আর্ক (জ্যামিতি): পরিমাপ, খিলান ধরণের, উদাহরণ - গণিতশাস্ত্র - 2025

চাপ, জ্যামিতি, কোন বাঁকা লাইন দুই পয়েন্ট সংযুক্ত করে। একটি বাঁকানো রেখা, একটি সরলরেখার বিপরীতে, যার নির্দেশ প্রতিটি রেখায় আলাদা। একটি খিলানের বিপরীত অংশটি একটি বিভাগ, যেহেতু এটি একটি সরল বিভাগ যা দুটি পয়েন্টে যোগ দেয়।

জ্যামিতিতে সর্বাধিক ব্যবহৃত আর্কটি হল পরিধির আর্ক। সাধারণ ব্যবহৃত অন্যান্য খিলানগুলি হ'ল প্যারাবোলিক খিলান, উপবৃত্তাকার খিলান এবং ক্যাটেনারি খিলান। খিলান ফর্মটি প্রায়শই আলংকারিক উপাদানে আলংকারিক উপাদান এবং কাঠামোগত উপাদান হিসাবে ব্যবহৃত হয়। এটি দরজা এবং জানালার লিনটেলের পাশাপাশি ব্রিজ এবং জলজগুলির ঘটনা।

চিত্র 1. রামধনু একটি বাঁকা রেখা যা দিগন্তে দুটি পয়েন্টের সাথে মিলিত হয়। সূত্র: পিক্সাবে

খিলান এবং তার পরিমাপ

একটি চাপের পরিমাপটি তার দৈর্ঘ্য, যা দুটি পয়েন্ট এবং তাদের অবস্থানকে সংযুক্ত করে এমন বক্ররেখার ধরণের উপর নির্ভর করে।

একটি বৃত্তাকার চাপের দৈর্ঘ্য গণনা করা সহজতমগুলির মধ্যে একটি, কারণ একটি পরিধির সম্পূর্ণ চাপ বা ঘেরের দৈর্ঘ্য জানা যায়।

একটি বৃত্তের পরিধি তার ব্যাসার্ধের থেকে দ্বিগুণ পাই গুণযুক্ত হয়: p = 2 π R এটি জানার পরে, আমরা যদি কোণ a (রেডিয়ানে মাপা) এবং বৃত্তাকার আর এর বৃত্তাকার চাপের দৈর্ঘ্যের গণনা করতে চাই, তবে একটি অনুপাত প্রয়োগ করা হয়:

(গুলি / পি) = (α / 2 π)

তারপরে, পূর্বের এক্সপ্রেশন থেকে ক্লিয়ার করে এবং ব্যাসার্ধের ব্যাসার্ধ হিসাবে এর প্রকাশের জন্য পেরিমিটার পিটি প্রতিস্থাপন করুন, আমাদের রয়েছে:

s = (α / 2 π) পি = (α / 2 π) (2 π আর) = α আর

অর্থাত্, একটি বৃত্তাকার চাপের পরিমাপটি তার কৌণিক প্রারম্ভিক বারের বৃত্তাকার চাপের ব্যাসার্ধের পণ্য।

সাধারণভাবে একটি খিলানের জন্য, সমস্যাটি আরও জটিল, এমনকী যে প্রাচীনতম চিন্তাবিদরা দাবি করেছিলেন যে এটি একটি অসম্ভব কাজ।

1665 সালে ডিফারেনশিয়াল এবং অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাসের আবির্ভাবের পরেও যে কোনও চাপকে পরিমাপ করার সমস্যাটি সন্তোষজনকভাবে সমাধান করা হয়েছিল।

ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস আবিষ্কারের আগে সমাধানগুলি কেবল বহুগুণীয় রেখাগুলি বা পরিধির আর্ককে ব্যবহার করেই পাওয়া যায় যা সত্যের চাপকে প্রায় কাছাকাছি নিয়ে আসে তবে এই সমাধানগুলি সঠিক ছিল না।

ধনুকের প্রকার

জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ থেকে, আরাকগুলি বক্ররেখা অনুসারে শ্রেণিবদ্ধ করা হয় যা বিমানের দুটি পয়েন্টে যোগ দেয়। এর ব্যবহার এবং স্থাপত্য ফর্ম অনুযায়ী অন্যান্য শ্রেণিবিন্যাস রয়েছে।

বিজ্ঞপ্তি তোরণ

সমতলটিতে দুটি পয়েন্টের সংযোগকারী রেখাটি যখন একটি নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধের পরিধির অংশ হয়, তখন আমাদের একটি বৃত্তাকার চাপ হয় c চিত্র 2-এ ব্যাসার্ধের A এবং B এর ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার চাপকে সি দেখায় A

চিত্র 2. ব্যাসার্ধ আর এর বৃত্তাকার তোরণ যা A এবং B. পয়েন্টগুলিকে সংযুক্ত করে রিকার্ডো পেরেজের দ্বারা বর্ণিত।

প্যারাবোলিক খিলান

পরাবোলা হ'ল এমন একটি পথ যা অনুসরণ করে বাতাসে নিক্ষেপ করা একটি বস্তু thrown যখন দুটি বিন্দুতে যোগ দেওয়া বাঁকটি একটি প্যারাবোলা হয়, তখন আমাদের কাছে চিত্র 3-তে দেখানো মত একটি প্যারাবোলিক চাপ রয়েছে।

চিত্র 3. প্যারাবোলিক তোরণ সংযোগকারী পয়েন্টগুলি এ এবং বি। রিকার্ডো পেরেজ দ্বারা বর্নিত।

এটি জলের জেটের আকার যা একটি পায়ের পাতার মোজাবিশেষটি উপরের দিকে নির্দেশ করে বেরিয়ে আসে। প্যারাবোলিক আর্কটি জল উত্সগুলিতে লক্ষ্য করা যায়।

চিত্র 4. ড্রেসডেনের একটি ঝর্ণা থেকে জলের দ্বারা গঠিত প্যারাবোলিক খিলান। সূত্র: পিক্সাবে।

ক্যাটেনারি খিলান

ক্যাটেনারি আর্চ হ'ল আর একটি প্রাকৃতিক খিলান। ক্যাটেনারি হ'ল বাঁক যা প্রাকৃতিকভাবে গঠন করে যখন একটি চেইন বা দড়ি দুটি পৃথক পয়েন্ট থেকে আলগাভাবে ঝুলিয়ে দেয়।

চিত্র 5. ক্যাটারারি আর্চ এবং প্যারাবোলিক খিলানের সাথে তুলনা। প্রস্তুত রিকার্ডো পেরেজ।

ক্যাটারনারিটি প্যারাবোলার অনুরূপ, তবে এটি চিত্র 4 তে দেখা যায় ঠিক একই রকম নয়।

ইনভার্টেড ক্যাটেনারি আর্চটি একটি উচ্চ কমপ্রেসিভ শক্তি কাঠামোগত উপাদান হিসাবে আর্কিটেকচারে ব্যবহৃত হয়। প্রকৃতপক্ষে, এটি সমস্ত সম্ভাব্য আকারগুলির মধ্যে শক্ততম ধনুক হিসাবে দেখানো যেতে পারে।

একটি শক্ত ক্যাটেনারি খিলান তৈরি করতে, কেবল একটি ঝুলন্ত দড়ি বা চেইনের আকারটি অনুলিপি করুন, তারপরে অনুলিপি করা আকারটি দরজা বা উইন্ডো লিন্টেলের উপর পুনরুত্পাদন করতে উল্টানো হবে।

উপবৃত্তাকার খিলান

একটি চাপটি উপবৃত্তাকার হয় যদি দুটি পয়েন্টকে যুক্ত করে এমন বক্ররেখা একটি দীর্ঘবৃত্তের টুকরো হয়। উপবৃত্তিকে পয়েন্টগুলির লোকস হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যার দূরত্ব দুটি প্রদত্ত পয়েন্ট সর্বদা একটি ধ্রুবক পরিমাণে যোগ করে।

উপবৃত্তাকারটি একটি বক্ররেখা যা প্রকৃতিতে প্রদর্শিত হয়: এটি সূর্যের চারপাশের গ্রহগুলির ট্র্যাজেক্টরির বক্ররেখা, যা 1609 সালে জোহানেস কেপলার দ্বারা প্রদর্শিত হয়েছিল।

অনুশীলনে একটি উপবৃত্ত দুটি কাগজে টুকরো টুকরো করে দুটি স্ট্রট মাটিতে বা দুটি পিন পিন করে এবং তার সাথে একটি স্ট্রিং বেঁধে আঁকতে পারে। তারপরে দড়িটি চিহ্নিতকারী বা পেন্সিল দিয়ে শক্ত করা হয় এবং বক্ররেখাটি চিহ্নিত করা হয়। উপবৃত্তের একটি অংশ হ'ল উপবৃত্তাকার চাপ। নিম্নলিখিত অ্যানিমেশনটি উপবৃত্তিটি কীভাবে আঁকছে তা চিত্রিত করে:

চিত্র 5. টট রশি ব্যবহার করে একটি উপবৃত্তের সন্ধান করা। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স

চিত্র 6-এ একটি উপবৃত্তাকার চাপকে জি এবং এইচ সংযোগকারী পয়েন্ট দেখায়

চিত্র 6. দুটি পয়েন্ট সংযোগকারী উপবৃত্তাকার খিলান। প্রস্তুত রিকার্ডো পেরেজ।

খিলানগুলির উদাহরণ

নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি নির্দিষ্ট কিছু খিলানের ঘের গণনা করার পদ্ধতি সম্পর্কে উল্লেখ করে।

উদাহরণ 1

চিত্র 7 একটি কাটা বৃত্তাকার চাপে একটি উইন্ডো সমাপ্ত দেখায়। চিত্রে প্রদর্শিত মাত্রা পায়ে রয়েছে। তোরণটির দৈর্ঘ্য সন্ধান করুন।

চিত্র 7. একটি উইন্ডোর বৃত্তাকার চাপের দৈর্ঘ্যের গণনা। (নিজস্ব টীকাগুলি - পিক্সাবায় উইন্ডো চিত্র)

উইন্ডো লিন্টেলের বৃত্তাকার চাপের কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধটি পেতে, চিত্রটিতে নিম্নলিখিত নির্মাণগুলি করা হয়:

- বিভাগটি কেএল টানা এবং এর দ্বিখণ্ডক আঁকা।

-তারপর লিন্টেলের সর্বোচ্চ পয়েন্টটি অবস্থিত, যা আমরা এম.কে বলি, এরপরে কেএম বিভাগটি বিবেচনা করা হয় এবং এর মিডিয়াট্রিক্স টানা হয়।

দুটি দ্বিখণ্ডকের বিরতি বিন্দু N এবং এটি বৃত্তাকার চাপকে কেন্দ্র করে।

-এখন আমাদের অবশ্যই এনএম সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য পরিমাপ করতে হবে, যা বৃত্তাকার চাপের ব্যাসার্ধের সাথে মিলছে: আর = 2.8 ফুট।

-আর্কাসের দৈর্ঘ্যটি ব্যাসার্ধের পাশাপাশি জানতে, চাপটি যে কোণটি গঠন করে তাও জানা দরকার। যা দুটি পদ্ধতির দ্বারা নির্ধারণ করা যায়, হয় এটি একটি প্রটেক্টর দিয়ে পরিমাপ করা হয়, অথবা বিকল্পভাবে এটি ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করে গণনা করা হয়।

প্রদর্শিত ক্ষেত্রে, চাপ দ্বারা গঠিত কোণটি 91.13º, যা অবশ্যই রেডিয়ানে রূপান্তর করতে হবে:

91.13º = 91.13º * π / 180º = 1.59 রেডিয়ান

পরিশেষে আমরা সূত্রটি s = α R ব্যবহার করে তোরণটির দৈর্ঘ্য s গণনা করি

s = 1.59 * 2.8 ফুট = 4.45 ফুট

উদাহরণ 2

Figure নম্বরে বর্ণিত উপবৃত্তাকার আর্কটির দৈর্ঘ্য সন্ধান করুন, উপবৃত্তের অর্ধ-প্রধান অক্ষ আর এবং আধা-গৌণ অক্ষগুলি জেনে।

চিত্র 8. জিএইচ এর মধ্যে উপবৃত্তাকার খিলান। প্রস্তুত রিকার্ডো পেরেজ।

একটি দীর্ঘকাল ধরে উপবৃত্তের দৈর্ঘ্য সন্ধান করা গণিতের অন্যতম সমস্যা ছিল। আপনি উপবৃত্তাকার ইন্টিগ্রাল দ্বারা প্রকাশিত সমাধানগুলি পেতে পারেন তবে একটি সংখ্যাসূচক মান পাওয়ার জন্য আপনাকে পাওয়ার সিরিজে এই অবিচ্ছেদ্যগুলি প্রসারিত করতে হবে। সঠিক ফলাফলের জন্য সেই সিরিজের অসীম শর্তাদি দরকার।

সৌভাগ্যক্রমে, হিন্দু গাণিতিক প্রতিভা রামানুজন, যিনি ১৮87 and থেকে 1920 এর মধ্যে বাস করেছিলেন, একটি সূত্রটি পেয়েছিলেন যা খুব সূক্ষ্মভাবে একটি উপবৃত্তের পরিধিটির সন্নিকটে:

R = 3 সেমি এবং s = 2.24 সেমি সহ একটি উপবৃত্তের পরিধি 16.55 সেমি। তবে, দেখানো উপবৃত্তাকার চাপটির অর্ধেক মান রয়েছে:

উপবৃত্তাকার খিলান দৈর্ঘ্য জিএইচ = 8.28 সেমি।

তথ্যসূত্র

1. ক্লেম্যানস এস। 2008. জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতি। পিয়ারসন শিক্ষা.
2. গার্সিয়া এফ। জাভায় সংখ্যার পদ্ধতি। উপবৃত্তের দৈর্ঘ্য। উদ্ধার করা থেকে: sc.ehu.es
3. গতিশীল জ্যামিতি। তীর। জ্যামিত্রিডিনামিকা.এস থেকে উদ্ধার করা হয়েছে
4. Piziadas। আমাদের চারপাশে উপবৃত্তাকার এবং প্যারাবোলাস। উদ্ধার: piziadas.com
5. উইকিপিডিয়া। খিলান (জ্যামিতি) পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.com.com থেকে