কিউবের পার্থক্য: সূত্র, সমীকরণ, উদাহরণ, অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

কিউব পার্থক্য ফর্ম একটি একটি দ্বিপদ বীজগাণিতিক অভিব্যক্তি ³ খ - ³, যেখানে পদ a ও b বাস্তব সংখ্যা বা বিভিন্ন প্রকারের বীজগাণিতিক এক্সপ্রেশন হতে পারে। ঘনক্ষেত্রের পার্থক্যের উদাহরণ: 8 - x ³, যেহেতু 8 টি 2 ³ হিসাবে লেখা যায় ।

জ্যামিতিকভাবে আমরা একটি বড় ঘনক্ষেত্রের কথা ভাবতে পারি, পাশের একটি দিয়ে, যেখান থেকে পাশের বি সহ ছোট ঘনকটি বিয়োগ করা হয়, চিত্র 1 তে চিত্রিত হয়েছে:

চিত্র 1. কিউব একটি পার্থক্য। সূত্র: এফ.জাপাটা।

ফলস্বরূপ চিত্রটির আয়তন হ'ল কিউবসের পার্থক্য:

ভি = এ ³ - বি ³

বিকল্প মত প্রকাশের জন্য, এটি পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে যে এই চিত্রটি তিনটি প্রিজমে বিভক্ত হতে পারে, নীচে দেখানো হয়েছে:

চিত্র 2. কিউবসের পার্থক্য (সমতার বাম) আংশিক খণ্ডের (ডানদিকে) যোগফলের সমান। সূত্র: এফ.জাপাটা।

প্রিজম এর তিনটি মাত্রার পণ্য দ্বারা প্রদত্ত একটি ভলিউম থাকে: প্রস্থ x উচ্চতা x গভীরতা। এইভাবে, ফলাফল ভলিউম হয়:

ভি = এ ³ - বি ³ = এ ^2। বি + বি ³ + আব ²

ফ্যাক্টর বি ডানদিকে সাধারণ। তদতিরিক্ত, উপরের চিত্রে, এটি বিশেষভাবে সত্য যে:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

অতএব এটি বলা যেতে পারে যে: b = a - খ। এভাবে:

কিউবসের পার্থক্য প্রকাশ করার এই উপায়টি অনেকগুলি অ্যাপ্লিকেশনে খুব কার্যকর প্রমাণিত হবে এবং কোণে অনুপস্থিত কিউবের পাশটি b = a / 2 থেকে পৃথক থাকলেও এটি একইভাবে পাওয়া যেত।

নোট করুন যে দ্বিতীয় প্রথম বন্ধনীটি যোগফলের বর্গক্ষেত্রের উল্লেখযোগ্য পণ্যের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ, তবে ক্রস টার্মটি 2 দ্বারা গুণিত হয় না The পাঠক ডান দিকটি প্রসারিত করতে পারেন যা সত্যতা ³ - বি ³ প্রাপ্ত হয়েছে কিনা ।

উদাহরণ

কিউবার বিভিন্ন পার্থক্য রয়েছে:

1 - মি ⁶

a ⁶ খ ³ - 8 জে ¹² এবং ⁶

(1/125).x ⁶ - 27.y ⁹

আসুন তাদের প্রত্যেককে বিশ্লেষণ করি। প্রথম উদাহরণে, 1 1 = 1 ³ হিসাবে লেখা যেতে পারে এবং এম ⁶ শব্দটি হয়ে যায়: (মি ²) ³ । উভয় পদ নিখুঁত কিউবস, তাই তাদের পার্থক্যটি হ'ল:

1 - মি ⁶ = 1 ³ - (মি ²) ³

দ্বিতীয় উদাহরণে শর্তাদি আবার রচিত:

a ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴) ³ (y ²) ³ = (2z ⁴ y ²) ³

এই কিউবসের পার্থক্য হ'ল: (একটি ² খ) ³ - (2z ⁴ ই ²) ³ ।

অবশেষে, ভগ্নাংশ (1/125) হ'ল (1/5 ³), x ⁶ = (x ²) ³, 27 = 3 ^3, এবং y ⁹ = (y ³) ³ । মূল এক্সপ্রেশনটিতে এই সমস্তটি প্রতিস্থাপন করে আপনি পাবেন:

(1/125).x ⁶ - 27y ⁹ = ³ - (3y ³) ³

কিউব একটি পার্থক্য ফ্যাক্টরিং

কিউবের পার্থক্যটি ফ্যাক্টর করা অনেক বীজগণিতিক ক্রিয়াকে সহজতর করে। এটি করার জন্য, কেবল উপরে উত্সাহিত সূত্রটি ব্যবহার করুন:

চিত্র 3. ঘনক্ষেত্রের পার্থক্য এবং একটি উল্লেখযোগ্য ভাগফলের প্রকাশের ফ্যাক্টরাইজেশন। সূত্র: এফ.জাপাটা।

এখন, এই সূত্রটি প্রয়োগ করার পদ্ধতিতে তিনটি পদক্ষেপ রয়েছে:

- প্রথম স্থানে পার্থক্যের প্রতিটি শর্তের ঘনক্ষেত্র প্রাপ্ত হয়।

- তারপরে সূত্রের ডানদিকে উপস্থিত দ্বি-দ্বি এবং ত্রিভুজ নির্মিত হয়।

- অবশেষে, দ্বিপদী এবং ত্রৈমাসিকটি চূড়ান্ত কার্যকারিতা অর্জনের জন্য প্রতিস্থাপন করা হয়।

আসুন উপরে উল্লিখিত প্রতিটি ঘনক্ষেত্রের পার্থক্যের উদাহরণগুলির সাথে এই পদক্ষেপগুলির ব্যবহারের চিত্রিত করুন এবং এটির স্ট্যাকার্ড সমতুল্য হন obtain

উদাহরণ 1

বর্ণিত পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করে ফ্যাক্টর 1 - মি ⁶ এর এক্সপ্রেশন । আমরা প্রতিটি পদটির নিজ নিজ ঘনক্ষেত্রগুলি বের করতে 1 - মি ⁶ = 1 ³ - (মি ²) ³ হিসাবে এক্সপ্রেশনটি আবার লিখে দিয়ে শুরু করি:

এর পরে, দ্বিপদী এবং ত্রিকোণীয় নির্মিত হয়:

a = 1

খ = মি ²

তাই:

a - b = 1 - মি ²

(ক ² + + AB + খ ²) = 1 ² + + 1.m ² + + (মি ²) ² = 1 + M ² + M ⁴

অবশেষে, এটি সূত্রটিতে প্রতিস্থাপন করা হবে ³ - বি ³ = (আব) (একটি ² + আব + বি ²):

1 - মি ⁶ = (1 - মি ²) (1 + মি ² + মি ⁴)

উদাহরণ 2

উত্পাদক:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ²) ³

যেহেতু এগুলি নিখুঁত কিউব, তাই কিউব শিকড়গুলি তাত্ক্ষণিক: একটি ² বি এবং ² জেড ⁴ এবং ², সুতরাং এটি অনুসরণ করে:

- দ্বিপদী: একটি ² খ - 2z ⁴ এবং ²

- ত্রিকোণীয়: (একটি ² খ) ² + এ ² বি। 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ²) ²

এবং এখন কাঙ্ক্ষিত গুণকটি নির্মিত হয়েছে:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ²)। =

= (একটি ² খ - 2z ⁴ y ²)।

নীতিগতভাবে, ফ্যাক্টরিং প্রস্তুত, তবে প্রায়শই প্রতিটি পদ সহজ করার প্রয়োজন হয়। তারপরে উল্লেখযোগ্য পণ্য-যোগফলের পরিমাণ- যা শেষে উপস্থিত হয় বিকাশ করা হয় এবং তারপরে শর্তাদি যুক্ত করা হয়। মনে রাখবেন যে একটি যোগফলের বর্গ:

ডানদিকে উল্লেখযোগ্য পণ্যটি এভাবে বিকশিত হয়:

(a ² b + 2z ⁴ এবং ²) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴ এবং ² + 4z ⁸ এবং ⁴

কিউবের পার্থক্যের কারণ নির্ধারণে প্রাপ্ত সম্প্রসারণের প্রতিস্থাপন:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ²)। =

পরিশেষে, পদগুলির মতো গোষ্ঠীকরণ এবং সংখ্যার সহগগুলি ফ্যাক্টরিং করা, যা সবগুলি সমান, আমরা পাই:

(a ² খ - 2z ⁴ y ²)। = 2 (একটি ² বি - 2z ⁴ ই ²)।

উদাহরণ 3

ফ্যাক্টরিং (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ পূর্ববর্তী কেসের তুলনায় অনেক সহজ। প্রথমে a এবং b এর সমতুল্য চিহ্নিত করা হয়:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

তারপরে এগুলি সরাসরি সূত্রে প্রতিস্থাপিত হবে:

(1/125).x ⁶ - 27y ⁹ =।

অনুশীলনের সমাধান হয়েছে

কিউবের পার্থক্য রয়েছে, যেমনটি আমরা বলেছি, বীজগণিতের বিভিন্ন প্রয়োগ রয়েছে। আসুন কিছু দেখুন:

অনুশীলনী 1

নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি সমাধান করুন:

ক) এক্স ⁵ - 125 এক্স ² = 0

খ) 64 - 729 x ³ = 0

সমাধান

প্রথমে সমীকরণটি এভাবে সাজানো হয়:

x ² (x ³ - 125) = 0

যেহেতু 125 একটি নিখুঁত ঘনক্ষেত্র, বন্ধনীগুলি কিউবগুলির পার্থক্য হিসাবে লেখা হয়:

এক্স ² । (x ³ - 5 ³) = 0

প্রথম সমাধানটি x = 0, তবে আমরা x ³ - 5 ³ = 0 তৈরি করলে আরও খুঁজে পাই:

x ³ = 5 ³ → x = 5

সমাধান খ

সমীকরণের বাম দিকটি 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³ হিসাবে পুনরায় লিখিত হয় । এভাবে:

4 ³ - (9x) ³ = 0

যেহেতু ঘর্ষণকারী একই:

9x = 4 → x = 9/4

অনুশীলন 2

ফ্যাক্টর এক্সপ্রেশন:

(x + y) ³ - (x - y) ³

সমাধান

এই এক্সপ্রেশনটি কিউবের একটি পার্থক্য, যদি ফ্যাক্টরিং সূত্রে আমরা তা লক্ষ করি:

a = x + y

b = x- y

তারপরে দ্বিপদীটি প্রথমে নির্মিত হয়:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

এবং এখন ত্রৈমাসিক:

a ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

উল্লেখযোগ্য পণ্য বিকশিত হয়:

এরপরে আপনাকে বিকল্পগুলি পছন্দ করতে হবে এবং পদগুলির মতো হ্রাস করতে হবে:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

কারখানার ফলাফলগুলি:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2y (3x ² + y ²)

তথ্যসূত্র

1. বালডোর, এ। 1974. বীজগণিত। সম্পাদকীয় সংস্কৃতি ভেনিজোলনা এসএ
2. সিকে -12 ফাউন্ডেশন। যোগফল এবং কিউবের পার্থক্য। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: ck12.org।
3. খান একাডেমি. কিউবগুলির পার্থক্যের ফ্যাক্টরিং। উদ্ধার করা হয়েছে: es.khanacademy.org থেকে।
4. ম্যাথ ফান অ্যাডভান্সড। দুটি কিউবের পার্থক্য। পুনরুদ্ধার করা: mathsisfun.com থেকে
5. UNAM। কিউব একটি পার্থক্য ফ্যাক্টরিং। থেকে উদ্ধার: dcb.fi-c.unam.mx।