নলাকার স্থানাঙ্ক: সিস্টেম, পরিবর্তন এবং অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

নলাকার স্থানাঙ্ক তিন মাত্রিক স্থান পয়েন্ট সনাক্ত এবং রশ্মীয় ρ তুল্য, φ দিগ্বলয়ী তুল্য ও z উচ্চতার তুল্য একটি গঠিত ব্যবহার করা হয়।

মহাকাশে অবস্থিত একটি পয়েন্ট পি এক্সওয়াই বিমানটিতে অরথোগোনালি অনুমান করা হয় যে সেই বিমানে পি 'পয়েন্টটি বাড়িয়ে তোলে। বিন্দু 'P' থেকে উত্স থেকে দূরত্ব স্থানাঙ্ককে সংজ্ঞায়িত করে while যখন এক্স অক্ষটি রে ওপিতে 'কোণ' দ্বারা স্থানাঙ্ককে সংজ্ঞায়িত করে φ পরিশেষে, z স্থানাঙ্ক হ'ল Z অক্ষের পয়েন্ট P এর অরথোগোনাল প্রক্ষেপণ। (চিত্র 1 দেখুন)

চিত্র 1. নলাকার স্থানাঙ্কের পয়েন্ট পি (ρ, φ, z)। (নিজস্ব বিবরণ)

রেডিয়াল স্থানাঙ্ক always সর্বদা ইতিবাচক, আজিমুথাল স্থানাঙ্ক zero শূন্য রেডিয়ান থেকে দুটি পাই রেডিয়ানে পরিবর্তিত হয়, এবং জেড স্থানাঙ্ক যে কোনও আসল মান নিতে পারে:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

স্থানাঙ্কের পরিবর্তন

তার নলাকার স্থানাঙ্ক (ρ, φ, z) থেকে পয়েন্ট পি এর কার্তেসিয়ান স্থানাঙ্কগুলি (x, y, z) তুলনামূলকভাবে সহজ:

x = ρ কোস (φ)

y = ρ পাপ (φ)

z = z

তবে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক (x, y, z) পয়েন্টের পয়েন্টের জ্ঞান থেকে শুরু করে মেরু স্থানাঙ্ক (ρ, φ, z) পাওয়াও সম্ভব:

ρ = √ (x ² + y ²)

φ = আর্টিকান (y / x)

z = z

নলাকার স্থানাঙ্কগুলিতে ভেক্টর বেস

নলাকার ইউনিট বেস ভেক্টর Uρ, Uφ, উজ হয় সংজ্ঞায়িত ।

ভেক্টর Uρ লাইন φ = ctte ও z = ctte (প্রকোষ্ঠের কনিষ্ঠাস্থির সন্নিহিত স্নায়ু বা ধমনী বাহ্যিক নির্দেশ) এর স্পর্শক হয়, ভেক্টর Uφ লাইন ρ = ctte ও z = ctte স্পর্শক এবং পরিশেষে উজ Z অক্ষের একই দিক রয়েছে।

চিত্র 2. নলাকার স্থানাঙ্ক বেস। (উইকিমিডিয়া কমন্স)

নলাকার ইউনিট বেসে, বিন্দু পি এর অবস্থান ভেক্টর আর এর মতো ভেক্টোরিয়াল লেখা হয়:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z উজ

অন্যদিকে, বিন্দু পি থেকে একটি অনাদির স্থানচ্যুতি ডি আর নিম্নরূপে প্রকাশ করা হয়:

ঘ R = dρ Uρ + + ρ dφ Uφ + + Dz উজ

একইভাবে, নলাকার স্থানাঙ্কগুলিতে ভলিউম ডিভিয়ের একটি অনন্য উপাদান:

dv = ρ dρ dφ dz

উদাহরণ

নলাকার স্থানাঙ্কের ব্যবহার এবং প্রয়োগের অসংখ্য উদাহরণ রয়েছে। কার্টোগ্রাফিতে, উদাহরণস্বরূপ, এই স্থানাঙ্কগুলির উপর ভিত্তি করে সিলিন্ড্রাল প্রজেকশন ব্যবহৃত হয়। আরও উদাহরণ আছে:

উদাহরণ 1

নলাকার স্থানাঙ্কগুলিতে প্রযুক্তিতে অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ আমাদের কাছে হার্ড ডিস্কে সিএইচএস (সিলিন্ডার-হেড-সেক্টর) ডেটা লোকেশন সিস্টেম রয়েছে, যা আসলে বেশ কয়েকটি ডিস্ক নিয়ে গঠিত:

- সিলিন্ডার বা ট্র্যাক স্থানাঙ্ক correspond এর সাথে মিলে যায় ρ

- সেক্টরটি ডিস্কের অবস্থানের সাথে মিলে যায় - যা উচ্চ কৌণিক গতিতে ঘুরছে।

- মাথাটি সংশ্লিষ্ট ডিস্কে পঠন শিরোনামের জেড-পজিশনের সাথে মিল রাখে।

প্রতিটি বাইট তথ্য নলাকার স্থানাঙ্ক (সি, এস, এইচ) এর একটি সুনির্দিষ্ট ঠিকানা রয়েছে।

চিত্র 2. একটি হার্ড ডিস্ক সিস্টেমের নলাকার স্থানাঙ্কে তথ্যের অবস্থান। (উইকিমিডিয়া কমন্স)

উদাহরণ 2

নির্মাণ ক্রেনগুলি নলাকার স্থানাঙ্কগুলিতে লোডের অবস্থান ঠিক করে। অনুভূমিক অবস্থানটি ক্রেনের অক্ষ বা তীরের দূরত্ব দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে - এবং এর কৌণিক অবস্থান দ্বারা - কিছু রেফারেন্স অক্ষের সাথে সম্মতিযুক্ত। লোডের উল্লম্ব অবস্থানটি উচ্চতার z স্থানাঙ্ক দ্বারা নির্ধারিত হয়।

চিত্র 3. একটি নির্মাণ ক্রেনের বোঝার অবস্থানটি নলাকার স্থানাঙ্কে সহজেই প্রকাশ করা যেতে পারে। (চিত্র পিক্সাবে - টীকাগুলি আর পেরেজ)

সমাধান ব্যায়াম

অনুশীলনী 1

নলাকার স্থানাঙ্ক (3, 120º, -4) সহ পয়েন্ট P1 এবং নলাকার স্থানাঙ্ক (2, 90º, 5) সহ পয়েন্ট P2 রয়েছে। এই দুটি পয়েন্টের মধ্যে ইউক্লিডিয়ান দূরত্বটি সন্ধান করুন।

সমাধান: প্রথমে, আমরা উপরে উল্লিখিত সূত্রটি অনুসরণ করে প্রতিটি পয়েন্টের কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করতে এগিয়ে যাই।

পি 1 = (3 * কোস 120º, 3 * পাপ 120º, -4) = (-1.5, 2.60, -4)

পি 2 = (2 * কোস 90º, 2 * পাপ 90º, 5) = (0, 2, 5)

পি 1 এবং পি 2 এর মধ্যে ইউক্লিডিয়ান দূরত্বটি হ'ল:

d (পি 1, পি 2) = √ ((0 - (-1.5)) ² + (2 - 2.60) ² + (5 - (- 4)) ²) =…

… √ (2.25 + 0.36 + 81) = 9.14

অনুশীলন 2

পয়েন্ট পিতে কার্তেসিয়ান স্থানাঙ্ক রয়েছে (-3, 4, 2) সংশ্লিষ্ট নলাকার স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন।

সমাধান: আমরা উপরে বর্ণিত সম্পর্কগুলি ব্যবহার করে নলাকার স্থানাঙ্কগুলি খুঁজতে এগিয়ে চলেছি:

ρ = √ (x ² + y ²) = √ ((- 3) ² + 4 ²) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = আর্টিকান (y / x) = আর্টিকান (4 / (- 3)) = -53.13º + 180º = 126.87º

z = 2

এটি মনে রাখা উচিত যে আর্কট্যানজেন্ট ফাংশনটি 180º পর্যায়ক্রমে বর্ধিত হয়। এছাড়াও, কোণ φ অবশ্যই দ্বিতীয় কোয়াড্র্যান্টের অন্তর্গত, যেহেতু পয়েন্ট পি এর x এবং y স্থানাঙ্কগুলি সেই কোয়াড্রেন্টে রয়েছে। এই কারণেই ফলাফলটিতে 180 যুক্ত করা হয়েছে φ

অনুশীলন 3

নলাকার স্থানাঙ্কে এবং কার্টেসিয়নে এক্সপ্রেস 2 টি ব্যাসার্ধ সহ একটি সিলিন্ডারের পৃষ্ঠকে স্থানাঙ্কিত করে এবং যার অক্ষটি জেড অক্ষের সাথে মিলে যায়।

সমাধান: বোঝা যায় যে সিলিন্ডারের z দিকের সীমায় সীমাহীন এক্সটেনশন রয়েছে, তাই নলাকার স্থানাঙ্কগুলিতে বলা পৃষ্ঠের সমীকরণটি হ'ল:

। = 2

নলাকার পৃষ্ঠের কার্টেসিয়ান সমীকরণ পেতে, পূর্ববর্তী সমীকরণের উভয় সদস্যের বর্গক্ষেত্র নেওয়া হয়:

ρ ² = 4

আমরা পূর্বের সমতার উভয় সদস্যকে 1 দ্বারা গুণিত করি এবং মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয় প্রয়োগ করি (পাপ ² (φ) + কোস ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

প্রথমটি পাওয়ার জন্য প্রথম বন্ধনী তৈরি করা হয়েছে:

(ρ পাপ (φ)) ² + (ρ কোস (φ)) ² = 4

আমাদের মনে আছে যে প্রথম বন্ধনী (ρ sin (φ)) হচ্ছে মেরু স্থানাঙ্কের বিন্দুটির y স্থানাঙ্ক, যখন প্রথম বন্ধনী (ρ cos (φ)) x স্থানাঙ্ককে উপস্থাপন করে, যাতে আমাদের স্থানাঙ্কগুলিতে সিলিন্ডারের সমীকরণ থাকে that কার্টিজিয়ান:

y ² + x ² = 2 ²

উপরের সমীকরণটি এক্সওয়াই বিমানের পরিধি হিসাবে বিভ্রান্ত হওয়া উচিত নয়, যেহেতু এই ক্ষেত্রে এটি দেখতে এরকম হবে: {y ² + x ² = 2 ²; z = 0}।

অনুশীলন 4

ব্যাসার্ধ আর = 1 মিটার এবং উচ্চতা এইচ = 1 মিটার এর ভর নীচের সমীকরণ ডি (ρ) = সি (1 - ρ / আর) অনুযায়ী রেডিয়ালি বিতরণ করেছে যেখানে সি মান সি = 1 কেজি / মি ^{3 এর} ধ্রুবক । সিলিন্ডারের মোট ভর কিলোগ্রামে সন্ধান করুন।

সমাধান: প্রথম জিনিসটি বুঝতে হবে যে ডি (ρ) ফাংশনটি ভলিউম্যাট্রিক ভর ঘনত্বকে উপস্থাপন করে এবং ভর ঘনত্বটি কেন্দ্র থেকে ঘেরের মধ্যে ঘনত্বের ক্রমবর্ধমান নলাকার শেলগুলিতে বিতরণ করা হয়। সমস্যার প্রতিসাম্য অনুযায়ী ভলিউমের একটি অনন্য উপাদান:

ডিভি = ρ dρ 2π এইচ

অতএব, একটি নলাকার শেলের অসীম ভর হবে:

dM = D (ρ) ডিভি

সুতরাং, সিলিন্ডারের মোট ভর নিম্নলিখিত সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য দ্বারা প্রকাশ করা হবে:

এম = ∫ _বা ^আর ডি (ρ) ডিভি = ∫ _বা ^আর সি (1 - ρ / আর) ρ dρ 2π এইচ = 2π এইচসি ∫ _বা ^আর (1 - ρ / আর) ρ dρ

নির্দেশিত ইন্টিগ্রালের সমাধান পাওয়া খুব কঠিন নয়, এর ফলস্বরূপ:

∫ _বা ^আর (1 - ρ / আর) ρ dρ = (⅙) আর ²

এই ফলাফলটি সিলিন্ডারের ভরর প্রকাশের সাথে অন্তর্ভুক্ত করে আমরা পেয়েছি:

এম = 2π এইচসি (⅙) আর ² = ⅓ π এইচসিআর ² =

Π m 1 মি * 1 কেজি / এম ³ * 1 মি ² = π / 3 কেজি ≈ 1.05 কেজি

তথ্যসূত্র

1. আরফকেন জি এবং ওয়েবার এইচ। (2012)। পদার্থবিদদের জন্য গাণিতিক পদ্ধতি। একটি বিস্তৃত গাইড। 7 ম সংস্করণ। একাডেমিক প্রেস। আইএসবিএন 978-0-12-384654-9
2. গণনা সিসি। নলাকার এবং গোলাকৃতির স্থানাঙ্কের সমস্যার সমাধান। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: ক্যালকুলো.সি.সি.
3. ওয়েইস্টেইন, এরিক ডাব্লু। "নলাকার স্থানাঙ্ক।" ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে - একটি ওল্ফ্রাম ওয়েব। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: mathworld.wolfram.com থেকে
4. উইকিপিডিয়া। নলাকার সমন্বয় ব্যবস্থা। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: en.wikedia.com থেকে ipedia
5. উইকিপিডিয়া। নলাকার এবং গোলাকৃতির স্থানাঙ্কগুলিতে ভেক্টর ক্ষেত্র। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: en.wikedia.com থেকে ipedia