বীজগণিত ডেরিভেটিভস (উদাহরণ সহ) - গণিতশাস্ত্র - 2025

বীজগাণিতিক ডেরাইভেটিভস বীজগাণিতিক ফাংশন ক্ষেত্রে ব্যুৎপন্ন গবেষণা দ্বারা গঠিত। ডেরাইভেটিভ ধারণার উত্স প্রাচীন গ্রীসের সাথে সম্পর্কিত। এই ধারণার বিকাশ দুটি গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা সমাধানের প্রয়োজন দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল, একটি পদার্থবিদ্যায় এবং অন্যটি গণিতে in

পদার্থবিজ্ঞানে ডেরিভেটিভ চলমান বস্তুর তাত্ক্ষণিক গতি নির্ধারণের সমস্যাটি সমাধান করে। গণিতে, এটি আপনাকে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটি বক্ররেখার স্পর্শক রেখাটি সন্ধান করতে দেয়।

যদিও ডেরিভেটিভ এবং এর সাধারণীকরণ ব্যবহার করে আরও অনেক সমস্যা সমাধান করা হয়েছে যা এর ধারণাটি প্রবর্তনের পরে এসেছিল results

ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের প্রবর্তক হলেন নিউটন এবং লাইবনিজ। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা দেওয়ার আগে আমরা গাণিতিক ও শারীরিক দিক থেকে এর পিছনে ধারণাটি বিকাশ করতে যাচ্ছি।

বক্ররেখার স্পর্শক রেখার opeাল হিসাবে ডেরাইভেটিভ

ধরুন যে ফাংশনের y = f (x) এর গ্রাফটি একটি অবিচ্ছিন্ন গ্রাফ (শিখর বা শীর্ষে বা ফাঁকা ছাড়াই) এবং এ = (এ, এফ (ক)) এর উপর একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হতে দিন। আমরা বিন্দু এ এ ফাংশন এর গ্রাফ রেখার স্পর্শক এর সমীকরণ খুঁজে পেতে চাই।

আসুন গ্রাফের অন্য কোনও বিন্দু P = (x, f (x)) ধরুন, A বিন্দুর নিকটে, এবং A এবং P এর মধ্য দিয়ে যায় এমন সেকেন্ড রেখাটি আঁকুন একটি সেকেন্ড লাইন একটি রেখা যা একটি বক্ররেখার গ্রাফ কেটে দেয় বা আরও পয়েন্ট।

যে ট্যানজেন্ট লাইনটি আমরা চাই তা পেতে, আমাদের কেবল theাল গণনা করতে হবে যেহেতু আমাদের ইতিমধ্যে লাইনের একটি বিন্দু রয়েছে: বিন্দু এ।

যদি আমরা গ্রাফের সাথে পয়েন্ট পি সরান এবং A এর বিন্দুতে আরও কাছাকাছি চলে যাই তবে পূর্বে উল্লিখিত সেকান্ট লাইনটি আমরা যে টানজেন্ট লাইনের সন্ধান করতে চাই তার নিকটবর্তী হবে। "পি A তে ঝুঁকবে" তখন সীমাটি গ্রহণ করা, উভয় লাইনই মিলবে, সুতরাং তাদের slালুও।

সেকান্ট লাইনের opeাল দ্বারা দেওয়া হয়

"A" কাছে "ক" পৌঁছানোর সমতুল্য বলে পি। সুতরাং, বিন্দু এ এফ এর গ্রাফের স্পর্শক রেখার opeাল সমান হবে:

উপরের এক্সপ্রেশনটি f '(a) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে এবং "a" বিন্দুতে একটি ফাংশন এর ডেরাইভেটিভ হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে। সুতরাং আমরা বিশ্লেষণযোগ্যভাবে দেখতে পাই যে, একটি বিন্দুতে কোনও ক্রমের ডেরাইভেটিভ একটি সীমা, তবে জ্যামিতিকভাবে, এটি বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক রেখার opeাল।

এখন আমরা পদার্থবিদ্যার দৃষ্টিকোণ থেকে এই ধারণাটি দেখব। আমরা পূর্ববর্তী সীমাটির একই প্রকাশে পৌঁছে যাব, যদিও ভিন্ন পথ দিয়ে, এইভাবে সংজ্ঞাটির সর্বসম্মততা অর্জন করব।

চলন্ত বস্তুর তাত্ক্ষণিক বেগ হিসাবে ডেরাইভেটিভ

আসুন তাত্ক্ষণিক বেগ বলতে কী বোঝায় তার একটি সংক্ষিপ্ত উদাহরণ দেখুন। উদাহরণস্বরূপ, যখন এটি বলা হয় যে কোনও গন্তব্যে পৌঁছানোর জন্য একটি গাড়ি প্রতি ঘন্টা 100 কিলোমিটার গতিবেগ দিয়েছিল, যার অর্থ এক ঘন্টাের মধ্যে এটি 100 কিলোমিটার ভ্রমণ করেছিল।

এর অর্থ এই নয় যে পুরো ঘন্টা চলাকালীন গাড়িটি সর্বদা 100 কিলোমিটার ছিল, গাড়ির স্পিডোমিটার কিছু মুহুর্তে কম বা বেশি চিহ্নিত করতে পারে। আপনার যদি ট্র্যাফিক লাইটে থামার দরকার হয়, তখন আপনার গতি ছিল 0 কিলোমিটার। যাইহোক, এক ঘন্টা পরে, যাত্রা 100 কিলোমিটার।

এটিই গড় গতি হিসাবে পরিচিত এবং দূরত্বের পরিবাহকের ভাগ এবং সময় অতিবাহিত হওয়ার সময় দিয়েছিল, যেমনটি আমরা সবেমাত্র দেখেছি। অন্যদিকে তাত্ক্ষণিক গতি হ'ল একটি নির্দিষ্ট তাত্ক্ষণিক সময়ে (সময়) গাড়ীর স্পিডোমিটারের সুইকে চিহ্নিত করে।

এর এখন আরও সাধারণভাবে দেখুন। মনে করুন যে কোনও বস্তু একটি রেখার সাথে সরল এবং এই স্থানচ্যুতিটি সমীকরণ s = f (টি) দ্বারা উপস্থাপিত হয়েছে, যেখানে ভেরিয়েবল টি সময় এবং ভেরিয়েবলের স্থানচ্যুতি পরিমাপ করে এবং এর শুরুতে বিবেচনা করে তাত্ক্ষণিক t = 0, সেই সময়ে এটিও শূন্য, অর্থাত্, চ (0) = 0।

এই ফাংশন চ (টি) অবস্থান ফাংশন হিসাবে পরিচিত।

স্থির তাত্ক্ষণিক "ক" এ অবজেক্টের তাত্ক্ষণিক গতির জন্য একটি অভিব্যক্তি চাওয়া হয়। এই গতিতে আমরা এটি ভি (ক) দ্বারা চিহ্নিত করব।

তাত্ক্ষণিক "ক" এর কাছাকাছি কোনও তাত্ক্ষণিক হওয়া যাক। "ক" এবং "টি" এর মধ্যে সময়ের ব্যবধানে, অবজেক্টের অবস্থানের পরিবর্তনটি চ (টি) -ফ (ক) দ্বারা দেওয়া হয়।

এই সময়ের ব্যবধানে গড় গতি:

যা তাত্ক্ষণিক বেগ ভি (ক) এর একটি অনুমিতিকরণ। টি "ক" এর কাছাকাছি যাওয়ার সাথে এই সীমাবদ্ধতা আরও ভাল হবে। সুতরাং,

নোট করুন যে এই অভিব্যক্তিটি আগের ক্ষেত্রে প্রাপ্ত হিসাবে একই, তবে ভিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে। এটিই যা "a" বিন্দুতে একটি ফাংশন এর ডেরাইভেটিভ হিসাবে পরিচিত এবং উপরে বর্ণিত হিসাবে f '(ক) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

নোট করুন যে h = xa পরিবর্তনটি করার সময় আমাদের কাছে যখন "x" থাকে "a", "h" তে 0 থাকে এবং পূর্ববর্তী সীমাটি রূপান্তরিত হয় (সমতুল্য) এতে:

উভয় এক্সপ্রেশন সমতুল্য তবে কখনও কখনও কেসের উপর নির্ভর করে অপরের পরিবর্তে একটি ব্যবহার করা ভাল।

এর ডোমেনের সাথে সম্পর্কিত যে কোনও বিন্দুতে "x" এ ফাংশনটির ডেরাইভেটিভকে আরও সাধারণ উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়

Y = f (x) ফাংশনের ডেরিভেটিভ উপস্থাপনের জন্য সর্বাধিক সাধারণ স্বরলিপিটি হ'ল আমরা সবেমাত্র (চ 'বা y') দেখেছি। যাইহোক, অন্য একটি বহুল ব্যবহৃত ব্যবহৃত স্বরলিপি হ'ল লাইবনিজের স্বীকৃতি যা নিম্নলিখিত যে কোনও মত প্রকাশ করে:

যেহেতু ডেরাইভেটিভ মূলত একটি সীমা, তাই এটি সীমাবদ্ধ থাকতে পারে বা নাও থাকতে পারে, কারণ সীমা সর্বদা বিদ্যমান থাকে না। যদি এটি বিদ্যমান থাকে তবে প্রশ্নের মধ্যে ফাংশনটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে পার্থক্যযোগ্য বলে মনে করা হচ্ছে।

বীজগণিত ফাংশন

একটি বীজগণিত ফাংশন সংযোজন, বিয়োগফল, পণ্য, ভাগফল, ক্ষমতা এবং র‌্যাডিকালগুলির মাধ্যমে বহুভুজের সংমিশ্রণ।

একটি বহুপদী রূপের একটি বহিঃপ্রকাশ

পি _এন = একটি _এন এক্স ^এন + একটি _{এন -1} এক্স ^{এন -1} + একটি _এন-2 এক্স ^এন-2… + একটি ₂ এক্স ² + একটি ₁ এক্স + একটি ₀

যেখানে n একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং সমস্ত _i, i = 0,1,…, n সহ যুক্তিযুক্ত সংখ্যা এবং _n ≠ 0 হয়। এক্ষেত্রে এই বহুত্বের ডিগ্রি এন বলে জানা যায়।

নিম্নলিখিত বীজগণিত ফাংশন উদাহরণ:

সূচকীয়, লগারিদমিক এবং ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এখানে অন্তর্ভুক্ত করা হয়নি। আমরা পরবর্তীটি যে বিকাশের নিয়মগুলি দেখব সেগুলি সাধারণভাবে ফাংশনের জন্য বৈধ, তবে আমরা নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ রাখব এবং বীজগণিতীয় কার্যগুলির ক্ষেত্রে সেগুলি প্রয়োগ করব।

বাইপাস বিধি

একটি ধ্রুবক এর ডেরাইভেটিভ

একটি ধ্রুবক এর ডেরিভেটিভ শূন্য বলে উল্লেখ করে। অর্থাৎ f (x) = c হলে f '(x) = 0 হয়) উদাহরণস্বরূপ, ধ্রুবক ফাংশন 2 এর ডেরিভেটিভ 0 এর সমান।

একটি শক্তির ডেরাইভেটিভ

যদি f (x) = x ^{n হয়}, তবে f '(x) = nx ^n-1 । উদাহরণস্বরূপ, এক্স ³ এর ডেরাইভেটিভ 3x ² । এর ফলস্বরূপ, আমরা পেয়েছি যে পরিচয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ f (x) = x হল f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1।

আর একটি উদাহরণ নিম্নরূপ: f (x) = 1 / x ², তারপরে f (x) = x ^-2 এবং f '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x ^-3 ।

এই সম্পত্তিটিও বৈধ শিকড়, যেহেতু শিকড় যুক্তিযুক্ত শক্তি এবং উপরেরগুলিও সে ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, বর্গমূলের ডেরাইভেটিভ দ্বারা প্রদত্ত

সংযোজন এবং বিয়োগের ডাইরিভেটিভ

যদি f এবং g এক্সে পৃথক ফাংশন হয়, তবে যোগফল f + g এছাড়াও পৃথকযোগ্য এবং এটি সন্তুষ্ট যে (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x)।

একইভাবে, আমাদের কাছে (fg) '(x) = f' (x) -g '(x) রয়েছে। অন্য কথায়, একটি যোগফলের বিয়োগ (বিয়োগ), ডেরিভেটিভসের যোগফল (বা বিয়োগ)।

উদাহরণ

যদি h (x) = x ² + x-1 হয়, তবে

h '(x) = (x ²) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1।

একটি পণ্য থেকে প্রাপ্ত

যদি f এবং g এক্সে পৃথক ফাংশন হয় তবে পণ্য এফজি এক্স-এও পৃথকযোগ্য এবং এটি সত্য যে

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x)।

ফলস্বরূপ, এটি অনুসরণ করে যে সি যদি একটি ধ্রুবক হয় এবং f এক্সে পৃথক ফাংশন হয়, তবে সিএফ x এবং (সিএফ) '(x) = সিএফ' (এক্স) এও পৃথক হয়।

উদাহরণ

যদি f (x) = 3x (x ² +1) হয়, তবে

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3।

একটি ভাগফলের ডেরিভেটিভ

যদি f এবং g x এবং g (x) ≠ 0 এ পার্থক্যযুক্ত হয় তবে f / g এক্স-এও পার্থক্যযুক্ত এবং এটি সত্য যে

উদাহরণ: যদি h (x) = x ³ / (x ² -5x) হয়, তবে

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ² ।

চেইন নিয়ম

এই নিয়মটি ফাংশনগুলির সংমিশ্রণ তৈরি করতে দেয়। নিম্নলিখিতটি উল্লেখ করুন: যদি y = f (u) টি আপনার মধ্যে পৃথক, yu = g (x) x এ পার্থক্যযুক্ত হয়, তবে যৌগিক ফাংশন f (g (x)) x এ পার্থক্যযুক্ত এবং এটি সত্য যে '= f '(জি (এক্স)) জি' (এক্স)।

অর্থাত, একটি যৌগিক ফাংশনের ডেরাইভেটিভ বাহ্যিক ফাংশন (বাহ্যিক ডেরাইভেটিভ) এবং আভ্যন্তরীণ ফাংশন (অভ্যন্তরীণ ডেরাইভেটিভ) এর ডেরাইভেটিভের পণ্য।

উদাহরণ

যদি f (x) = (x ⁴ -2x) ³, তবে

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2)।

কোনও ক্রিয়াকলাপের বিপরীতের ডেরাইভেটিভ গণনা করার পাশাপাশি উচ্চ-অর্ডার ডেরিভেটিভগুলিতে সাধারণীকরণের ফলাফলও রয়েছে। অ্যাপ্লিকেশনগুলি বিস্তৃত। তাদের মধ্যে, অপ্টিমাইজেশান সমস্যা এবং সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন কার্যকারিতা থেকে এর কার্যকারিতা সুস্পষ্ট।

তথ্যসূত্র

1. অ্যালারকন, এস।, গঞ্জালেজ, এম।, এবং কুইন্টানা, এইচ। (২০০৮)। ডিফেরেনটিয়াল ক্যালকুলাস। Itm।
2. ক্যাবেরা, ভিএম (1997)। গণনা 4000. সম্পাদকীয় প্রগ্রেসো।
3. কাস্তেসো, এইচএফ (2005)। গণনার পূর্বে গণনা। মেডেলিন বিশ্ববিদ্যালয়।
4. এডুয়ার্ডো, এনএ (2003) ক্যালকুলাসের পরিচিতি। প্রান্তিক সংস্করণ।
5. ফুয়েন্টস, এ। (2016)। বেসিক ম্যাথ ক্যালকুলাসের একটি ভূমিকা। Lulu.com।
6. পুরসেল, ইজে, রিগডন, এসই, এবং ভারবার্গ, ডিই (2007)। ক্যালকুলেশন। পিয়ারসন শিক্ষা.
7. সায়েঞ্জ, জে। (2005) ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস (দ্বিতীয় সংস্করণ)। বারকুইসিমেটো: হাইপোটেনস।
8. টমাস, জিবি, এবং ওয়েয়ার, এমডি (2006)। গণনা: বেশ কয়েকটি চলক। পিয়ারসন শিক্ষা.