আংশিক ডেরাইভেটিভস: স্বরলিপি, উদাহরণ এবং সমাধান ব্যায়াম - গণিতশাস্ত্র - 2025

আংশিক ডেরাইভেটিভস যখন অন্যান্য ভেরিয়েবল অপরিবর্তিত থাকবে বিভিন্ন ভেরিয়েবল একটি ফাংশন এর, ঐ যে ফাংশন যখন ভেরিয়েবল এক একটি ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র প্রকরণ রয়েছে পরিবর্তনের হার নির্ধারণ হয়।

ধারণাটি আরও দৃ concrete় করতে, ধরুন দুটি ভেরিয়েবলের কোনও ফাংশনের ক্ষেত্রে: z = f (x, y)। ভেরিয়েবল এক্সের সাথে ফাংশনটির আংশিক ডেরাইভেটিভটি এক্স এর সাথে সম্মানের সাথে সাধারণ ডেরাইভেটিভ হিসাবে গণনা করা হয়, তবে ভেরিয়েবল y গ্রহণ করা যেমন এটি স্থির ছিল।

চিত্র 1. ফাংশন এফ (এক্স, ওয়াই) এবং এর আংশিক ডেরিভেটিভস point _x f y point _y f পয়েন্ট পয়েন্টে (জিওজাব্রির সাথে আর। পেরেজ দ্বারা বিবৃত)

আংশিক ডেরাইভেটিভ স্বরলিপি

ভেরিয়েবল এক্স এর উপর ফ (x, y) ফাংশনের আংশিক ডেরাইভেটিভ ক্রিয়াকলাপ নিম্নলিখিত যে কোনও উপায়ে বোঝানো হয়েছে:

আংশিক ডেরিভেটিভগুলিতে প্রতীক ∂ (এক ধরণের গোলাকৃতির বর্ণকে যাকোবীর ডিও বলা হয়) ব্যবহার করা হয়, যেখানে একক পরিবর্তনশীল ফাংশনগুলির জন্য সাধারণ ডেরাইভেটিভের বিপরীতে যেখানে বর্ণটি ডেরিভেটিভের জন্য ব্যবহৃত হয়।

সাধারণ কথায়, কোনও বহিরাগত ফাংশনের আংশিক ডেরাইভেটিভ, এর কোনও ভেরিয়েবলের প্রতি সম্মান সহ, মূল ফাংশনের একই ভেরিয়েবলগুলিতে একটি নতুন ফাংশনের ফলাফল:

∂ _এক্স চ (X, Y) = জি (X, Y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y)

আংশিক ডেরিভেটিভের গণনা এবং অর্থ

এক্স অক্ষের সমান্তরাল দিকের নির্দিষ্ট বিন্দু (x = a, y = b) এর জন্য কার্যের পরিবর্তন বা opeালু নির্ধারণ করতে:

1- ফাংশন ∂ _x f (x, y) = g (x, y) গণনা করা হয়, ভেরিয়েবল এক্সের মধ্যে সাধারণ ডেরাইভেটিভ গ্রহণ করে এবং ভেরিয়েবল y স্থির বা স্থির রেখে।

2- তারপরে x = a এবং y = b এর বিন্দুর মান প্রতিস্থাপন করা হবে যেখানে আমরা x দিকের ক্রিয়াকলাপের পরিবর্তনের হার জানতে চাই:

The বিন্দুতে x দিকের opeাল (a, b)} = ∂ _x f (a, b)।

3- স্থানাঙ্ক পয়েন্টে (ক, খ) y দিকের পরিবর্তনের হার গণনা করতে প্রথমে ∂ _এবং f (x, y) = h (x, y) গণনা করুন ।

4- তারপরে পয়েন্টটি (x = a, y = b) পাওয়ার জন্য পূর্ববর্তী ফলাফলটিতে প্রতিস্থাপন করা হবে:

The বিন্দুতে y দিকের opeাল (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

আংশিক ডেরাইভেটিভ এর উদাহরণ

আংশিক ডেরাইভেটিভসের কয়েকটি উদাহরণ নিম্নরূপ:

উদাহরণ 1

ফাংশন দেওয়া:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

ভেরিয়েবল এক্স এবং ভেরিয়েবল y এর ক্ষেত্রে f এর আংশিক ডেরাইভেটিভগুলি সন্ধান করুন।

সমাধান:

F xf = -2x

∂ yf = -2y

নোট করুন যে ভেরিয়েবল এক্স এর সাথে ফাংশনটির আংশিক ডেরাইভেটিভ গণনা করতে, এক্স এর সাথে সম্মানের সাথে সাধারণ ডেরাইভেটিভ চালানো হয়েছিল তবে ভেরিয়েবল y হিসাবে নেওয়া হয়েছে যেন তা স্থির থাকে। একইভাবে, y এর সাথে সম্মানের সাথে f এর আংশিক ডেরাইভেটিভের গণনায়, পরিবর্তনশীল xটিকে এমনভাবে নেওয়া হয়েছে যেন এটি ধ্রুবক।

ফ (x, y) ফাংশনটি একটি পৃষ্ঠ যা একটি প্যারাবোলয়েড বলে যা চিত্রের 1 তে চিত্রায়িত হয়েছে ocher রঙে।

উদাহরণ 2

এক্স-অক্ষের দিকে এবং বিন্দুটির জন্য Y- অক্ষের (x = 1, y = 2) দিকের উদাহরণ 1 থেকে ফাংশনের f (x, y) এর পরিবর্তনের হার (বা slাল) সন্ধান করুন।

সমাধান: প্রদত্ত বিন্দুতে x এবং y দিকের theালু সন্ধান করার জন্য, বিন্দুটির মানগুলি কেবল ∂ _x f (x, y) এবং ফাংশন ∂ _y f (x, y) এর মধ্যে প্রতিস্থাপন করুন:

∂ _এক্স চ (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _এবং চ (1,2) = -2⋅ 2 = -4

চিত্র 1 টি সমতল y (2) এর সাথে ফাংশন ছেদ (x, y) এর ছেদ দ্বারা নির্ধারিত বক্ররেখার স্পর্শক রেখাটি (লাল বর্ণে) দেখায়, এই রেখার opeাল -2 হয়। চিত্র 1 এছাড়াও বক্ররেখার স্পর্শক রেখাটি (সবুজ রঙের) দেখায় যা বিমানের সাথে এক্স ফাংশনটির ছেদটি নির্ধারণ করে x = 1; এই লাইনের opeাল -4 রয়েছে।

অনুশীলন

অনুশীলনী 1

একটি নির্দিষ্ট সময়ে একটি শঙ্কু গ্লাসে জল থাকে যাতে জলের পৃষ্ঠটি ব্যাসার্ধ এবং গভীরতা এইচ থাকে। তবে গ্লাসটির নীচে একটি ছোট গর্ত রয়েছে যার মাধ্যমে প্রতি সেকেন্ডে সি কিউবিক সেন্টিমিটার হারে জল নষ্ট হয়। প্রতি সেকেন্ডে সেন্টিমিটারে জলের পৃষ্ঠ থেকে উত্থানের হার নির্ধারণ করুন।

সমাধান:

প্রথমত, এটি মনে রাখা দরকার যে প্রদত্ত তাত্ক্ষণিক সময়ে পানির পরিমাণ হ'ল:

ভলিউম দুটি ভেরিয়েবল, ব্যাসার্ধ r এবং গভীরতা এইচ: ভি (আর, এইচ) এর একটি ফাংশন।

যখন ভলিউম একটি অসীম পরিমাণে ডিভি দ্বারা পরিবর্তিত হয়, জলের পৃষ্ঠের ব্যাসার্ধ আর এবং পানির গভীরতা এইচটি নীচের সম্পর্ক অনুযায়ী পরিবর্তন হয়:

ডিভি = ∂ _r ভি ড্র + ∂ _এইচ ভি ডিএইচ

আমরা যথাক্রমে r এবং h এর সাথে সম্মানের সাথে V এর আংশিক ডেরাইভেটিভগুলি গণনা করতে এগিয়ে চলেছি:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _এইচ ভি = ∂ _এইচ (⅓ π আর ^ 2 এইচ) = ⅓ π আর ^ 2

তদতিরিক্ত, ব্যাসার্ধ r এবং গভীরতা h নিম্নলিখিত সম্পর্কের সাথে মিলিত হয়:

উভয় সদস্যকে সময় ডিফারেনশনের মাধ্যমে ভাগ করা:

ডিভি / ডিটি = π আর ^ 2 (ডিএইচ / ডিটি)

তবে ডিভি / ডিটি হ'ল পানির পরিমাণ প্রতি ইউনিট হারানো যা প্রতি সেকেন্ডে সেন্টিগ্রেড সেন্টিমিটার হিসাবে পরিচিত, যখন ডিএইচ / ডিটি হ'ল পানির মুক্ত পৃষ্ঠের উত্থানের হার, যাকে বলা হবে ভি। অর্থাৎ প্রদত্ত তাত্ক্ষণিক জলের পৃষ্ঠটি প্রদত্ত একটি গতি v (সেমি / সেকেন্ড) এ নেমেছে:

v = C / (π r ^ 2)।

একটি সংখ্যাসূচক অ্যাপ্লিকেশন হিসাবে, ধরুন যে r = 3 সেমি, এইচ = 4 সেমি এবং লোকসানের হার 3 সেমি cm 3 / সে। তারপরে তাত্ক্ষণিকভাবে পৃষ্ঠের উত্থানের গতি হ'ল:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0.11 সেমি / সে = 1.1 মিমি / সে।

অনুশীলন 2

ক্লেয়ারট-শোয়ার্জ উপপাদ্যটি বলে যে কোনও ফাংশন যদি তার স্বতন্ত্র পরিবর্তনশীলগুলিতে অবিচ্ছিন্ন থাকে এবং স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কিত তার আংশিক ডেরিভেটিভগুলিও অবিচ্ছিন্ন থাকে, তবে দ্বিতীয়-ক্রমের মিশ্র ডেরিভেটিভগুলি আন্তঃসংযোগ হতে পারে। ফাংশনের জন্য এই উপপাদ্যটি পরীক্ষা করুন

f (x, y) = x ^ 2 y, এটি অবশ্যই সত্য যে f _xy f = ∂ _yx f f

সমাধান:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) যখন ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _এক্স চ = 2 XY; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _XY F = ∂ _এক্স (∂ _Y চ) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

শোয়ার্জের উপপাদ্যটি ধরে রাখার পক্ষে প্রমাণিত হয়েছে, যেহেতু এফ এবং এর আংশিক ডেরাইভেটিভগুলি সমস্ত আসল সংখ্যার জন্য অবিচ্ছিন্ন।

তথ্যসূত্র

1. ফ্র্যাঙ্ক আইরেস, জে।, এবং মেন্ডেলসন, ই। (2000) গণনা 5ed। ম্যাক গ্রু হিল
2. লেথোল্ড, এল। (1992)। বিশ্লেষণী জ্যামিতির সাথে গণনা। হারলা, এসএ
3. পুরসেল, ইজে, ভারবার্গ, ডি, এবং রিগডন, এসই (2007)। ক্যালকুলেশন। মেক্সিকো: পিয়ারসন এডুকেশন।
4. সায়েঞ্জ, জে। (2005) ডিফেরেনটিয়াল ক্যালকুলাস। অতিভুজ।
5. সায়েঞ্জ, জে। (2006) ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস। অতিভুজ।
6. উইকিপিডিয়া। আংশিক ডেরিভেটিভ. পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.com.com থেকে