পাওয়ার সিরিজ: উদাহরণ এবং অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

একটি পাওয়ার সিরিজটি ভেরিয়েবল এক্স এর ক্ষমতাগুলির আকারের শর্তগুলির সংমিশ্রণ বা আরও সাধারণভাবে এক্সসি এর সাথে থাকে, যেখানে সি একটি ধ্রুবক আসল সংখ্যা। সংক্ষেপণ স্বরলিপিতে নিম্নরূপে একাধিক শক্তি প্রকাশ করা হয়:

যেখানে সহগের একটি _o, একটি ₁, একটি ₂ … আসল সংখ্যা এবং সিরিজটি n = 0 থেকে শুরু হয়।

চিত্র 1. একটি পাওয়ার সিরিজের সংজ্ঞা। সূত্র: এফ.জাপাটা।

এই সিরিজটি স্থিতিশীল মানের মানকে কেন্দ্র করে, তবে আপনি যে সি 0 এর সমান, তা বেছে নিতে পারেন, যার ক্ষেত্রে পাওয়ার সিরিজটি সরল করে:

সিরিজটি যথাক্রমে একটি _বা (xc) ⁰ এবং a _বা x ^{0 দিয়ে শুরু} হয়। তবে আমরা জানি:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

সুতরাং একটি _o (xc) ⁰ = a _বা x ⁰ = a _o (স্বতন্ত্র শব্দ)

পাওয়ার সিরিজ সম্পর্কে ভাল জিনিস হ'ল ফাংশনগুলি তাদের সাথে প্রকাশ করা যায় এবং এর অনেক সুবিধা রয়েছে, বিশেষত যদি আপনি একটি জটিল ফাংশন নিয়ে কাজ করতে চান।

যখন এটি হয়, সরাসরি ফাংশনটি ব্যবহার না করে এর পাওয়ার সিরিজের সম্প্রসারণটি ব্যবহার করুন, যা সংখ্যাগতভাবে উদ্ভব, সংহতকরণ বা কাজ করা সহজ হতে পারে।

অবশ্যই সব কিছু সিরিজের রূপান্তরকে শর্তযুক্ত। নির্দিষ্ট সংখ্যক পদ যুক্ত করার সময় একটি সিরিজ রূপান্তর করে একটি নির্দিষ্ট মান দেয়। এবং যদি আমরা আরও শর্তাদি এখনও যুক্ত করি তবে আমরা সেই মানটি অর্জন করতে থাকি।

পাওয়ার সিরিজ হিসাবে ফাংশন

পাওয়ার সিরিজ হিসাবে প্রকাশিত কোনও ফাংশনের উদাহরণ হিসাবে, চলুন f (x) = e ^x নেওয়া যাক ।

এই ক্রিয়াকলাপটি নিম্নরূপ ক্ষমতার একটি ধারা হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

এবং ^এক্স ≈ 1 + X + + (এক্স ² /2!) + + (এক্স ³ /3!) + + (এক্স ⁴ /4!) + + (এক্স ⁵ /5!)…

কোথায়! = এন। (এন -১) (এন -২) (n-3)… এবং এটি 0 লাগে! = 1।

আমরা একটি ক্যালকুলেটর এর সাহায্যে যাচ্ছি, যে সিরিজটি স্পষ্টভাবে প্রদত্ত ফাংশনটির সাথে মিলে যায়। উদাহরণস্বরূপ x = 0 করে শুরু করা যাক।

আমরা জানি যে ই ⁰ = 1। আসুন দেখুন সিরিজটি কী করে:

এবং ⁰ ≈ 0 টি + 1 এবং (0 ² /2!) + + (0 ³ /3!) + + (0 ⁴ /4!) + + (0 ⁵ /5!)… = 1

এবং এখন x = 1 চেষ্টা করে দেখি। একটি ক্যালকুলেটর ফিরে আসে যে ই ¹ = 2.71828, এবং তারপর সিরিজের সাথে তুলনা করা যাক:

এবং ¹ ≈ 1 + 1 টি + + (1 ² /2!) + + (1 ³ /3!) + + (1 ⁴ /4!) + + (1 ⁵ /5!)… = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… 71 2.7167

কেবলমাত্র 5 টি শর্তাদির সাথে আমাদের ইতিমধ্যে ≈ 2.71 এ একটি সঠিক মিল রয়েছে। আমাদের সিরিজটি যেতে আরও খানিকটা বেশি রয়েছে, তবে আরও শর্তাদি যুক্ত হওয়ার সাথে সিরিজটি অবশ্যই ই এর সঠিক মানকে রূপান্তর করবে। প্রতিনিধিত্ব হুবহু যখন n → ∞।

পূর্ববর্তী বিশ্লেষণটি যদি এন = 2 এর জন্য পুনরাবৃত্তি হয় তবে খুব অনুরূপ ফলাফল পাওয়া যায়।

এইভাবে আমরা নিশ্চিত যে এক্সফোনশিয়াল ফাংশন f (x) = e ^x এই সিরিজের ক্ষমতার দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে:

চিত্র 2. এই অ্যানিমেশনটিতে আমরা দেখতে পারি যে কীভাবে আরও শর্তাবলী গ্রহণ করা যায় তেমনি পাওয়ার সিরিজটি তাত্পর্যপূর্ণ কার্যের আরও কাছাকাছি যায়। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

ক্ষমতা জ্যামিতিক সিরিজ

F (x) = e ^x ফাংশনটি কেবলমাত্র কোনও শক্তি ক্রিয়াকলাপের উপস্থাপনাকে সমর্থন করে না। উদাহরণস্বরূপ, ফ (এক্স) = 1/1 - x ফাংশনটি অনেকটা সুপরিচিত কনভারজেন্ট জ্যামিতিক সিরিজের মতো দেখাচ্ছে:

এই ফাংশনটির জন্য উপযুক্ত একটি সিরিজ পাওয়ার জন্য এটি একটি = 1 এবং r = x করার জন্য যথেষ্ট, যা সি = 0 তে কেন্দ্রীভূত:

যাইহোক, এটি জানা যায় যে এই সিরিজটি │r│ <1 এর জন্য পরিবর্তনশীল, সুতরাং প্রতিনিধিত্বটি কেবলমাত্র বিরতিতে (-1,1) বৈধ, যদিও ফাংশনটি x = 1 ব্যতীত সমস্ত এক্সের জন্য বৈধ।

আপনি যখন এই ফাংশনটিকে অন্য কোনও পরিসরে সংজ্ঞায়িত করতে চান, আপনি কেবল একটি উপযুক্ত মানের দিকে মনোনিবেশ করেন এবং আপনার কাজ শেষ হয়।

কোনও ফাংশনের ক্ষমতার সিরিজ সম্প্রসারণ কীভাবে পাওয়া যায়

যেকোনো ক্রিয়াকেন্দ্রকে কেন্দ্রের উপর ভিত্তি করে একটি পাওয়ার সিরিজে বিকাশ করা যেতে পারে, যতক্ষণ না এটি x = c তে সমস্ত আদেশের ডেরিভেটিভ থাকে। পদ্ধতিটি নীচের উপপাদ্যকে টেলারের উপপাদ্য হিসাবে ব্যবহার করে:

F (x) অর্ডার এন এর ডেরিভেটিভস সহ একটি ফাংশন হিসাবে চলুন, যাকে f ⁽ⁿ⁾ হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, যা I এর বিরতিতে ক্ষমতাগুলির ধারাবাহিক বিস্তৃতি স্বীকার করে। টেলারের তাঁর ধারাবাহিক বিকাশ হ'ল:

যাতে:

যেখানে আর _এন, যা এই সিরিজের নবম পদ, তাকে একটি অবশিষ্ট অংশ বলা হয়:

যখন সি = 0 সিরিজটি ম্যাক্লাউরিন সিরিজ বলে।

এখানে দেওয়া এই সিরিজটি শুরুতে প্রদত্ত সিরিজের সাথে সাদৃশ্য, কেবলমাত্র এখন আমাদের দেওয়া প্রতিটি পদটির সহগগুলি স্পষ্টভাবে খুঁজে বের করার একটি উপায় রয়েছে, যা দেওয়া:

যাইহোক, আমাদের অবশ্যই নিশ্চিত করতে হবে যে উপস্থাপন করার জন্য সিরিজটি রূপান্তরিত করবে the এটি ঘটে যায় যে প্রতিটি টেলর সিরিজ অগত্যা এফ (এক্স) এ রূপান্তরিত করে না যা _এন এর সহগের হিসাব করার সময় মনে ছিল ।

এটি ঘটায় কারণ x = c এ মূল্যায়িত ফাংশনের ডেরিভেটিভসগুলি x = c তে অন্যের ডেরিভেটিভসের একই মানের সাথে মিলে যায়। এক্ষেত্রে সহগগুলি একই হবে, তবে উন্নয়নটি অস্পষ্ট হবে কারণ এটি কোন ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত তা নির্দিষ্ট নয়।

ভাগ্যক্রমে এখানে জানার একটি উপায় রয়েছে:

রূপান্তর মানদণ্ড

অস্পষ্টতা এড়ানোর জন্য, যদি অন্তর 1 এর মধ্যে সমস্ত x এর জন্য r _n → 0 হিসাবে n → ∞ হয় তবে সিরিজটি f (x) এ রূপান্তর করে।

ব্যায়াম

- অনুশীলন সমাধান 1

F (x) = 1/2 - x কেন্দ্রে সি = 0 তে ফাংশনটির জন্য জ্যামিতিক শক্তি সিরিজটি সন্ধান করুন।

সমাধান

প্রদত্ত ফাংশনটি এমনভাবে প্রকাশ করতে হবে যাতে এটি 1 / 1- x এর সাথে যতটা সম্ভব ঘনিষ্ঠভাবে মিলিত হয়, যার সিরিজটি পরিচিত is সুতরাং আসল অভিব্যক্তিটি পরিবর্তন না করে আসুন অঙ্ক এবং ডিনোমিনেটর পুনরায় লিখুন:

1/2 - এক্স = (1/2) /

যেহেতু constant ধ্রুবক, এটি সমষ্টি থেকে বেরিয়ে আসে এবং এটি নতুন ভেরিয়েবল x / 2 এর নিরিখে লেখা হয়:

নোট করুন যে x = 2 ফাংশনের ডোমেনের সাথে সম্পর্কিত নয় এবং জ্যামিতিক বিদ্যুৎ সিরিজ বিভাগে প্রদত্ত রূপান্তর মানদণ্ড অনুসারে, প্রসারটি │x / 2│ <1 বা সমতুল্য -2 <x <2 এর জন্য বৈধ।

- ব্যায়াম সমাধান 2

F (x) = sin x ফাংশনটির ম্যাক্লাউরিন সিরিজের বিস্তারের প্রথম 5 পদটি সন্ধান করুন।

সমাধান

ধাপ 1

প্রথমটি ডেরাইভেটিভস:

অর্ডার 0 এর ডেরিভেটিভ: এটি একই ফাংশন f (x) = sin x

-প্রথম ডেরাইভেটিভ: (sin x) ´ = cos x

-সেকেন্ড ডেরাইভেটিভ: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

তৃতীয় ডেরাইভেটিভ: (সিন এক্স) ´´´ = (-সেন এক্স) ´ = - কোস এক্স

-ফরর্থ ডেরাইভেটিভ: (sin x) ´´´´ = (- cos x) sin = sin x

ধাপ ২

তারপরে প্রতিটি ডেরাইভেটিভকে x = c এ মূল্যায়ন করা হয়, যেমনটি ম্যাক্লাউরিন সম্প্রসারণ, সি = 0:

পাপ 0 = 0; কোস 0 = 1; - পাপ 0 = 0; -কোস 0 = -1; sin 0 = 0

ধাপ 3

গুণাগুণ একটি _{এন নির্মিত হয়};

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; এ ₂ = 0/2! = 0; এ ₃ = -1 / 3 !; এ ₄ = 0/4! = 0

পদক্ষেপ 4

অবশেষে সিরিজটি অনুযায়ী একত্রিত হয়:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0.x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!) x ³ +……

পাঠকের কি আরও পদ দরকার? আরও কত, সিরিজ ফাংশন কাছাকাছি।

নোট করুন যে সহগগুলিতে একটি প্যাটার্ন রয়েছে, পরবর্তী অ-শূন্য শর্তটি একটি ₅ এবং বিজোড় সূচকযুক্ত সমস্তগুলি 0 থেকে পৃথক, লক্ষণগুলি পরিবর্তন করে, যাতে:

sin x ≈ x - (1/3!) x ³ + (1/5!) x ⁵ - (1/7!) x ⁷ +…।

এটি রূপান্তরিত হয়েছে তা যাচাই করার জন্য অনুশীলন হিসাবে রেখে গেছে, ভাগফলের মানদণ্ডটি সিরিজের রূপান্তরকরণের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে।

তথ্যসূত্র

1. সিকে -12 ফাউন্ডেশন। পাওয়ার সিরিজ: ফাংশন এবং ক্রিয়াকলাপের প্রতিনিধিত্ব। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: ck12.org।
2. এনগলার, এ। 2019. ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস। লিটোরাল জাতীয় বিশ্ববিদ্যালয়।
3. লারসন, আর। 2010. একটি ভেরিয়েবলের গণনা। নবম সংস্করণ। ম্যাকগ্রা হিল
4. গণিত ফ্রি টেক্সট। শক্তি ধারা. উদ্ধার: math.liibretexts.org থেকে।
5. উইকিপিডিয়া। শক্তি ধারা. উদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.org থেকে ipedia