পৃথক সম্ভাবনা বিতরণ: বৈশিষ্ট্য, অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

বিযুক্ত সম্ভাব্যতা ডিস্ট্রিবিউশন একটি ফাংশন যে এক্স (এস) = প্রতিটি উপাদানে নির্ধারণ {X1, x2,…, একাদশ,…}, যেখানে এক্স একটি বিযুক্ত দৈব চলক দেওয়া হয় এবং এস নমুনা স্থান, সম্ভাবনা যে বলেন ঘটনা ঘটে। এক্স (এস) এর এফ ফাংশনটিকে এফ (এক্সআই) = পি (এক্স = এক্সআই) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় কখনও কখনও সম্ভাব্য ভর ফাংশন বলে।

সম্ভাবনার এই ভর সাধারণত টেবিল আকারে প্রতিনিধিত্ব করা হয়। এক্স যেহেতু একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল, এক্স (এস) এর একটি সীমাবদ্ধ ইভেন্ট বা গণনাযোগ্য অনন্ত রয়েছে। সর্বাধিক সাধারণ বিচ্ছিন্ন সম্ভাবনার বিতরণগুলির মধ্যে আমরা অভিন্ন বিতরণ, দ্বিপদী বিতরণ এবং পাইসন বিতরণ করি।

বৈশিষ্ট্য

সম্ভাব্যতা বিতরণ ফাংশন অবশ্যই নিম্নলিখিত শর্তাদি পূরণ করতে হবে:

তদ্ব্যতীত, যদি এক্স কেবলমাত্র একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যার মান নেয় (উদাহরণস্বরূপ x1, x2,…, xn), তবে p (xi) = 0 যদি i> এন হয়, অতএব, শর্তের অসীম ধারাটি একটি হয়ে যায় সীমাবদ্ধ সিরিজ।

এই ফাংশনটি নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলিও পূরণ করে:

বিটিকে এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স এর সাথে যুক্ত একটি ইভেন্ট হতে দিন This এর অর্থ হ'ল বি এক্স (এস) এর মধ্যে রয়েছে। বিশেষত, ধরুন যে বি = {এক্সআই 1, এক্সআই 2,…} এভাবে:

অন্য কথায়, একটি ইভেন্ট বি এর সম্ভাব্যতা বি এর সাথে সম্পর্কিত পৃথক ফলাফলগুলির সম্ভাবনার যোগফলের সমান is

এ থেকে আমরা উপসংহারে পৌঁছে যেতে পারি যে কোনও <বি, ইভেন্টগুলি (এক্স ≤ এ) এবং (একটি <এক্স ≤ বি) পারস্পরিক একচেটিয়া এবং তদ্বিতীয়ত, তাদের মিলনটি ইভেন্ট (এক্স ≤ বি), তাই আমাদের রয়েছে:

প্রকারভেদ

এন পয়েন্টগুলির উপর অভিন্ন বিতরণ

বলা হয়ে থাকে যে একটি এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স প্রতিটি মানকে একই সম্ভাবনা বরাদ্দ করা হলে এন পয়েন্টগুলিতে অভিন্ন হয়ে চিহ্নিত একটি বিতরণ অনুসরণ করে। এর সম্ভাব্যতা ভর কার্য:

ধরা যাক, আমাদের একটি পরীক্ষা রয়েছে যার দুটি সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে, এটি এমন একটি মুদ্রার টস হতে পারে যার সম্ভাব্য ফলাফলগুলি মাথা বা লেজ, বা একটি সম্পূর্ণ সংখ্যার পছন্দ বা ফলাফল যা একটি সমান সংখ্যা বা বিজোড় হতে পারে; এই ধরণের পরীক্ষা-নিরীক্ষা বার্নোল্লি পরীক্ষা হিসাবে পরিচিত।

সাধারণভাবে, দুটি সম্ভাব্য ফলাফলকে সাফল্য এবং ব্যর্থতা বলা হয়, যেখানে পি সাফল্যের সম্ভাবনা এবং 1-পি হ'ল ব্যর্থতার সম্ভাবনা। নিম্নলিখিত বন্টনের সাথে আমরা একে অপরের থেকে স্বতন্ত্র এন বার্নোল্লি পরীক্ষায় এক্স সাফল্যের সম্ভাবনা নির্ধারণ করতে পারি।

দ্বিপদ ডিস্ট্রিবিউশন

এটি এমন ফাংশন যা n স্বতন্ত্র বার্নোল্লি পরীক্ষায় এক্স সাফল্য অর্জনের সম্ভাবনা প্রতিনিধিত্ব করে, যার সাফল্যের সম্ভাবনা পি। এর সম্ভাব্যতা ভর কার্য:

নিম্নলিখিত গ্রাফটি দ্বি-দ্বি বিতরণের পরামিতিগুলির বিভিন্ন মানের জন্য সম্ভাব্যতা ভর কার্যকারিতা উপস্থাপন করে।

নিম্নলিখিত বিতরণটির নাম ফরাসি গণিতবিদ সাইমন পইসন (1781-1840) এর কাছে owণী, যিনি এটি দ্বিপদী বিতরণের সীমা হিসাবে পেয়েছিলেন।

পয়জন বিতরণ

একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্সকে প্যারামিটারের পোইসন বিতরণ বলা হয় to যখন এটি নিম্নলিখিত সম্ভাবনার সাথে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার মান 0,1,2,3 নিতে পারে…

এই অভিব্যক্তিটিতে λ সময়ের প্রতিটি ইউনিটের ইভেন্টের সংখ্যার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ গড় সংখ্যা এবং এক্সটি ঘটনার সংখ্যাটির সংখ্যা।

এর সম্ভাব্যতা ভর কার্য:

এখানে একটি গ্রাফ যা পয়সন বিতরণের প্যারামিটারগুলির বিভিন্ন মানের জন্য সম্ভাব্যতা ভর কার্যকারিতা উপস্থাপন করে।

দ্রষ্টব্য, যতক্ষণ সাফল্যের সংখ্যা কম এবং দ্বিপদী বিতরণে সঞ্চালিত পরীক্ষাগুলির সংখ্যা বেশি, আমরা পয়সন বিতরণ দ্বিপদী বিতরণের সীমা হওয়ায় আমরা সবসময় এই বিতরণগুলি অনুমান করতে পারি।

এই দুটি বিতরণের মধ্যে প্রধান পার্থক্য হ'ল দ্বিপাক্ষিক দুটি প্যারামিটারের উপর নির্ভর করে, যথা n এবং p, পইসন কেবলমাত্র λ এর উপর নির্ভর করে, যা কখনও কখনও বিতরণের তীব্রতা বলে।

এখনও অবধি আমরা কেবলমাত্র সেই ক্ষেত্রে সম্ভাব্যতা বিতরণের কথা বলেছি যেখানে বিভিন্ন পরীক্ষা-নিরীক্ষা একে অপরের থেকে স্বতন্ত্র; এটি হ'ল, যখন একের ফলাফল অন্য কোনও ফলাফল দ্বারা প্রভাবিত হয় না।

যখন এটি পরীক্ষা-নিরীক্ষার ক্ষেত্রে ঘটে যা স্বতন্ত্র নয়, হাইপারজমেট্রিক বিতরণ খুব দরকারী is

হাইপারজমেট্রিক বিতরণ

আসুন এন একটি সীমাবদ্ধ সেট সামগ্রীর মোট সংখ্যা, যার মধ্যে আমরা কিছু উপায়ে এর কে সনাক্ত করতে পারি, এইভাবে একটি উপসেট কে গঠন করে, যার পরিপূরকটি বাকি এনকে উপাদানগুলির দ্বারা গঠিত হয়।

যদি আমরা এলোমেলোভাবে n অবজেক্টগুলি বেছে নিই, তবে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স যা K এর সাথে সম্পর্কিত অবজেক্টের সংখ্যাকে উপস্থাপন করে বলেছে যে পছন্দগুলিতে N, n এবং k এর পরামিতিগুলির একটি হাইপারজমেট্রিক বিতরণ রয়েছে। এর সম্ভাব্যতা ভর কার্য:

নিম্নলিখিত গ্রাফ হাইপারজমেট্রিক বিতরণের প্যারামিটারগুলির বিভিন্ন মানগুলির জন্য সম্ভাব্যতা ভর কার্যকারিতা উপস্থাপন করে।

সমাধান ব্যায়াম

প্রথম অনুশীলন

ধরুন যে রেডিও টিউব (একটি নির্দিষ্ট ধরণের সরঞ্জামে রাখা) 500 ঘন্টােরও বেশি সময় ধরে চালিত হওয়ার সম্ভাবনা 0.2 হয়। যদি 20 টি টিউব পরীক্ষা করা হয়, তবে এর ঠিক কে 500 দিনেরও বেশি সময় চলবে, কে = 0, 1,2,…, 20 সম্ভাবনা কত?

সমাধান

এক্স যদি 500 টির বেশি ঘন্টার কাজ করে এমন টিউবগুলির সংখ্যা হয় তবে আমরা ধরে নেব যে এক্সটির দ্বিপদী বিতরণ রয়েছে। সুতরাং

এবং তাই:

K11 এর জন্য, সম্ভাবনাগুলি 0.001 এর চেয়ে কম

এইভাবে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এইগুলির কে 500 ঘণ্টারও বেশি সময় ধরে কাজ করে, যতক্ষণ না এটি তার সর্বোচ্চ মান (কে = 4 সহ) পৌঁছায় এবং তারপরে হ্রাস শুরু হয় begins

দ্বিতীয় অনুশীলন

একটি মুদ্রা 6 বার নিক্ষেপ করা হয়। ফলাফলটি ব্যয়বহুল হলে, আমরা বলব এটি একটি সাফল্য। দু'দুটি হুবহু উঠে আসার সম্ভাবনা কী?

সমাধান

এই ক্ষেত্রে আমাদের কাছে সেই এন = 6 রয়েছে এবং সাফল্য এবং ব্যর্থতার সম্ভাবনা উভয়ই পি = কিউ = 1/2

সুতরাং, দুটি মাথা দেওয়া হওয়ার সম্ভাবনা (যা, কে = 2) 2

তৃতীয় অনুশীলন

কমপক্ষে চারটি মাথা খোঁজার সম্ভাবনা কত?

সমাধান

এই ক্ষেত্রে আমাদের কাছে কে = 4, 5 বা 6 রয়েছে

তৃতীয় অনুশীলন

মনে করুন যে কারখানায় উত্পাদিত আইটেমগুলির 2% ত্রুটিযুক্ত। 100 টি আইটেমের নমুনায় তিনটি ত্রুটিযুক্ত আইটেম রয়েছে এমন সম্ভাবনা পিটি সন্ধান করুন।

সমাধান

এই ক্ষেত্রে আমরা n = 100 এবং পি = 0.02 এর ফলস্বরূপ প্রাপ্ত দ্বিপদী বিতরণ প্রয়োগ করতে পারি:

তবে, পি ছোট হওয়ায় আমরা পয়সন অনুমানটি। = Np = 2 দিয়ে ব্যবহার করি। সুতরাং,

তথ্যসূত্র

1. কই লাই চুং। স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির সাথে প্রাথমিক প্রাথমিক তত্ত্ব। স্প্রিংজার-ভার্লাগ নিউ ইয়র্ক ইনক
2. Kenneth.H। রোজেন। বিচ্ছিন্ন গণিত এবং এর প্রয়োগসমূহ। সামগ্রা-হিল / ইন্টারামেরিকানা দে এসপাÑা।
3. পল এল মায়ার সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যান অ্যাপ্লিকেশন। এসএ আলহাম্ব্রা ম্যাক্সিকানা।
4. সিমুর লিপসচটজ পিএইচডি 2000 বিচ্ছিন্ন গণিতের সমাধান সমস্যা। ম্যাকগ্রাও হিল।
5. সিমুর লিপসুটজ পিএইচডি তত্ত্ব এবং সম্ভাবনার সমস্যা। ম্যাকগ্রাও হিল।