অ্যান্টিডেরিভেটিভ: সূত্র এবং সমীকরণ, উদাহরণ, অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

একটি প্রতিঅন্তরক একটি ফাংশন f এর f (x) (x) এর কাছে আদিম বা শুধু বলেন ফাংশনের অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বলা হয়, একটি প্রদত্ত ব্যবধান আমি, এটা পূর্ণ করা হয় যে F'(x) এর = চ (x) এর

উদাহরণস্বরূপ আসুন নিম্নলিখিত ফাংশন গ্রহণ করা যাক:

f (x) = 4x ³

এই ফাংশনের একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ হ'ল এফ (এক্স) = এক্স ⁴, যেহেতু শক্তির জন্য ডাইরিভিশন রুল ব্যবহার করে এফ (এক্স) কে পৃথক করে:

আমরা অবিকল f (x) = 4x ³ পাই ।

যাইহোক, এটি চ (এক্স) এর অনেকগুলি অ্যান্টিডেরিভেটিভগুলির মধ্যে কেবল একটি, কারণ এই অন্যান্য ফাংশন: জি (এক্স) = এক্স ⁴ + 2 এছাড়াও রয়েছে, কারণ যখন এক্স (এক্স) এর সাথে জি (এক্স) কে পৃথক করার সময় একই প্রাপ্ত হয় back f (x)।

আসুন এটি পরীক্ষা করে দেখুন:

মনে রাখবেন যে একটি ধ্রুবকের ডেরিভেটিভ 0 হয়। সুতরাং, আমরা x ⁴ শব্দটিতে কোনও ধ্রুবক যুক্ত করতে পারি এবং এর ডেরাইভেটিভ 4x ³ অবধি থাকবে ।

এটি উপসংহারে পৌঁছেছে যে সাধারণ রূপের কোনও ফাংশন F (x) = x ⁴ + C, যেখানে সি সত্যিকারের ধ্রুবক, f (x) এর অ্যান্টিডেরিভেটিভ হিসাবে কাজ করে।

উপরের উদাহরণস্বরূপ উদাহরণটি এভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

dF (x) = 4x ³ dx

অ্যান্টিডেরিভেটিভ বা অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য প্রতীকটি দিয়ে প্রকাশ করা হয় therefore সুতরাং:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

যেখানে f (x) = 4x ³ ফাংশনটিকে সংহত বলে, এবং সি সংহতকরণের ধ্রুবক।

প্রতিষেধকগুলির উদাহরণ s

চিত্র 1. অ্যান্টিডেরিভেটিভ একটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ছাড়া আর কিছুই নয়। সূত্র: পিক্সাবে।

ফাংশনের একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ সন্ধান করা এমন কিছু ক্ষেত্রে ডেরিভেটিভগুলি সুপরিচিত ward উদাহরণস্বরূপ, এফ (এক্স) = সিন এক্স, ফাংশনটি এর জন্য একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ হ'ল অন্য ফাংশন এফ (এক্স), যেমন এটির পার্থক্য করার সময় আমরা চ (এক্স) পাই।

এই ফাংশনটি হতে পারে:

এফ (এক্স) = - কোস এক্স

আসুন এটি পরীক্ষা করে দেখুন:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-সেন এক্স) = পাপ এক্স

অতএব আমরা লিখতে পারি:

Xsen x dx = -cos x + C

ডেরাইভেটিভগুলি জানার পাশাপাশি অ্যান্টিডেরিভেটিভ বা অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সন্ধানের জন্য কিছু প্রাথমিক এবং সাধারণ সংহত বিধি রয়েছে।

কে এখন আসল ধ্রুবক হতে দিন:

1.- ∫ কেডিএক্স = কে ∫dx = কেএক্স + সি

2.- fkf (x) dx = k ∫f (x) dx

যদি কোনও ফাংশন h (x) দুটি ফাংশনের যোগ বা বিয়োগ হিসাবে প্রকাশ করা যায়, তবে এর অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য হয়:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ∫ ∫g (x) dx

এটি লৈখিক্যের সম্পত্তি।

সংহতদের জন্য ক্ষমতার নিয়মটি এভাবে প্রতিষ্ঠিত হতে পারে:

এন = -1 এর ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত নিয়মটি ব্যবহৃত হয়:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C

এটি সহজেই দেখানো যায় যে ln x এর ডেরিভেটিভ অবিকল x ^-1 ।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এমন একটি যেখানে অজানাটিকে একটি ডেরাইভেটিভ হিসাবে পাওয়া যায়।

এখন, পূর্ববর্তী বিশ্লেষণ থেকে, সহজেই অনুধাবন করা যায় যে ডেরিভেটিভের বিপরীতমুখী ক্রিয়াটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ বা অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য।

যাক f (x) = y´ (x), যা কোনও নির্দিষ্ট ফাংশনের ডেরাইভেটিভ। আমরা এই ডেরাইভেটিভ নির্দেশ করতে নিম্নলিখিত স্বরলিপি ব্যবহার করতে পারি:

এটি অবিলম্বে অনুসরণ করে:

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অজানা হ'ল ফাংশন y (x), যার ডেরিভেটিভ এফ (এক্স)। এটি সমাধানের জন্য, পূর্বের এক্সপ্রেশনটি উভয় পক্ষের সাথে সংহত করা হয়েছে, যা এন্টিডিরিভেটিভ প্রয়োগের সমতুল্য:

বাম ইন্টিগ্রাল কে = 1 দিয়ে ইন্টিগ্রেশন রুল 1 দ্বারা সমাধান করা হয়, এভাবে কাঙ্ক্ষিত অজানা সমাধান করা:

এবং যেহেতু সি সত্যিকারের ধ্রুবক, প্রতিটি ক্ষেত্রে কোনটি উপযুক্ত তা জানতে, বিবৃতিতে সি এর মান গণনা করার জন্য পর্যাপ্ত অতিরিক্ত তথ্য থাকতে হবে এটিকে প্রাথমিক শর্ত বলে।

আমরা পরবর্তী অংশে এই সমস্ত প্রয়োগের উদাহরণগুলি দেখতে পাব।

অ্যান্টিডেরিভেটিভ ব্যায়াম

- অনুশীলনী 1

নীচের অ্যান্টিডেরিভেটিভস বা প্রদত্ত ফাংশনগুলির অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালগুলি অর্জনের জন্য সংহতকরণের নিয়মগুলি প্রয়োগ করুন, ফলাফলগুলিকে যথাসম্ভব সরল করে তোলেন। ফলাফলটি ডেরাইভেশন দ্বারা যাচাই করা সুবিধাজনক।

চিত্র 2. অ্যান্টিডেরিভেটিভস বা নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের ব্যায়ামগুলি। সূত্র: পিক্সাবে।

সমাধান

আমরা প্রথমে বিধি 3 প্রয়োগ করি, যেহেতু সংহত দুটি পদগুলির যোগফল:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

প্রথম ইন্টিগ্রালের জন্য পাওয়ার বিধি প্রয়োগ হয়:

∫ DX = (x এর ² /2) + সি ₁

দ্বিতীয় অবিচ্ছেদ্য নিয়মে 1 প্রয়োগ করা হয়েছে, যেখানে k = 7:

D7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

এবং এখন ফলাফল যুক্ত করা হয়। দুটি ধ্রুবককে একটি করে বিভক্ত করা হয়েছে, সাধারণভাবে সি বলা হয়:

∫ (এক্স + + 7) DX = (x এর ² /2) + + 7 গুণ + সি

সমাধান খ

রৈখিকতার দ্বারা এই অবিচ্ছেদ্যটি তিনটি সরল ইন্টিগ্রালে বিভক্ত হয়, যার সাথে পাওয়ারের নিয়ম প্রয়োগ করা হবে:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = 3x ^3/2 dx + 2x ² dx + ∫6 dx =

নোট করুন যে প্রতিটি ইন্টিগ্রালের জন্য অবিচ্ছিন্নভাবে অবিচ্ছিন্নতা উপস্থিত হয়, তবে তারা একক সি সিতে মিলিত হয় Note

সমাধান গ

এই ক্ষেত্রে, সংহত বিকাশের জন্য গুণনের বিতরণ সম্পত্তি প্রয়োগ করা সুবিধাজনক। তারপরে আগের অনুশীলনের মতো প্রতিটি অবিচ্ছেদ্য আলাদাভাবে পাওয়ার জন্য পাওয়ার রুল ব্যবহার করা হয়।

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

সতর্ক পাঠক নোট করবেন যে দুটি কেন্দ্রীয় পদ একই রকম, সুতরাং এটি সংহত করার আগে সেগুলি হ্রাস করা হয়েছে:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

সমাধান ই

অবিচ্ছেদ্য সমাধানের এক উপায় হ'ল শক্তি বিকাশ করা, যেমনটি করা হয়েছিল d। যাইহোক, যেহেতু घाস্টটি বেশি, তাই পরিবর্তনশীলটি পরিবর্তন করার পরামর্শ দেওয়া হবে, যাতে এত দীর্ঘ বিকাশ না করতে হয়।

ভেরিয়েবলের পরিবর্তন নিম্নরূপ:

u = x + 7

উভয় পক্ষেই এই ভাবটি প্রকাশ করা:

du = dx

অবিচ্ছেদ্য নতুন ভেরিয়েবলের সাথে একটি সরল একে রূপান্তরিত হয়, যা পাওয়ার রুল দিয়ে সমাধান করা হয়:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

অবশেষে পরিবর্তনটি মূল পরিবর্তনশীলটিতে ফিরে আসার জন্য ফিরে আসে:

∫ (x + 7) ⁵ ডিএক্স = (1/6) (x + 7) ⁶ + সি

- অনুশীলন 2

একটি কণা প্রাথমিকভাবে বিশ্রামে থাকে এবং এক্স-অক্ষের সাথে চলে যায়। টি> 0 এর জন্য এর ত্বরণটি a (t) = cos t ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয়েছে। এটি পরিচিত যে t = 0 এ, অবস্থানটি আন্তর্জাতিক সিস্টেমের এককগুলিতে x = 3 হয়। এটি কণার বেগ v (টি) এবং অবস্থান x (টি) খুঁজে পেতে বলা হয়।

সমাধান

যেহেতু সময়ের সাথে সম্মতি নিয়ে ত্বরণ বেগের প্রথম ডাইরিভেটিভ, তাই আমাদের নিম্নলিখিত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ রয়েছে:

a (t) = v´ (t) = cos t

এটা যে অনুসরণ করে:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

অন্যদিকে, আমরা জানি যে বেগটি ঘুরতে ঘুরতে অবস্থানটির ডেরাইভেটিভ, সুতরাং আমরা পুনরায় সংহত:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

একীকরণের ধ্রুবকগুলি বিবৃতিতে প্রদত্ত তথ্য থেকে নির্ধারিত হয়। প্রথম স্থানে এটি বলে যে প্রাথমিকভাবে কণা বিশ্রামে ছিল, সুতরাং v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

সি ₁ = 0

তারপরে আমাদের এক্স (0) = 3:

x (0) = - কোস 0 + সি ₁ 0 + সি ₂ = - 1 + সি ₂ = 3 → সি ₂ = 3 + 1 = 4

গতি এবং অবস্থানের কার্যগুলি অবশ্যই এই জাতীয়:

v (t) = sin t

x (টি) = - কোস্ট টি + 4

তথ্যসূত্র

1. এনগলার, এ। 2019. ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস। লিটোরাল জাতীয় বিশ্ববিদ্যালয়।
2. লারসন, আর। 2010. একটি ভেরিয়েবলের গণনা। 9 ম। সংস্করণ। ম্যাকগ্রা হিল
3. গণিত ফ্রি টেক্সট। Antiderivatives। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: math.liibretexts.org থেকে।
4. উইকিপিডিয়া। প্রতিঅন্তরক। পুনরুদ্ধার: en.wikedia.org থেকে।
5. উইকিপিডিয়া। অনির্দিষ্ট একীকরণ। উদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.org থেকে ipedia