীলন

প্রদত্ত বীজগণিত প্রকাশের শর্তগুলি হ্রাস করুন:

15a ² - 8ab + + 6A ² - 6ab - 9 + + 4a ² - 13 AB।

সমাধান

সংযোজনীয় বাণিজ্যিক সম্পত্তি প্রয়োগ করা হয়, একই ভেরিয়েবলগুলির শর্তাদি গোষ্ঠীবদ্ধ করে:

15a ² - 8ab + + 6A ² - 6ab + + 9 + + 4a ² - 13

= (15a ² + 6 এ ² + 4 এ ²) + (- 8 বি - 6 এবি) + (9 - 13)।

তারপরে গুনের বিতরণ সম্পত্তি প্রয়োগ করা হয়:

15a ² - 8ab + + 6A ² - 6ab + + 9 + + 4a ² - 13

= (15 + 6 + 4) এ ² + (- 8 - 6) আব + (9 - 13)।

শেষ অবধি, প্রতিটি শব্দটির সহগ যোগ করে এবং বিয়োগ করে সেগুলি সরল করা হয়:

15a ² - 8ab + + 6A ² - 6ab + + 9 + + 4a ² - 13

= 25 এ ² - 14 এবি - 4।

দ্বিতীয় অনুশীলন

নিম্নলিখিত বহুবচনগুলির পণ্যটি সরল করুন:

(8x ³ + 7xy ²) _* (8x ³ - 7 এক্সওয়াই ²)।

সমাধান

পদগুলির লক্ষণগুলি পৃথক কিনা তা বিবেচনায় রেখে প্রথম বহুবর্ষের প্রতিটি পদ দ্বিতীয় দ্বারা গুণিত হয়; অতএব, এর গুণনের ফলাফলটি নেতিবাচক হবে, পাশাপাশি অভিজাতদের আইন প্রয়োগ করতে হবে।

(8x ³ + 7xy ²) _* (8x ³ - 7xy ²)

= 64 x ⁶ - 56 x ³ _* xy ² + 56 x ³ _* xy ² - 49 x ² y ⁴

= 64 x ⁶ - 49 x ² y ⁴ ।

তথ্যসূত্র

1. অ্যাঞ্জেল, এআর (2007) প্রাথমিক বীজগণিত। পিয়ারসন শিক্ষা,.
2. বালডোর, এ। (1941)। বীজগণিত। হাভানা: সংস্কৃতি।
3. জেরোম ই কাউফম্যান, কেএল (২০১১)। প্রাথমিক ও মধ্যবর্তী বীজগণিত: একটি সম্মিলিত পদ্ধতি। ফ্লোরিডা: সেনেজ লার্নিং।
4. স্মিথ, এসএ (2000) বীজগণিত। পিয়ারসন শিক্ষা.
5. ভিজিল, সি (2015)। বীজগণিত এবং এর অ্যাপ্লিকেশন।