অন্তর্নিহিত ডেরাইভেটিভস: কীভাবে সেগুলি সমাধান করা হয় এবং অনুশীলনগুলি সমাধান করা হয় - গণিতশাস্ত্র - 2025

অন্তর্নিহিত ডেরাইভেটিভস একটি ডিফারেন্সিং কৌশল ফাংশন প্রয়োগ ব্যবহৃত সরঞ্জাম। নির্ভরশীল ভেরিয়েবলটি প্রাপ্ত করার জন্য সমাধান করার জন্য, নিয়মিত পদ্ধতিতে এটি সম্ভব না হলে এগুলি প্রয়োগ করা হয় applied এই ছাড়পত্র স্বাধীন ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন হিসাবে বাহিত হয়।

উদাহরণস্বরূপ, 3xy ³ - 2y + xy ² = xy এক্সপ্রেশনটিতে আপনি "y" কে "x" এর ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত অভিব্যক্তিটি পেতে পারেন না। যাতে ডিফারেন্সিয়াল এক্সপ্রেশন ডাই / ডিএক্স প্রাপ্ত করা যায়।

অন্তর্নিহিত ডেরাইভেটিভস কীভাবে সমাধান করা হয়?

অন্তর্নিহিত ডেরাইভেটিভ সমাধান করার জন্য, আমরা একটি অন্তর্নিহিত অভিব্যক্তি দিয়ে শুরু করি। উদাহরণস্বরূপ: 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0 এটি ইতিমধ্যে সঠিকভাবে সমাধান করা হয়েছে, তবে এটি করা x এর সাথে সম্মানের সাথে y এর ডেরিভেটিভ প্রাপ্ত করার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত নয়। তারপরে, উপাদানগুলির প্রত্যেকটি মিশ্র ক্রিয়াকলাপগুলির জন্য চেইন রুলকে সম্মান করে উত্পন্ন হয়:

3xy ³ 2 টি ভেরিয়েবলের সমন্বয়ে গঠিত, সুতরাং d (3xy ³) ফাংশনগুলির একটি পণ্যের ডাইরিভেটিভ হিসাবে বিবেচিত হবে।

d (3xy ³) / dx = 3y ³ + 3y ^2. (3x) y '= 3y ³ + 9xy ² y'

যেখানে y 'এলিমেন্টটি "y y prime" হিসাবে পরিচিত এবং ডাই / ডেক্সকে উপস্থাপন করে

-2y এটিকে KU = K.U 'আইন অনুসারে উদ্ভূত করা হয়েছে

d (-2y) = -2 y '

xy ² ধরে ফাংশনগুলির একটি পণ্য দ্বারা রচিত আরও একটি পার্থক্য মনে করে

d (xy ²) = y ² + 2xy y '

-অব্রতী সমজাতীয়ভাবে চিকিত্সা করা হয়

d (-xy) = -y - x y '

তারা সমতাতে প্রতিস্থাপিত হয়, জেনেও যে শূন্যের অনুপাত শূন্য।

3y ³ + 9xy ² y '- 2 y' + y ² + 2xy y '- y - x y' = 0

Y 'শব্দটি থাকা উপাদানগুলি সমতার একপাশে বিভক্ত হয়

3y ³ + y ² - y = -9xy ² y '+ 2 y' + x y '

সাধারণ ফ্যাক্টর y 'সমতার ডান দিক থেকে বের করা হয়

3 বর্ষ ³ + Y ² - Y = Y '(-9xy ² + X +2)

পরিশেষে y 'গুণক শব্দটি সাফ হয়ে গেছে। সুতরাং এক্স এর সাথে y এর অন্তর্নিহিত ডেরাইভেটিভের সাথে সম্পর্কিত অভিব্যক্তি অর্জন করা।

y '= dy / dx = (3y ³ + y ² - y) / (- ⁹ x ² + x + 2)

চেইন নিয়ম

অন্তর্নিহিত বংশবৃদ্ধিতে চেইন বিধি সর্বদা সম্মানিত হয়। সমস্ত ডিফারেনশিয়াল এক্সপ্রেশন স্বতন্ত্র ভেরিয়েবল এক্স এর ফাংশন হিসাবে দেওয়া হবে। সুতরাং এক্স ব্যতীত প্রতিটি ভেরিয়েবল অবশ্যই dθ / dx শব্দটি উত্পন্ন হওয়ার পরে অন্তর্ভুক্ত করতে হবে।

এই পদটি কেবলমাত্র প্রথম ডিগ্রীতে বা 1 এর সমান এক্সপোনেন্টের সাথে উপস্থিত হবে traditional সুতরাং, ডিফারেনশিয়াল d d / dx সংজ্ঞায়িত করে এমন ভাবটি পাওয়া সম্ভব।

চেইন বিধিটি পার্থক্য বা ডেরাইভেটিভ প্রক্রিয়ার প্রগতিশীল প্রকৃতি দেখায়। যেখানে প্রতিটি যৌগিক ক্রিয়াকলাপের জন্য, আমাদের কাছে রয়েছে যে চ এর ডিফারেনশনাল এক্সপ্রেশন হবে

অপারেশনাল অর্ডার

প্রয়োগযোগ্য প্রতিটি সূত্র বা বিবর্তনের আইনে, ভেরিয়েবলের ক্রমটি বিবেচনায় নেওয়া উচিত। নির্ভরযোগ্য ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কিত মানদণ্ডকে সম্মান করা হয়, নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের সাথে এর সম্পর্ককে পরিবর্তন না করেই।

উত্সের সময় নির্ভরশীল পরিবর্তনশীলের সম্পর্কটি সরাসরি নেওয়া হয়; ব্যতিক্রম ব্যতীত এটিকে একটি দ্বিতীয় ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করা হবে, এজন্য মিশ্র ফাংশনগুলির জন্য চেইন রুলের মানদণ্ড প্রয়োগ করা হয়।

এটি 2 টিরও বেশি ভেরিয়েবল সহ এক্সপ্রেশনে বিকাশ করা যেতে পারে। একই নীতিগুলির অধীনে, নির্ভরশীল ভেরিয়েবলগুলি উল্লেখ করে সমস্ত পার্থক্য চিহ্নিত করা হবে।

গ্রাফিকালি, একই মানদণ্ড যা ডেরাইভেটিভ সংজ্ঞায়িত করে তা পরিচালনা করা হয়। যদিও ডেরাইভেটিভটি বিমানের বক্ররেখার স্পর্শক রেখার opeাল, নির্ভরশীল ভেরিয়েবল (ডিআই / ডিএক্স, ডিজে / ডিএক্স) এর অন্তর্ভুক্ত বাকী পার্থক্যগুলি একাধিক ভেরিয়েবল ফাংশন দ্বারা বর্ণিত ভেক্টর সংস্থাগুলিতে প্লেনের স্পর্শককে উপস্থাপন করে।

অন্তর্নিহিত

একটি ফাংশন পরোক্ষভাবে সংজ্ঞায়িত করা যদি মত প্রকাশের Y = চ (x) এর একটি একাধিক পরিবর্তনশীল ফাংশন f (x, Y) = 0 যতদিন এফ আর সংজ্ঞায়িত করা হয় হিসাবে হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যাবে বলা হয় ² সমতল ।

3xy ³ - 2y + xy ² = xy 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0 আকারে লেখা যেতে পারে

Y = f (x) ফাংশনটি সুস্পষ্ট করে তোলার অসম্ভবতা দেখে।

ইতিহাস

ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস সপ্তদশ শতাব্দীর বিভিন্ন গণিত গবেষক দ্বারা নামকরণ করা শুরু। প্রথমবার এটি উল্লেখ করা হয়েছিল নিউটন এবং লাইবনিজের অবদানের মাধ্যমে। উভয়ই ভিন্ন ভিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের চিকিত্সা করেছিলেন, তবে তাদের ফলাফলগুলিতে রূপান্তর করেছেন।

নিউটন পরিবর্তনের গতি বা হার হিসাবে পার্থক্যের দিকে মনোনিবেশ করার সময় লাইবনিজের দৃষ্টিভঙ্গি ছিল আরও জ্যামিতিক। বলা যেতে পারে যে পার্টের অ্যাপোলোনিয়াস এবং লেমনিজ ফেরমাটের জ্যামিতিক ধারণাগুলির দ্বারা অনুমান করা নিউটন আক্রমণ করেছিলেন।

বিভক্ত এবং অবিচ্ছেদ্য সমীকরণ বিবেচনা করার সাথে সাথে অন্তর্নিহিত ডেরাইভেশন উপস্থিত হয়। এগুলি লাইবনিজের জ্যামিতিক ধারণাটি আর ³ এবং এমনকি বহুমাত্রিক স্থানগুলিতে প্রসারিত করেছে ।

অ্যাপ্লিকেশন

অন্তর্নিহিত ডেরাইভেটিভগুলি বিভিন্ন পরিস্থিতিতে ব্যবহার করা হয়। সম্পর্কিত ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে বিনিময় হারের সমস্যাগুলিতে এগুলি সাধারণ, যেখানে অধ্যয়নের বোধের উপর নির্ভর করে চলকগুলি নির্ভরশীল বা স্বতন্ত্র হিসাবে বিবেচিত হবে।

তাদের আকৃতির গাণিতিক মডেলিং করা যায় এমন চিত্রগুলিতে যেমন আকর্ষণীয় জ্যামিতিক অ্যাপ্লিকেশন যেমন প্রতিবিম্ব বা ছায়াজনিত সমস্যা রয়েছে have

এগুলি প্রায়শই অর্থনীতি এবং প্রকৌশল ক্ষেত্রে, পাশাপাশি প্রাকৃতিক ঘটনা এবং পরীক্ষামূলক ভবনগুলির বিভিন্ন তদন্তে ব্যবহৃত হয়।

সমাধান ব্যায়াম

অনুশীলনী 1

Dy / dx সংজ্ঞায়িত অন্তর্নিহিত অভিব্যক্তি সংজ্ঞা দিন

ভাবের প্রতিটি উপাদান আলাদা করা হয় is

প্রতিটি উপযুক্ত ক্ষেত্রে চেইন রুল প্রতিষ্ঠা করা

সাম্যতার একদিকে গ্রুপিং করা / dx / dx উপাদানগুলি

এটি সাধারণ ফ্যাক্টরটি ব্যবহার করে তৈরি করা হয়

এটি চাওয়া অভিব্যক্তি প্রাপ্ত করার সমাধান করা হয়

অনুশীলন 2

Dy / dx সংজ্ঞায়িত অন্তর্নিহিত অভিব্যক্তি সংজ্ঞা দিন

বাহিত হতে ডেরিভেটিভস প্রকাশ

চেইন বিধি অনুসারে স্পষ্টভাবে ডাইরিভিং করা

সাধারণ উপাদান ফ্যাক্টরিং

সাম্যের একদিকে ডাই / ডেক্স শব্দটি গোষ্ঠীকরণ

ডিফারেন্সিয়াল উপাদানের সাধারণ ফ্যাক্টর

আমরা বিচ্ছিন্ন এবং চাওয়া অভিব্যক্তি প্রাপ্ত

তথ্যসূত্র

1. একক চলকের ক্যালকুলাস। রন লারসন, ব্রুস এইচ। এডওয়ার্ডস। কেনেজ লার্নিং, 10 নভেম্বর 2008
2. অন্তর্নিহিত ফাংশন উপপাদ্য: ইতিহাস, তত্ত্ব এবং অ্যাপ্লিকেশন। স্টিভেন জি ক্রান্টজ, হ্যারল্ড আর পার্কস। স্প্রিঞ্জার সায়েন্স অ্যান্ড বিজনেস মিডিয়া, নভেম্বর। 2012
3. মাল্টিভেয়ারেবল বিশ্লেষণ। সতীশ শিরালি, হরকৃষ্ণ লাল বাসুদেব। স্প্রিংজার সায়েন্স অ্যান্ড বিজনেস মিডিয়া, ১৩ ডিসেম্বর। 2010
4. সিস্টেম ডায়নামিক্স: মডেলিং, সিমুলেশন এবং মেখ্যাট্রোনিক সিস্টেমগুলির নিয়ন্ত্রণ। ডিন সি কর্নোপ্প, ডোনাল্ড এল মার্গোলিস, রোনাল্ড সি রোজেনবার্গ। জন উইলি অ্যান্ড সন্স, Mar মার্চ 2012
5. ক্যালকুলাস: গণিত এবং মডেলিং। উইলিয়াম বাউলড্রি, জোসেফ আর ফিডলার, ফ্রাঙ্ক আর জিওর্ডানো, এড লোদি, রিক ভিট্রেয়। অ্যাডিসন ওয়েসলি লংম্যান, ২ জানুয়ারী 1999