গোলাকার স্থানাঙ্ক: উদাহরণ এবং সমাধান অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

গোলাকার স্থানাঙ্ক গঠিত তিন মাত্রিক স্থান অবস্থানের পয়েন্ট সেট একটি তুল্য রশ্মীয় এবং দুই কৌণিক স্থানাঙ্ক পোলার নামক সমন্বয় সাধন এবং দিগ্বলয়ী তুল্য।

চিত্র 1, যা আমরা নীচে দেখছি, একটি পয়েন্ট এম এর গোলকীয় স্থানাঙ্ক (r, θ, φ) দেখায় এই স্থানাঙ্কগুলি কার্তেসিয়ান অক্ষের X, Y, Z এর অর্থোগোনাল সিস্টেমকে O এর Z এর সাথে যুক্ত করা হয় O

চিত্র 1. পয়েন্ট এম এর গোলকীয় স্থানাঙ্ক (r, θ, φ) (উইকিমিডিয়া কমন্স)

এই ক্ষেত্রে, বিন্দু M এর স্থানাঙ্কী r হল সেই বিন্দু থেকে মূল O এর দূরত্ব The মেরু স্থানাঙ্ক θ ধনাত্মক আধা-অক্ষ এবং Z এবং ব্যাসার্ধ ভেক্টর ওএম এর মধ্যবর্তী কোণকে উপস্থাপন করে। যদিও আজিমুথাল স্থানাঙ্ক φ হ'ল ধনাত্মক আধা-অক্ষ এক্স এবং ব্যাসার্ধ ভেক্টর ওএম'র মধ্যে কোণ, যেখানে এম 'এক্সওয়াই বিমানে এম এর অर्थোগোনাল প্রক্ষেপণ।

রেডিয়াল স্থানাঙ্ক r কেবলমাত্র ইতিবাচক মানগুলি গ্রহণ করে, তবে যদি কোনও বিন্দু মূলতে অবস্থিত হয় তবে r = 0 হবে। ধনুকের স্থানাঙ্ক θ ধনাত্মক আধা-অক্ষ Z এর উপর অবস্থিত পয়েন্টগুলির জন্য সর্বনিম্ন মান 0º হিসাবে নেয় এবং পয়েন্টগুলির জন্য সর্বাধিক মান 180 the নেতিবাচক আধা-অক্ষ জেডের উপরে অবস্থিত Finally

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

স্থানাঙ্কের পরিবর্তন

এর পরে, সূত্রগুলি যেগুলি বিন্দু এম এর কার্তেসিয়ান স্থানাঙ্ক (x, y, z) প্রাপ্ত করার অনুমতি দেয় তা একই (আর, θ, φ) পয়েন্টের গোলাকার স্থানাঙ্কগুলি ধরে ধরে ধরে দেওয়া হবে:

x = r সেন (θ) কোস (φ)

y = r সেন (θ) সেন (φ)

z = r কর (θ)

একইভাবে, উল্লিখিত বিন্দুর গোলক স্থানাঙ্কগুলিতে প্রদত্ত বিন্দুটির কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক (এক্স, ওয়াই, জেড) থেকে সম্পর্কের সন্ধান করা কার্যকর:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = আর্টিকান (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = আর্টিকান (y / x)

গোলাকার স্থানাঙ্কগুলিতে ভেক্টর বেস

গোলাকার স্থানাঙ্ক বেস ভেক্টর একটি orthonormal ভিত্তিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা দ্বারা প্রকাশ করা হয় থেকে উর, Uθ, Uφ । চিত্র 1 এ এই তিনটি ইউনিট ভেক্টর দেখানো হয়েছে, যার নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

- উর হল রেডিয়াল লাইনের একক ভেক্টর স্পর্শক θ = সিটিটি এবং φ = সিটিটি;

- Uθ হল আর্ক to = ctte এবং r = ctte এর একক ভেক্টর স্পর্শক;

- Uφ হল আর্ক r = ctte এবং θ = ctte এর একক ভেক্টর স্পর্শক।

গোলাকার স্থানাঙ্কে লাইন এবং ভলিউম উপাদান

গোলাকার স্থানাঙ্কে স্থানের একটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টরটি এভাবে লেখা হয়:

r = r উর

কিন্তু এই স্থানাঙ্কগুলিতে ত্রি-মাত্রিক স্থানের একটি বিন্দুর একটি অনন্য বৈচিত্র বা স্থানচ্যুতি নিম্নলিখিত ভেক্টর সম্পর্কের দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

d r = dr Ur র + r dθ Uθ + r সেন (θ) d φ Uφ φ

অবশেষে, গোলাকার স্থানাঙ্কে একটি অনন্য ভলিউম ডিভি এভাবে লেখা হয়:

ডিভি = আর ^ 2 সেন (θ) ডাঃ ডি ডি φ

এই সম্পর্কগুলি গোলাকার প্রতিসাম্যযুক্ত শারীরিক পরিস্থিতিতে লাইন এবং ভলিউম ইন্টিগ্রালগুলি গণনা করার জন্য খুব দরকারী।

ভৌগলিক স্থানাঙ্কের সাথে সম্পর্ক

ভৌগলিক স্থানাঙ্কগুলি বোঝা যায় যেগুলি পৃথিবীর পৃষ্ঠের জায়গাগুলির অবস্থান নির্ধারণ করে। এই ব্যবস্থাটি অক্ষাংশ এবং দ্রাঘিমাংশের স্থানাঙ্কগুলি পৃথিবীর পৃষ্ঠের অবস্থান সনাক্ত করতে ব্যবহার করে।

ভৌগলিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, পৃথিবীর পৃষ্ঠটি ব্যাসার্ধ আরটি দিয়ে গোলাকৃতির বলে ধরে নেওয়া হয়, যদিও এটি খুঁটিগুলিতে সমতল বলে পরিচিত, এবং সমান্তরাল এবং মেরিডিয়ান নামক কল্পিত রেখার একটি সেট বিবেচনা করা হয়।

চিত্র 2. পৃথিবীর পৃষ্ঠের পর্যবেক্ষকের দ্রাঘিমাংশ এবং অক্ষাংশ।

অক্ষাংশ β হল এমন একটি কোণ যা একটি ব্যাসার্ধ দ্বারা গঠিত যা পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে শুরু করে আপনি যে অবস্থানটিতে যেতে চান to এটি নিরক্ষীয় সমতল থেকে পরিমাপ করা হয়, যেমন চিত্র ২-এ দেখানো হয়েছে অন্যদিকে, দ্রাঘিমাংশ angle এমন কোণ যা মেরিডিয়ান যে বিন্দুটি শূন্য মেরিডিয়ান (গ্রিনউইচ মেরিডিয়ান হিসাবে পরিচিত) এর সাথে সম্পর্কিত হয়ে রুপান্তরিত হচ্ছে forms

অক্ষাংশটি উত্তর বা দক্ষিণ অক্ষাংশ হতে পারে, তার উপর নির্ভর করে আপনি যে জায়গার সন্ধান করছেন তা উত্তর গোলার্ধে বা দক্ষিণ গোলার্ধে রয়েছে কিনা depending একইভাবে, দ্রাঘিমাংশটি শূন্য মেরিডিয়ান এর পশ্চিম বা পূর্বের উপর নির্ভর করে পশ্চিম বা পূর্ব হতে পারে।

ভৌগলিক থেকে গোলাকারে পরিবর্তনের সূত্রগুলি

এই সূত্রগুলি প্রাপ্ত করার জন্য প্রথমে একটি সমন্বিত ব্যবস্থা স্থাপন করা establish এক্সওয়াই প্লেনটি নিরক্ষীয় বিমানের সাথে মিলে যেতে বেছে নেওয়া হয়েছে, ধনাত্মক এক্স আধা অক্ষটি এমন একটি যা পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে যায় এবং শূন্য মেরিডিয়ান পেরিয়ে যায়। পরিবর্তে, Y অক্ষটি 90º E মেরিডিয়ান দিয়ে যায় The পৃথিবীর পৃষ্ঠটি ব্যাসার্ধ Rt থাকে has

এই সমন্বিত সিস্টেমের সাথে ভৌগলিক থেকে গোলাকৃতির চেহারাতে রূপান্তরগুলি:

βEβN → (আরটি, θ = 90º-β, φ = α)

βOβN → (আরটি, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

βEβS → (আরটি, θ = 90º + β, φ = α)

βOβS → (আরটি, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

উদাহরণ

উদাহরণ 1

পালমা দে মেলোর্কা (স্পেন) এর ভৌগলিক স্থানাঙ্কগুলি হ'ল:

পূর্ব দ্রাঘিমাংশ 38.847º এবং উত্তর অক্ষাংশ 39.570º। পালমা দে ম্যালোরকার সাথে সম্পর্কিত গোলক স্থানাঙ্কগুলি নির্ধারণ করতে, পূর্ববর্তী বিভাগের সূত্রগুলির প্রথম সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে:

38,847ºE39,570ºN → (আর = 6371 কিমি, θ = 90º-39,570º, φ = 38,847º)

সুতরাং গোলাকার স্থানাঙ্কগুলি হ'ল:

পালমা ডি ম্যালোরকা: (আর = 6371 কিমি, θ = 50.43º, φ = 38.85º)

পূর্ববর্তী উত্তরে আর পৃথিবীর গড় ব্যাসার্ধের সমান নেওয়া হয়েছে।

উদাহরণ 2

মালভিনাস (ফকল্যান্ড) দ্বীপপুঞ্জের 59ºO 51.75ºS এর ভৌগলিক স্থানাঙ্ক রয়েছে তা জেনে সংশ্লিষ্ট পোলার স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করুন। মনে রাখবেন যে এক্স অক্ষটি পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে 0º মেরিডিয়ান এবং নিরক্ষীয় বিমানে যায়; নিরক্ষীয় সমতল এবং 90º পশ্চিম মেরিডিয়ান পেরিয়ে y অক্ষরও; অবশেষে জেড অক্ষটি পৃথিবীর অক্ষের দক্ষিণ-উত্তর দিকের আবর্তনের।

তারপরে সম্পর্কিত গোলাকার স্থানাঙ্কগুলি আমরা আগের বিভাগে উপস্থাপিত সূত্রগুলি ব্যবহার করি:

59ºO 51.75ºS → (আর = 6371 কিমি, θ = 90º + 51.75º, φ = 360º-59º) যা

মালভিনাস: (আর = 6371 কিমি, θ = 141.75º, φ = 301º)

অনুশীলন

অনুশীলনী 1

চিত্র 2-এ প্রদর্শিত XYZ কার্টেসিয়ান রেফারেন্স সিস্টেমে পালমা দে ম্যালোরকার কার্তেসিয়ান স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন।

সমাধান: পূর্বে, উদাহরণস্বরূপ 1, পালমা দে ম্যালোর্কার ভৌগলিক স্থানাঙ্ক থেকে শুরু করে গোলাকার স্থানাঙ্কগুলি প্রাপ্ত হয়েছিল। সুতরাং উপরে উপস্থাপিত সূত্রগুলি গোলাকার থেকে কার্তেসিয়ান পর্যন্ত যেতে ব্যবহার করা যেতে পারে:

x = 6371 কিমি সেন (50.43º) কস (38.85º)

y = 6371 কিমি সেন (50.43º) সেন (38.85º)

z = 6371 কিমি কস (50.43º)

আমাদের সাথে সম্পর্কিত গণনা সম্পাদন করা:

পালমা ডি ম্যালোরকা: (x = 3825 কিমি, y = 3081 কিমি, জেড = 4059)

অনুশীলন 2

চিত্র 2 এ প্রদর্শিত XYZ কার্টেসিয়ান রেফারেন্স সিস্টেমের ফকল্যান্ড দ্বীপপুঞ্জের কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন।

সমাধান: এর আগে, উদাহরণস্বরূপ 2, মলভিনাস দ্বীপপুঞ্জের ভৌগলিক স্থানাঙ্কগুলি থেকে শুরু করে গোলাকার স্থানাঙ্কগুলি প্রাপ্ত হয়েছিল। সুতরাং উপরে উপস্থাপিত সূত্রগুলি গোলাকার থেকে কার্তেসিয়ান পর্যন্ত যেতে ব্যবহার করা যেতে পারে:

x = 6371 কিমি সেন (141.75º) কস (301º)

y = 6371 কিমি সেন (141.75º) সেন (301º)

z = 6371 কিলোমিটার কস (141.75º)

সংশ্লিষ্ট গণনা সম্পাদন করে, আমরা প্রাপ্ত:

ফকল্যান্ড দ্বীপপুঞ্জ: (x = 2031 কিমি, y = -3381 কিমি, জেড = -5003)

তথ্যসূত্র

1. আরফকেন জি এবং ওয়েবার এইচ। (2012)। পদার্থবিদদের জন্য গাণিতিক পদ্ধতি। একটি বিস্তৃত গাইড। 7 ম সংস্করণ। একাডেমিক প্রেস। আইএসবিএন 978-0-12-384654-9
2. গণনা সিসি। নলাকার এবং গোলাকৃতির স্থানাঙ্কের সমস্যার সমাধান। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: ক্যালকুলো.সি.সি.
3. জ্যোতির্বিজ্ঞান কর্মশালা। অক্ষাংশ ও দ্রাঘিমাংশ. থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: tarifamates.blogspot.com/
4. ওয়েইস্টেইন, এরিক ডাব্লু। "গোলাকৃতির স্থানাঙ্ক।" ম্যাথওয়ার্ল্ড-এ ওল্ফ্রাম ওয়েব থেকে। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: mathworld.wolfram.com থেকে
5. উইকিপিডিয়া। গোলাকার সমন্বয় ব্যবস্থা। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: en.wikedia.com থেকে ipedia
6. উইকিপিডিয়া। নলাকার এবং গোলাকৃতির স্থানাঙ্কগুলিতে ভেক্টর ক্ষেত্র। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: en.wikedia.com থেকে ipedia