সিন্থেটিক বিভাজন গ - একটি বহুপদী p (x) ফর্ম ঘ (এক্স) = x এর যে কোনো একটি বিভাজক একটি সহজ উপায়। উদাহরণস্বরূপ, বহুপদী পি (x) = (x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1) দুটি সাধারণ বহুত্ববিক (x + 1) এবং (x 4 + 2x 3 এর গুণক হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে)।
এটি একটি খুব কার্যকর সরঞ্জাম, যেহেতু আমাদের বহুবর্ষগুলি বিভক্ত করার পাশাপাশি, এটি আমাদেরকে যে কোনও সংখ্যাতে বহুবর্ষীয় পি (এক্স) মূল্যায়ন করতে দেয়, যা পরিবর্তিতভাবে আমাদের বলে দেয় যদি সংখ্যাটি শূন্য হয় বা বহুবর্ষের নয়।
বিভাগ অ্যালগরিদমকে ধন্যবাদ, আমরা জানি যে আমাদের দুটি অ-ধ্রুবক বহুপদী P (x) এবং d (x) থাকলে, সেখানে অনন্য বহুভুজ q (x) এবং r (x) থাকে যেমন সত্য যে পি (এক্স) = কিউ (এক্স) ডি (x) + r (x), যেখানে r (x) শূন্য বা q (x) এর চেয়ে কম। এই বহুবর্ষগুলি যথাক্রমে ভাগফল এবং বাকী বা বাকি হিসাবে পরিচিত।
উপলক্ষগুলিতে যখন বহুবর্ষীয় ডি (এক্স) ফর্মটি এক্স- সি হয়, তখন সিন্থেটিক বিভাগ আমাদের কে (এক্স) এবং আর (এক্স) কে তা খুঁজে পাওয়ার একটি সংক্ষিপ্ত পথ দেয়।
সিনথেটিক বিভাগ পদ্ধতি
পি (এক্স) = একটি এন এক্স এন + এ এন -1 এক্স এন-1 +… + 1 1 এক্স + এ 0 বহুত্বীয় যা আমরা ভাগ করতে চাই এবং ডি (এক্স) = এক্স সি বিভাজক। সিনথেটিক বিভাগ পদ্ধতি দ্বারা বিভক্ত করার জন্য আমরা নিম্নলিখিত হিসাবে এগিয়ে যান:
1- আমরা প্রথম সারিতে পি (এক্স) এর সহগ লিখি। এক্স এর কোনও পাওয়ার উপস্থিত না হলে আমরা শূন্যকে এর সহগ হিসাবে রেখেছি put
2- দ্বিতীয় সারিতে একটি এন এর বামে আমরা সি রাখি এবং নীচের চিত্রের মতো আমরা বিভাজন রেখাগুলি আঁকছি:
3- আমরা তৃতীয় সারিতে নেতৃস্থানীয় গুণফলকে কম করি।
এই অভিব্যক্তিটিতে b n-1 = a n
4- আমরা সিটির গুণগত গুণফল বি এন -1 দ্বারা গুণ করি এবং আমরা ফলাফলটি দ্বিতীয় সারিতে লিখি, কিন্তু ডানদিকে একটি কলাম লিখি।
5- আমরা কলামটি যুক্ত করব যেখানে আমরা পূর্ববর্তী ফলাফলটি লিখি এবং ফলাফলটি আমরা এই সংখ্যার নীচে রাখি; এটি একই কলামে তৃতীয় সারিতে রয়েছে।
যুক্ত করার সময়, আমাদের ফলাফল হিসাবে এন -1 + সি * বি এন -1 রয়েছে, যা সুবিধার জন্য আমরা বি এন -2 কল করব
We- আমরা পূর্ববর্তী ফলাফলকে সি দিয়ে গুণ করব এবং ফলাফলটি দ্বিতীয় সারিতে ডানদিকে লিখব।
7- আমরা 0 তে সহগের না পৌঁছা পর্যন্ত আমরা 5 এবং 6 ধাপ পুনরাবৃত্তি করি ।
8- আমরা উত্তর লিখি; যে, ভাগফল এবং বাকি। যেহেতু আমরা ডিগ্রি 1 এর বহুবচন দিয়ে ডিগ্রি এন এর বহুবচনকে বিভক্ত করছি, আমাদের কাছে ভাগফলটি ডিগ্রি এন -1 হবে।
ভাগফলের বহুবর্ষের সহগগুলি সর্বশেষটি ব্যতীত তৃতীয় সারির সংখ্যাগুলি হবে, যা ভাগের বহুবর্ষ বা বিভাগের বাকী অংশ হবে।
সমাধান ব্যায়াম
- উদাহরণ 1
সিনথেটিক বিভাগ পদ্ধতি দ্বারা নিম্নলিখিত বিভাগ সঞ্চালন:
(x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1): (x + 1)।
সমাধান
আমরা প্রথমে লভ্যাংশের গুণফলগুলি নিম্নরূপ লিখেছি:
তারপরে আমরা বিভাজক রেখাগুলি সহ দ্বিতীয় সারিতে বাম দিকে সি লিখি। এই উদাহরণে সি = -1।
আমরা নেতৃস্থানীয় গুণফলকে কম করব (এক্ষেত্রে b n-1 = 1) এবং এটি -1 দিয়ে গুণ করি:
আমরা এর ফলাফলটি দ্বিতীয় সারিতে ডানদিকে লিখছি, নীচে দেখানো হয়েছে:
আমরা দ্বিতীয় কলামে নম্বরগুলি যুক্ত করব:
আমরা 2 -1 দ্বারা গুণ করি এবং তৃতীয় কলামে দ্বিতীয় সারিতে ফলাফল লিখি:
আমরা তৃতীয় কলামে যুক্ত করব:
আমরা শেষ কলামে না পৌঁছা পর্যন্ত আমরা একইভাবে এগিয়ে চলেছি:
সুতরাং, আমাদের কাছে আছে যে প্রাপ্ত শেষ সংখ্যাটি বিভাগের বাকী অংশ এবং বাকী সংখ্যাগুলি ভাগফলের বহুবর্ষের সহগ হয়। এটি নিম্নরূপ লিখিত:
ফলাফলটি সঠিক কিনা তা যাচাই করতে চাইলে নীচের সমীকরণটি সত্য কিনা তা যাচাই করার জন্য এটি যথেষ্ট:
পি (এক্স) = কিউ (এক্স) * ডি (এক্স) + আর (এক্স)
সুতরাং আমরা পরীক্ষা করতে পারি যে প্রাপ্ত ফলাফলটি সঠিক।
- উদাহরণ 2
সিন্থেটিক বিভাগ পদ্ধতি দ্বারা বহুপদীগুলির নিম্নলিখিত বিভাগ সম্পাদন করুন
(7x 3 -x + 2): (x + 2)
সমাধান
এই ক্ষেত্রে আমাদের কাছে x 2 শব্দটি উপস্থিত হয় না, তাই আমরা 0 এর সহগ হিসাবে লিখব। সুতরাং, বহুপদীটি 7x 3 + 0x 2 -x + 2 হবে।
আমরা তাদের সহগ একটি সারিতে লিখি, এটি হ'ল:
আমরা দ্বিতীয় সারির বাম দিকে সি = -2 এর মান লিখি এবং বিভাগ রেখাগুলি আঁকি।
আমরা নেতৃস্থানীয় সহগ খ n-1 = 7 কম করি এবং এটি -2 দিয়ে গুণ করি, এর ফলাফলটি দ্বিতীয় সারিতে ডানদিকে লিখে।
আমরা পূর্বের বর্ণিত হিসাবে যোগ করেছি এবং এগিয়ে চলেছি, যতক্ষণ না আমরা শেষ পর্বে পৌঁছাচ্ছি:
এই ক্ষেত্রে, বাকীটি হল r (x) = - 52 এবং প্রাপ্ত ভাগফল হল q (x) = 7x 2 -14x + 27।
- উদাহরণ 3
সিনথেটিক বিভাগ ব্যবহারের আরেকটি উপায় নিম্নরূপ: ধরুন আমাদের ডিগ্রি এন এর বহুভুজ P (x) রয়েছে এবং আমরা x = c এ মূল্যায়ন করে কী মান তা জানতে চাই।
বিভাগ অ্যালগরিদম দ্বারা আমরা বহুপদী পি (এক্স) নিম্নলিখিত উপায়ে লিখতে পারি:
এই অভিব্যক্তিটিতে q (x) এবং r (x) যথাক্রমে ভাগফল এবং বাকী অংশ। এখন, যদি d (x) = x- c, বহুবর্ষে c এ মূল্যায়ন করার সময় আমরা নিম্নলিখিতটি পাই:
অতএব, এটি কেবল আর (এক্স) খুঁজে পাওয়া যায় এবং আমরা সিন্থেটিক বিভাগকে ধন্যবাদ দিতে পারি thanks
উদাহরণস্বরূপ, আমাদের কাছে বহুবর্ষীয় পি (x) = x 7 -9x 6 + 19x 5 + 12x 4 -3x 3 + 19x 2 -37x-37 রয়েছে এবং আমরা x = 5 এ মূল্যায়ন করে এর মান কী তা জানতে চাই আমরা এটি সম্পাদন করি সিন্থেটিক বিভাগ পদ্ধতি দ্বারা পি (এক্স) এবং ডি (এক্স) = এক্স -5 এর মধ্যে বিভাজন:
অপারেশনগুলি শেষ হয়ে গেলে, আমরা জানি যে আমরা নিম্নলিখিত উপায়ে পি (এক্স) লিখতে পারি:
পি (এক্স) = (x 6 -4x 5 –x 4 + 7x 3 + 32x 2 + 179x + 858) * (x-5) + 4253
অতএব, মূল্যায়ন করার সময় আমাদের এগুলি করতে হবে:
পি (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253
পি (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253
পি (5) = 0 + 4253 = 4253
যেমন আমরা দেখতে পাচ্ছি, কেবলমাত্র x এর পরিবর্তে সি-এর পরিবর্তে সি-তে মূল্যায়ন করে একটি বহুবর্ষের মান খুঁজে পেতে সিনথেটিক বিভাগ ব্যবহার করা সম্ভব।
আমরা যদি পি (5) কে traditionalতিহ্যগত উপায়ে মূল্যায়ন করার চেষ্টা করি, তবে আমরা এমন কিছু গণনা করতে বাধ্য হই যা প্রায়শই ক্লান্তিকর হয়ে পড়ে become
- উদাহরণ 4
বহুপথের জন্য বিভাজন অ্যালগরিদম জটিল সহগের সাথে বহুবর্ষের ক্ষেত্রেও সত্য এবং ফলস্বরূপ আমাদের কাছে সিন্থেটিক বিভাগ পদ্ধতিও এই জাতীয় বহুবর্ষের জন্য কাজ করে। আমরা নীচে একটি উদাহরণ দেখতে পাবেন।
আমরা সিন্থেটিক বিভাগ পদ্ধতিটি ব্যবহার করব যে z = 1+ 2i বহুবর্ষীয় P (x) = x 3 + (1 + i) x 2 - (1 + 2i) x + (15 + 5i) এর শূন্য; অর্থাৎ ডি (এক্স) দ্বারা ডি (এক্স) = এক্স - জে বিভাজনের বাকী অংশটি শূন্যের সমান।
আমরা পূর্বের মতো এগিয়ে চলি: প্রথম সারিতে আমরা পি (এক্স) এর সহগ লিখি, তারপরে দ্বিতীয়টিতে আমরা z লিখি এবং বিভাগ রেখাগুলি আঁকি।
আমরা পূর্বের মতো বিভাগ পরিচালনা করি; এই:
আমরা লক্ষ করতে পারি যে বাকীটি শূন্য; অতএব আমরা উপসংহারে পৌঁছলাম যে z = 1+ 2i পি (এক্স) এর শূন্য।
তথ্যসূত্র
- বালডোর অরেলিও। বীজগণিত গ্রুপো সম্পাদকীয় পাত্রিয়া।
- ডেমানা, ওয়েটস, ফোলি এবং কেনেডি। প্রিক্যালকুলাস: গ্রাফিকাল, সংখ্যাসূচক, বীজগণিতের 7 তম এড। পিয়ারসন এডুকেশন।
- ফ্লেমিং ডাব্লু ও ভার্সার্গ ডি। বীজগণিত এবং ত্রিগোনমিতি বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সাথে। প্রেন্টিস হল
- মাইকেল সুলিভান। প্রিক্যালকুলাস চতুর্থ এড। পিয়ারসন শিক্ষা.
- রেড। আরমান্ডো ও। বীজগণিত 1 ষ্ঠ 6 তম। অ্যাথেনিয়াম