একত্রিতকরণ: একত্রিত ব্যক্তিত্ব, মানদণ্ড, উদাহরণ, অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

সঙ্গতি জ্যামিতি বলছেন যে দুই সমতল পরিসংখ্যান আছে যদি একই আকৃতি এবং মাত্রা, এই সর্বসম। উদাহরণস্বরূপ, যখন দুটি দৈর্ঘ্য সমান হয় তখন একত্রিত হয়। একইভাবে, সমতল কোণগুলির সমান পরিমাপ করা হয়, যদিও তারা সমতলে একই উপায়ে কেন্দ্রিক না হয়।

"একত্রিত" শব্দটি লাতিন সংঘ থেকে এসেছে, যার অর্থ চিঠিপত্র। সুতরাং, দুটি সম্মিলিত পরিসংখ্যান একে অপরের সাথে হুবহু মিল রয়েছে।

চিত্র 1. চিত্রের চতুর্ভুজ ABCD এবং A'B'C'D 'একত্রিত: তাদের পার্শ্বগুলির অভ্যন্তরীণ কোণগুলির মতো একই পরিমাপ রয়েছে। সূত্র: এফ.জাপাটা।

উদাহরণস্বরূপ, আমরা যদি চিত্রটিতে দুটি চতুর্ভুজকে সুপারিম্পস করি তবে আমরা দেখতে পাবো যে সেগুলি একত্রিত, যেহেতু তাদের পক্ষের বিন্যাসটি অভিন্ন এবং তারা একই পরিমাণ পরিমাপ করে।

চতুর্ভুজগুলি ABCD এবং A'B'C'D একে অপরের উপরে রেখে, পরিসংখ্যানগুলি হুবহু মিলবে। কাকতালীয় পক্ষগুলিকে হোমোলজাস বা আনুষঙ্গিক দিক বলা হয় এবং সংকেত প্রকাশ করতে প্রতীক ≡ ব্যবহৃত হয়। সুতরাং আমরা বলতে পারি যে এবিসিডি ≡ এ'বি'সি'ডি।

সম্মিলন মাপদণ্ড

নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি একত্রিত বহুভুজগুলির মধ্যে সাধারণ:

- একই আকৃতি এবং আকার।

- তাদের কোণগুলির মূল পরিমাপ।

- এর প্রতিটি পক্ষের একই পরিমাপ।

প্রশ্নে দুটি বহুভুজ নিয়মিত, এই ক্ষেত্রে যে সমস্ত পক্ষ এবং অভ্যন্তরীণ কোণগুলি একই পরিমাপ করে, নিম্নলিখিত শর্তগুলির যে কোনও একটি পূরণ হলে একত্রিত হওয়া নিশ্চিত হয়:

- পক্ষগুলি একত্রিত

-অ্যাপোথেমগুলির একই পরিমাপ রয়েছে

প্রতিটি বহুভুজের ব্যাসার্ধ একই পরিমাণ পরিমাপ করে

নিয়মিত বহুভুজের এপোথেম হ'ল কেন্দ্র এবং পক্ষের একটির মধ্যবর্তী দূরত্ব, যখন ব্যাসার্ধটি কেন্দ্র এবং চিত্রের কোণে বা কোণার মধ্যবর্তী দূরত্বের সাথে মিলে যায়।

একত্রিতকরণের মানদণ্ডটি ঘন ঘন ব্যবহৃত হয় কারণ এতগুলি অংশ এবং সমস্ত প্রকারের টুকরা ভর উত্পাদিত এবং অবশ্যই একই আকার এবং পরিমাপ থাকা উচিত। এইভাবে প্রয়োজন হলে এগুলি সহজেই প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ বাদাম, বল্টস, চাদর বা রাস্তায় মাটিতে পাথর কাটা পাথর।

চিত্র 2. রাস্তার ফাকা পাথরগুলি সম্মিলিত চিত্র, যেহেতু তাদের আকৃতি এবং মাত্রা হুবহু একই, যদিও মেঝেতে তাদের ওরিয়েন্টেশন পরিবর্তন হতে পারে change সূত্র: পিক্সাবে।

জমায়েত, পরিচয় এবং মিল

একত্রিত সম্পর্কিত জ্যামিতিক ধারণা রয়েছে যেমন উদাহরণস্বরূপ পরিসংখ্যান এবং অনুরূপ পরিসংখ্যান, যা অগত্যা চিত্রগুলি একত্রিত করে তা বোঝায় না।

নোট করুন যে সম্মিলিত পরিসংখ্যানগুলি অভিন্ন, তবে চিত্র 1-এর চতুর্ভুজগুলি বিমানে বিভিন্ন উপায়ে কেন্দ্রিক হতে পারে এবং এখনও একত্রে থাকতে পারে, কারণ ভিন্ন ভিন্ন দিক তাদের দিক বা তাদের কোণগুলির আকার পরিবর্তন করে না। সেক্ষেত্রে তারা আর অভিন্ন হবে না।

অন্যান্য ধারণাটি হ'ল চিত্রগুলির মিলের মতো: দুটি সমতলের চিত্র একই হয় যদি তাদের আকার একই থাকে এবং তাদের অভ্যন্তরীণ কোণগুলি একই পরিমাপ করে, যদিও চিত্রগুলির আকার পৃথক হতে পারে। যদি এটি হয় তবে পরিসংখ্যানগুলি একমত নয়।

একত্রিত করার উদাহরণ

- কোণ একত্রিত

আমরা শুরুতে যেমনটি ইঙ্গিত করেছি, একত্রিত কোণগুলির একই মাপকাঠি রয়েছে। একত্রিত করার জন্য বিভিন্ন উপায় রয়েছে:

উদাহরণ 1

একটি বিন্দুযুক্ত দুটি রেখা দুটি কোণকে সংজ্ঞায়িত করে, শীর্ষবিন্দুর কারণে বিপরীত কোণ বলে। এই কোণগুলির সমান পরিমাপ রয়েছে, তাই এগুলি একত্রিত।

চিত্র 3. শীর্ষবিন্দু দ্বারা বিপরীত কোণ। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

উদাহরণ 2

দুটি সমান্তরাল রেখা প্লাস একটি লাইন টি আছে যা উভয়কে ছেদ করে। পূর্ববর্তী উদাহরণের মতো, যখন এই রেখাটি সমান্তরালগুলি ছেদ করে তখন এটি একত্রিত কোণগুলি উত্পন্ন করে, ডানদিকে প্রতিটি লাইনের একটি এবং বাম দিকে অন্য দুটি। চিত্রটি লাইন টি এর ডানদিকে α এবং α ₁ দেখায়, যা একত্রিত।

চিত্র ৪. চিত্রে প্রদর্শিত কোণগুলি একত্রিত। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স। এলফাহলবার্গ / সিসি বিওয়াই-এসএ (https://creativecommons.org/license/by-sa/3.0)।

উদাহরণ 3

সমান্তরালগ্নে চারটি অভ্যন্তর কোণ রয়েছে, যা দুটি থেকে দুটি মিলে। নীচের চিত্রে যেমন দেখানো হয়েছে, এগুলি বিপরীত শীর্ষে অবস্থিত, যার মধ্যে সবুজ দুটি কোণ একত্রে পাশাপাশি দুটি কোণকেও লাল।

চিত্র ৫. সমান্তরালামের অভ্যন্তরের কোণ দুটি দ্বারা দুটি একত্রিত। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

- ত্রিভুজগুলির সম্মিলন

একই আকার এবং আকারের দুটি ত্রিভুজ একত্রিত। এটি যাচাই করার জন্য তিনটি মানদণ্ড রয়েছে যা সম্মিলনের সন্ধানে পরীক্ষা করা যেতে পারে:

- এলএলএল মাপদণ্ড: ত্রিভুজগুলির তিনটি পক্ষের একই পদক্ষেপ রয়েছে, সুতরাং এল ₁ = এল ' ₁; এল ₂ = এল ' ₂ এবং এল ₃ = এল' _3।

চিত্র cong. একত্রিত ত্রিভুজগুলির উদাহরণ, যার পক্ষগুলি একই পরিমাপ করে। সূত্র: এফ.জাপাটা।

- এএলএ এবং এএল মাপদণ্ড: ত্রিভুজগুলির দুটি সমান অভ্যন্তরীণ কোণ রয়েছে এবং এই কোণগুলির মধ্যে পার্শ্বটি একই পরিমাপ করে।

চিত্র 7. ত্রিভুজ একত্রিত করার জন্য এএলএ এবং এএল মানদণ্ড। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

- লালের মানদণ্ড: উভয় পক্ষের দুটি একইরূপে (অনুরূপ) এবং তাদের মধ্যে একই কোণ রয়েছে।

চিত্র 8. ত্রিভুজগুলির একত্রিত করার জন্য LAL মাপদণ্ড। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

সমাধান ব্যায়াম

- অনুশীলনী 1

নিম্নলিখিত চিত্রটিতে দুটি ত্রিভুজ দেখানো হয়েছে: ΔABC এবং ΔECF। এটি পরিচিত যে AC = EF, যে AB = 6 এবং সেই সিএফ = 10 এছাড়াও,,BAC এবং ∡FEC কোণগুলি একত্রিত হয় এবং ∡AC এবং ∡FCB কোণগুলিও একত্রিত হয় ru

চিত্র 9. কাজের উদাহরণের জন্য ত্রিভুজগুলি 1. উত্স: এফ.জাপাটা।

তারপরে বিভাজনের বিয়ের দৈর্ঘ্য সমান:

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

সমাধান

যেহেতু দুটি ত্রিভুজের সমান কোণ ∡BAC = ∡CEF এবং ∡BCA = ∡CFE এর মধ্যে সমান দৈর্ঘ্যের AC = EF এর একটি পার্শ্ব রয়েছে তাই বলা যেতে পারে যে দুটি ত্রিভুজটি এএলএ মাপদণ্ডের সাথে একত্রে মিলিত।

এটি, ACBAC ≡ ΔCEF, সুতরাং আমাদের এগুলি করতে হবে:

বিএ = সিই = এবি = 6

বিসি = সিএফ = 10

এসি = ইএফ

তবে সেগমেন্টটি গণনা করতে হবে বিই = বিসি - ইসি = 10 - 6 = 4।

সুতরাং সঠিক উত্তরটি (iii)।

- অনুশীলন 2

নীচের চিত্রটিতে তিনটি ত্রিভুজ দেখানো হয়েছে। এটি আরও জানা যায় যে দুটি নির্দেশিত কোণ প্রতিটি 80º পরিমাপ করে এবং বিভাগগুলি AB = PD এবং AP = CD। চিত্রটিতে নির্দেশিত কোণ X এর মান সন্ধান করুন।

চিত্র 10. সমাধানিত উদাহরণের জন্য ত্রিভুজগুলি 2. উত্স: এফ.জাপাটা।

সমাধান

আপনাকে ত্রিভুজগুলির বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করতে হবে, যা ধাপে ধাপে বিস্তারিত।

ধাপ 1

এলএএএল ত্রিভুজ একত্রিত করার মানদণ্ড দিয়ে শুরু করে, এটি বলা যেতে পারে যে বিএপি এবং পিডিসি ত্রিভুজগুলি একত্রিত:

Δব্যাপ ≡ Δপিডিসি

ধাপ ২

উপরেরটি নিশ্চিত করে যে বিপি = পিসি, সুতরাং ত্রিভুজ angleBPC isosceles এবং ∡PCB = ∡PBC = X to

ধাপ 3

যদি আমরা কোণকে বিপিসি call বলে থাকি তবে এটি অনুসরণ করে:

2x + γ = 180º º

পদক্ষেপ 4

এবং যদি আমরা এপিবি এবং ডিসিপিকে কোণ এবং α এবং AB এবিপি এবং ডিপিসি কোণগুলি কল করি তবে আমাদের রয়েছে:

α + β + γ = 180º (যেহেতু এপিবি একটি বিমানের কোণ)।

পদক্ষেপ 5

তদতিরিক্ত, ত্রিভুজ APB এর অভ্যন্তরীণ কোণগুলির যোগফল দ্বারা α + β + 80º = 180º।

পদক্ষেপ 6

আমাদের এই সমস্ত এক্সপ্রেশনগুলির সংমিশ্রণ:

α + β = 100º

পদক্ষেপ 7

এবং সেইজন্য:

γ = 80º।

পদক্ষেপ 8

শেষ পর্যন্ত এটি অনুসরণ করে:

2 এক্স + 80º = 180º º

এক্স = 50º সহ º

তথ্যসূত্র

1. বাল্ডোর, এ। 1973. প্লেন এবং স্পেস জ্যামিতি। মধ্য আমেরিকান সাংস্কৃতিক।
2. সিকে -12 ফাউন্ডেশন। একত্রিত বহুভুজ। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: সিকে 12.org।
3. গণিত উপভোগ করুন। সংজ্ঞা: ব্যাসার্ধ (বহুভুজ) পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: enjoylasmatmaticas.com।
4. গণিতের ওপেন রেফারেন্স। একত্রিত করার জন্য বহুভুজ পরীক্ষা করা। থেকে উদ্ধার: mathopenref.com।
5. উইকিপিডিয়া। সমষ্টি (জ্যামিতি)) উদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.org থেকে ipedia
6. জাপাটা, এফ। ত্রিভুজগুলি, ইতিহাস, উপাদানসমূহ, শ্রেণিবিন্যাস, বৈশিষ্ট্য। উদ্ধার: lifeder.com।